八年级数学下学期期末模拟卷（新教材苏科版八下全部，高效培优·强化卷）

**基本信息** 这份八年级数学期末模拟卷以苏科版下册第6-11章为范围，通过盲盒概率、手机续航测试等真实情境，融合统计、代数、几何知识，考查数学眼光观察现实、数学思维推理运算、数学语言表达数据的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|统计（问卷设计）、代数（实数运算）、几何（垂足四边形）|情境贴近生活，如第4题盲盒概率考查数据意识| |填空题|8/32|概率（替代物试验）、几何（正方形动态）、代数（同类二次根式）|设置开放探究，如第17题圆圈报数体现推理能力| |解答题|8/78|统计分析（手机续航）、几何实践（图形剪拼）、代数应用（关联分式）|综合题梯度明显，如第26题矩形平移探究创新意识|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级下册第6章~第11章。 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2026·湖北荆州·模拟预测）某电影院为调查最近上映的电影的受欢迎程度，设计了如下调查问卷，调查对象是来观影的人． 姓名________   年龄________   1．今天晚上你看的电影是________________．   2．电影好看吗？（       ）   （A）很好看                       （B）好看                  （C）不好看   3．你买爆米花了吗？（       ）   （A）买了                           （B）没有   4．请用十分制为电影打分，你认为你今晚观看的电影可以打________分． 小聪同学认为这个问卷存在不足：①暴露了被调查者的姓名和年龄；②问题2的选项设置不合理，不具有对称性；③问题3与调查目的无关；④问题2与问题4在某种程度上有重复．你认为小聪同学判断正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 2．（2026·河北·模拟预测）一个不完整的算式“”，先在①处填上一种运算符号（在“”“”“”或“”中选择），再在括号内的②处填上一个实数，使其运算结果为有理数，其中不符合要求的一组搭配是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北张家口·一模）在括号内填一个单项式，使多项式（   ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2026·广西桂林·一模）盲盒，是指一种商品销售模式，消费者在购买时并不知道具体款式，只有在拆开后才能知晓内容．这种模式通常用于潮流玩具、手办、文具或收藏卡等领域，其核心吸引力在于不确定性带来的惊喜感与收集乐趣．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有的概率开出一种隐藏款玩偶．关于该盲盒的情况，下列说法中正确的是（   ） A．若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可 B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可 C．若购买个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 D．若购买个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 5．（2026·河北张家口·一模）某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 6．（2026·上海静安·二模）从四边形两条对角线的交点分别向四条边所在的直线作垂线，顺次连接四个垂足，如果我们把此时所得的四边形叫做原四边形的垂足四边形，那么下列说法正确的是（   ） A．等腰梯形的垂足四边形是等腰梯形 B．矩形的垂足四边形是矩形 C．平行四边形的垂足四边形是平行四边形 D．菱形的垂足四边形是菱形 7．（2026·江苏无锡·模拟预测）某银行为客户定制了，，，，共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图： 根据以上数据，下列推断错误的是（   ） A．周岁人群理财人数最多 B．周岁人群理财总费用最少 C．理财产品更受理财人青睐 D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高 8．（2026·山东济南·一模）如图，在边长为2的正方形中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点，；②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点；③过点作于点．根据以上作图，线段的长为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·重庆忠县·期末）若一次函数的图像不经过第四象限，且关于x的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m之和为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点O，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，与交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（  ） ①始终为等边三角形；②线段长的最小值为；③点G所走过的路径长为；④面积的最大值． A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（2026·山西阳泉·一模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_______． 12．（2026·上海松江·二模）分解因式：_______． 13．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）整数满足，且二次根式与是同类二次根式，则 ______． 14．（2026·四川南充·一模）在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是 （填正确答案的序号） ①一枚均匀的正方体骰子；②两张不同的扑克；③两张不同的卡片；④一枚图钉 15．（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知，则的值______． 16．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，分别交对角线、线段于点、，且是的中点．若，，则的长为__________． 17．（25-26八年级下·江苏·校考期中）10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个正数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他数的几何平均数（称为和的几何平均数）报出来，若报出来的数如图所示，则报的人心里想的数是 18．（2026·江苏扬州·一模）如图，点M为正方形对角线上的一个动点，将线段绕B点逆时针旋转后得到线段，连接．下列结论正确的是______．（请将所有正确结论的序号填写在横线上） ①当N落在上时，；②当 时，点M到点N距离最短； ③若正方形的边长为1，则长度范围为． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题每题12分，答案写在答题卡上） 19．（2026·山东青岛·一模）某测评博主随机购买A，B，C三种型号的手机各10部，每种型号编号1-10．每部手机依次经历五个环节的测试：小时浏览视频；小时浏览网页；小时语音通话；小时游戏娱乐；耗电至关机．记录每部手机从开始到自动关机的总续航时间（单位：），得到折线统计图（图1）、根据所有测试手机的平均数据，得到各环节用电量占比（各环节电池用电量占电池总容量的百分比）条形统计图（图2）．    (1)若将B型号手机的每环节电池用电量制作成扇形统计图，则“浏览视频”的圆心角为_________； (2)下列说法错误的是（   ） A．该测评博主的调查方式为抽样调查 B．A型号编号为3的手机续航时间最长 C．B型号手机续航时间最不稳定 D．折线统计图中用“①”标注的折线代表C型号 (3)小明爸爸是一名销售人员，他认为浏览视频、浏览网页、语音通话的用电量占比的重要程度为，请你根据上述测评统计结果，为小明爸爸从这三种型号手机中选择合适的手机，并说明理由． 20．（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践： (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由．    21．（25-26八年级下·江苏扬州·月考） 阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，，所以． 请仿照上例化简下列根式．(1)______；(2)_______； (3)计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 22．（25-26八年级下·重庆万州·月考）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 23．（2026·河南濮阳·一模）为响应国家“绿色发展”号召，推进黄河流域生态保护与高质量发展，我市计划对某段河道进行综合治理．现拟由甲、乙两个工程队共同完成该项目的污水处理任务．经测算，该段河道需要处理的污水是600立方米，甲队每天能处理的污水量是乙队的倍，且甲队单独完成这项任务比乙队单独完成少用10天．(1)求甲、乙两队每天分别能处理污水多少立方米？(2)已知甲队施工的费用为1000元/天，乙队施工的费用为700元/天，现要求两队合作完成该任务，且甲队的施工天数不得高于乙队的施工天数．请设计一种施工方案，使得总费用最低，并求出最低总费用． 24．（25-26九年级下·福建漳州·月考）编程设计大赛数学兴趣小组编了一个“新年· 快乐”的计算程序，规定：输入数据，时，若输出的是代数式称为“新年”，若输出的是等式称为“快乐”． 回答下列问题： (1)当输入正整数，时，得到“快乐”和“新年”，若“快乐”为，求证“新年”：是完全平方式． (2)当输入，时，求“快乐”：的，的正整数解． (3)若正数，互为倒数，求“新年”：的最小值． 温馨提示：①对于一个整式，如果存在另一个整式，使的条件，则称是完全平方式； ②，当且仅当“”时，等号成立． 25．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 【问题情境】如图，在菱形中，，是射线上一动点，将线段绕着点逆时针方向旋转到达的位置，连接是的中点． (1)【操作发现】如图1，当点与点重合时，连接交于点，试猜想四边形的形状，并说明理由． (2)【操作探究】如图2，当点在线段上，点在线段的垂直平分线上，连接，求的长． (3)【拓展探究】如图3，当点在边的延长线上时，连接，，若，请直接写出线段的长． 26．（2026·山西晋中·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中，分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答：(2)①求此时的值；②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级下册第6章~第11章。 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2026·湖北荆州·模拟预测）某电影院为调查最近上映的电影的受欢迎程度，设计了如下调查问卷，调查对象是来观影的人． 姓名________   年龄________   1．今天晚上你看的电影是________________．   2．电影好看吗？（       ）   （A）很好看                       （B）好看                  （C）不好看   3．你买爆米花了吗？（       ）   （A）买了                           （B）没有   4．请用十分制为电影打分，你认为你今晚观看的电影可以打________分． 小聪同学认为这个问卷存在不足：①暴露了被调查者的姓名和年龄；②问题2的选项设置不合理，不具有对称性；③问题3与调查目的无关；④问题2与问题4在某种程度上有重复．你认为小聪同学判断正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】逐个分析小聪的四个结论： ① ∵ 问卷要求填写姓名和年龄，会暴露调查对象的个人隐私，∴ 小聪的判断①正确； ② ∵ 问题2的选项中，正面评价有“很好看”“好看”2个，负面评价只有“不好看”1个，选项设置不具有对称性，∴ 小聪的判断②正确； ③ ∵ 本次调查目的是了解电影的受欢迎程度，“是否买爆米花”与调查目的无关，∴ 小聪的判断③正确； ④ ∵ 问题2和问题4都是调查对电影的评价，内容重复，∴ 小聪的判断④正确； 因此①②③④都正确，答案选D. 2．（2026·河北·模拟预测）一个不完整的算式“”，先在①处填上一种运算符号（在“”“”“”或“”中选择），再在括号内的②处填上一个实数，使其运算结果为有理数，其中不符合要求的一组搭配是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，为有理数，该选项不符合题意； B、，其结果为无理数，该选项符合题意； C、，为有理数，该选项不符合题意； D、，为有理数，该选项不符合题意． 3．（2026·河北张家口·一模）在括号内填一个单项式，使多项式（   ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：对于①：，能进行因式分解； 对于②：，能进行因式分解； 对于③：，不能进行因式分解； 综上，符合要求的有个． 4．（2026·广西桂林·一模）盲盒，是指一种商品销售模式，消费者在购买时并不知道具体款式，只有在拆开后才能知晓内容．这种模式通常用于潮流玩具、手办、文具或收藏卡等领域，其核心吸引力在于不确定性带来的惊喜感与收集乐趣．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有的概率开出一种隐藏款玩偶．关于该盲盒的情况，下列说法中正确的是（   ） A．若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可 B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可 C．若购买个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 D．若购买个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 【答案】C 【详解】选项，购买个盲盒可能出现重复款式或开出隐藏款，无法保证集齐种普通款，说法错误； 选项，购买个盲盒也可能出现重复普通款或多次开出隐藏款，无法保证集齐种普通款，说法错误； 选项，共有种不同款式，购买的个盲盒对应个款式结果，至少有个盲盒款式相同，一定会重复出现某款玩偶，说法正确； 选项，开出隐藏款的概率为只代表单次购买开出隐藏款的可能性，购买个盲盒仍有可能都不开出隐藏款，说法错误． 5．（2026·河北张家口·一模）某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 【答案】D 【详解】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同，故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为， ∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元， ∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意； ，，，，解得， ∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意； 故第二次购买单价为元， ∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个， ∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意； 若设第二次购买数量为个，∵ 第二次和第三次购买数量相同，∴ 第三次购买数量也为个， 故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为， ∵第三次单价比第一次单价多元，故， 整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意． 6．（2026·上海静安·二模）从四边形两条对角线的交点分别向四条边所在的直线作垂线，顺次连接四个垂足，如果我们把此时所得的四边形叫做原四边形的垂足四边形，那么下列说法正确的是（   ） A．等腰梯形的垂足四边形是等腰梯形 B．矩形的垂足四边形是矩形 C．平行四边形的垂足四边形是平行四边形 D．菱形的垂足四边形是菱形 【答案】C 【详解】解：A、等腰梯形的对角线相等，但不一定互相垂直，当等腰梯形的对角线不互相垂直时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是等腰梯形，故A选项错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，但不一定互相垂直，当矩形的对角线不互相垂直时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是矩形，故B选项错误，不符合题意； C、平行四边形的对角线互相平分，且是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，两组对边的垂足分别关于对称中心对称，故顺次连接四个垂足得到的四边形的对角线互相平分，则顺次连接四个垂足得到的四边形是平行四边形，故C选项正确，符合题意； D、菱形的对角线垂直且互相平分，但不一定相等，当菱形的对角线不相等时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是菱形，故D选项错误，不符合题意． 7．（2026·江苏无锡·模拟预测）某银行为客户定制了，，，，共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图： 根据以上数据，下列推断错误的是（   ） A．周岁人群理财人数最多 B．周岁人群理财总费用最少 C．理财产品更受理财人青睐 D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高 【答案】B 【详解】解：A、由扇形统计图可知，周岁人群理财人数占比为，在所有年龄段中占比最大，故该选项推断正确； B、设理财总人数为， 则周岁人群理财总费用为：；周岁人群理财总费用为：；周岁人群理财总费用为：； 周岁人群理财总费用为：.，， 周岁人群理财总费用最少，故该选项推断错误； C、由条形统计图可知，选择B理财产品的人数比例为，占比最高，说明B理财产品更受理财人青睐，故该选项推断正确； D、由折线统计图可知，随着年龄段的增大，人均理财费用依次为3500元、4500元、5500元、6200元，呈上升趋势，故该选项推断正确． 8．（2026·山东济南·一模）如图，在边长为2的正方形中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点，；②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点；③过点作于点．根据以上作图，线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形是正方形，边长为， ∴， ， 由步骤①可知，是线段的垂直平分线，∴，， ∴，∴四边形是矩形，∴，， ∴在中，， 由步骤②可知，平分，即， 如图，在上截取，连接、， 在和中， ，， ，，， 设，则，， 在中，，∴， 在 中，，∴， ，解得，． 9．（24-25八年级下·重庆忠县·期末）若一次函数的图像不经过第四象限，且关于x的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m之和为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵一次函数的图像不经过第四象限， ∴，∴，解方程，得， ∵关于x的分式方程的解为整数， ∴，，，，∴或或1或或2或或5 或， 又∵，∴，∴， 又，∴，∴符合条件的所有整数m之和为1，故答案为：A． 10．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点O，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，与交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（  ） ①始终为等边三角形；②线段长的最小值为；③点G所走过的路径长为；④面积的最大值． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，∴、是等边三角形， ∴，， 由题意可知，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，∴，∴， 又，∴，∴，， ∴，∴为等边三角形，故①正确； ∴，当时，最小，此时有最小值， ∵，∴，∴， ∴的最小值为，故②正确；由菱形的对称性可得，整个运动过程中点的运动是一个往返过程，点先从点运动到最远（离点）为止，再从最远位置运动回点，且点运动到最远位置时，此时点刚好是的中点，点为的中点，如图所示： ∴， ∵，∴，∴， ∴，∴点G所走过的路径长为，故③错误； ∵，∴，∴， ∵当时，，∴，∴， ∴当面积取得最小值时，最大，过点作交于点， ∵为等边三角形，，，∴，， ∴，∴，∴， ∵的最小值为，∴最小值为， ∴的最大值为，故④正确；综上，①②④正确 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（2026·山西阳泉·一模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_______． 【答案】 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴点落入黑色部分的概率为，∴黑色部分的总面积． 12．（2026·上海松江·二模）分解因式：_______． 【答案】 【详解】解：． 13．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）整数满足，且二次根式与是同类二次根式，则 ______． 【答案】或 【详解】解：二次根式与是同类二次根式， 令（为正整数），即， 当时，，；当时，，（不合题意，是整数）； 当时，，；当时，，（不合题意，是整数）； 当时，，（不合题意，）．故答案为：或． 14．（2026·四川南充·一模）在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是 （填正确答案的序号） ①一枚均匀的正方体骰子；②两张不同的扑克；③两张不同的卡片；④一枚图钉 【答案】④ 【详解】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等． ①均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物； ②两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； ③两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； ④抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物． 15．（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知，则的值______． 【答案】 【详解】解：，可知，， ∴，整理，得，方程两边同时除以得：，∴， ∴，∴. 16．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，分别交对角线、线段于点、，且是的中点．若，，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，交于，过作于，连接， ，，， 矩形，，，，， 是的中点是的中位线，，， ，，，，， ，四边形是平行四边形， ，， ，，， ，，，，故答案为：． 17．（25-26八年级下·江苏·校考期中）10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个正数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他数的几何平均数（称为和的几何平均数）报出来，若报出来的数如图所示，则报的人心里想的数是 【答案】 【详解】解：设报的人心中想的为，按照顺时针的顺序推下去，每个人心中所想的数分别为， 根据题意可得，，，，， 即，，，，， 可得，，，，， 故可得，解得（舍去负数），故选：． 18．（2026·江苏扬州·一模）如图，点M为正方形对角线上的一个动点，将线段绕B点逆时针旋转后得到线段，连接．下列结论正确的是______．（请将所有正确结论的序号填写在横线上） ①当N落在上时，；②当 时，点M到点N距离最短； ③若正方形的边长为1，则长度范围为． 【答案】①③ 【详解】①如图所示，落在上，由旋转可知，，，    图一                                         图二 由正方形性质知，， 再由正方形性质知 ，，∴， ，，．故①正确． ②如图，观察，过B作，由是等腰三角形知 ，故当最小时，距离最近，由垂线段最短知时，最短，此时．故②错误． ③如图所示，     是正方形的对角线且正方形边长为１，， 由三角形三边关系可知在中， ， 故当 时，最小，此时B，D，N三点共线， 由图一知此时M与A点重合， ， ， 在此后随着M点向右平移，N与D的距离越来越大，故当M与C重合时，N与D的距离最大， 由图二所示， ， 在中，，， 综上所述，，故③正确 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题每题12分，答案写在答题卡上） 19．（2026·山东青岛·一模）某测评博主随机购买A，B，C三种型号的手机各10部，每种型号编号1-10．每部手机依次经历五个环节的测试：小时浏览视频；小时浏览网页；小时语音通话；小时游戏娱乐；耗电至关机．记录每部手机从开始到自动关机的总续航时间（单位：），得到折线统计图（图1）、根据所有测试手机的平均数据，得到各环节用电量占比（各环节电池用电量占电池总容量的百分比）条形统计图（图2）．    (1)若将B型号手机的每环节电池用电量制作成扇形统计图，则“浏览视频”的圆心角为_________； (2)下列说法错误的是（   ） A．该测评博主的调查方式为抽样调查 B．A型号编号为3的手机续航时间最长 C．B型号手机续航时间最不稳定 D．折线统计图中用“①”标注的折线代表C型号 (3)小明爸爸是一名销售人员，他认为浏览视频、浏览网页、语音通话的用电量占比的重要程度为，请你根据上述测评统计结果，为小明爸爸从这三种型号手机中选择合适的手机，并说明理由． 【答案】(1)(2)C(3)选择B型号手机，理由见解析 【详解】（1）解：根据题意得：“浏览视频”的圆心角为：；（2分） （2）解：根据题意得，该测评博主的调查方式为抽样调查，A正确，不符合题意； 根据图象得：A型号编号为3的手机续航时间最长，B正确，不符合题意； 根据图象得：A型号手机续航时间波动大，最不稳定，C错误，符合题意； 根据条形统计图得，C型号手机在进行小时浏览视频；小时浏览网页；小时语音通话；小时游戏娱乐后就关机了，续航时间最短， ∴折线统计图中用“①”标注的折线代表C型号，D正确，不符合题意；（5分） （3）解：A型号手机：这三个环节的平均电量占比为：； B型号手机：浏览网页的用电量占比为：， B型号手机：这三个环节的平均电量占比为； C型号手机：这三个环节的平均电量占比为； 从折线统计图看B型号手机的平均续航时间相对较长，且更加稳定， ∴选择B型号手机，理由是在小明爸爸认为重要的浏览视频、浏览网页、语音通话环节电量占比总和相对较低，且平均续航时间较长，更加稳定．（8分） 20．（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践： (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由．    【答案】(1)(2)(3)图见解析；理由见解析 【详解】（1）解：， ， 是边上的中点，， ， ；（2分） （2）解：如图5，由操作知，点为中点，将四边形绕点旋转得到四边形， ，；（5分） （3）解：如图所示，四边形即为所求的平行四边形； 理由如下：将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形， ，， ，∴点在同一直线上， 同理，点在同一直线上，点在同一直线上，点在同一直线上，， ，，，，四边形是平行四边形．（8分） 21．（25-26八年级下·江苏扬州·月考） 阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，，所以． 请仿照上例化简下列根式．(1)______；(2)_______； (3)计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)(4)． 【详解】（1）解：；（2分） （2）解：；（4分） （3）解： ；（7分） （4）解：．理由如下， ， ， ∵， ∴．（10分） 22．（25-26八年级下·重庆万州·月考）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值(2)1(3)或 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得，， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义，∴关联值；（2分） （2）解：∵与互为“关联分式”，关联值，∴ ，，解得； 当时，， ∵为正整数，且为正整数，∴当时，解得； 当时，解得（舍去），∴的值为；（6分） （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴；；；；解得， ∵关于的方程无解，∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程：；；解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求．综上，实数的值为或．（10分） 23．（2026·河南濮阳·一模）为响应国家“绿色发展”号召，推进黄河流域生态保护与高质量发展，我市计划对某段河道进行综合治理．现拟由甲、乙两个工程队共同完成该项目的污水处理任务．经测算，该段河道需要处理的污水是600立方米，甲队每天能处理的污水量是乙队的倍，且甲队单独完成这项任务比乙队单独完成少用10天．(1)求甲、乙两队每天分别能处理污水多少立方米？(2)已知甲队施工的费用为1000元/天，乙队施工的费用为700元/天，现要求两队合作完成该任务，且甲队的施工天数不得高于乙队的施工天数．请设计一种施工方案，使得总费用最低，并求出最低总费用． 【答案】(1)甲队每天能处理污水30立方米，乙队每天能处理污水20立方米 (2)当甲队施工12天，乙队施工12天时总费用最低，最低总费用为20400元． 【详解】（1）解：设乙队每天能处理污水立方米，则甲队每天能处理污水立方米， 由题意得，，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意，∴， 答：甲队每天能处理污水30立方米，乙队每天能处理污水20立方米；（5分） （2）解：设甲队施工a天，总费用为W元， 由题意得， ， ∵甲队的施工天数不得高于乙队的施工天数，∴，∴， ∵，∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最小值，最小值为，此时， 答：当甲队施工12天，乙队施工12天时总费用最低，最低总费用为20400元．（10分） 24．（25-26九年级下·福建漳州·月考）编程设计大赛数学兴趣小组编了一个“新年· 快乐”的计算程序，规定：输入数据，时，若输出的是代数式称为“新年”，若输出的是等式称为“快乐”． 回答下列问题： (1)当输入正整数，时，得到“快乐”和“新年”，若“快乐”为，求证“新年”：是完全平方式． (2)当输入，时，求“快乐”：的，的正整数解． (3)若正数，互为倒数，求“新年”：的最小值． 温馨提示：①对于一个整式，如果存在另一个整式，使的条件，则称是完全平方式； ②，当且仅当“”时，等号成立． 【答案】(1)见解析(2)，的正整数解为6和3(3) 【详解】（1）解：∵， ∴，为完全平方式；（2分） （2）∵，，， ，，， ∵，都是正整数，∴，∴或， 解得或（不符合题意，舍去），∴，的正整数解为6和3；（6分） （3）∵正数，互为倒数，∴， ∴ 当取最小值时，S有最小值，∵，即， 此时．（10分） 25．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 【问题情境】如图，在菱形中，，是射线上一动点，将线段绕着点逆时针方向旋转到达的位置，连接是的中点． (1)【操作发现】如图1，当点与点重合时，连接交于点，试猜想四边形的形状，并说明理由． (2)【操作探究】如图2，当点在线段上，点在线段的垂直平分线上，连接，求的长． (3)【拓展探究】如图3，当点在边的延长线上时，连接，，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析(2)(3)的长为或3 【详解】（1）解：四边形是矩形． 理由：四边形是菱形，， ，是等边三角形，． 点与点重合，，，．由旋转的性质得，． 是的中点，，，四边形是平行四边形． ，四边形是矩形．（3分） （2）如图1，连接，四边形是菱形，，． 点在的垂直平分线上，，． 由旋转的性质得，， ，，． ．， 是的中点，，．（7分） （3）线段的长为或3 解：①当时，如图2，，． 为的中点，，且为的中点． ，，． ②当时，如图3，取的中点为，连接． 为的中点，为的中位线，． ，．，是等边三角形，． 设，则． 为的中点，，即，解得，． 综上所述，的长为或3．（10分） 26．（2026·山西晋中·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中，分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答：(2)①求此时的值；②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 【答案】(1)，见解析；(2)①； ②平移的距离是或． 【详解】（1）解：，理由如下，∵四边形是矩形，， 分别是的中点，， 在中，由勾股定理，得，，， ∵点G在边的延长线上，，，即．（3分） （2）解：①∵四边形是矩形，， 分别是的中点，， 在中，由勾股定理，得，，，， ，点G在边的延长线上，，；（7分） ②平移的距离是或． 如图1，若，∴点在线段的垂直平分线上，由①得，∴； 若，连接，过点作于点M，过点作的延长线于点N，如图所示：∴，， 设，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， 即，解得：，此时； 如图3，若，过点G作，过点作的延长线于点M， 根据题意得：，设，∴， ∵，∴， 解得：（负值舍去），∴．（12分） 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C C D C B D A C 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】或 14．【答案】④ 15．【答案】 16．【答案】 17．【答案】 18．【答案】①③ 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题每题12分，答案写在答题卡上） 19． 【答案】(1)(2)C(3)选择B型号手机，理由见解析 【详解】（1）解：根据题意得：“浏览视频”的圆心角为：；（2分） （2）解：根据题意得，该测评博主的调查方式为抽样调查，A正确，不符合题意； 根据图象得：A型号编号为3的手机续航时间最长，B正确，不符合题意； 根据图象得：A型号手机续航时间波动大，最不稳定，C错误，符合题意； 根据条形统计图得，C型号手机在进行小时浏览视频；小时浏览网页；小时语音通话；小时游戏娱乐后就关机了，续航时间最短， ∴折线统计图中用“①”标注的折线代表C型号，D正确，不符合题意；（5分） （3）解：A型号手机：这三个环节的平均电量占比为：； B型号手机：浏览网页的用电量占比为：， B型号手机：这三个环节的平均电量占比为； C型号手机：这三个环节的平均电量占比为； 从折线统计图看B型号手机的平均续航时间相对较长，且更加稳定， ∴选择B型号手机，理由是在小明爸爸认为重要的浏览视频、浏览网页、语音通话环节电量占比总和相对较低，且平均续航时间较长，更加稳定．（8分） 20． 【答案】(1)(2)(3)图见解析；理由见解析 【详解】（1）解：， ， 是边上的中点，， ， ；（2分） （2）解：如图5，由操作知，点为中点，将四边形绕点旋转得到四边形， ，；（5分） （3）解：如图所示，四边形即为所求的平行四边形； 理由如下：将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形， ，， ，∴点在同一直线上， 同理，点在同一直线上，点在同一直线上，点在同一直线上，， ，，，，四边形是平行四边形．（8分） 21． 【答案】(1)(2)(3)(4)． 【详解】（1）解：；（2分） （2）解：；（4分） （3）解： ；（7分） （4）解：．理由如下， ， ， ∵， ∴．（10分） 22． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值(2)1(3)或 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得，， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义，∴关联值；（2分） （2）解：∵与互为“关联分式”，关联值，∴ ，，解得； 当时，， ∵为正整数，且为正整数，∴当时，解得； 当时，解得（舍去），∴的值为；（6分） （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴；；；；解得， ∵关于的方程无解，∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程：；；解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求．综上，实数的值为或．（10分） 23． 【答案】(1)甲队每天能处理污水30立方米，乙队每天能处理污水20立方米 (2)当甲队施工12天，乙队施工12天时总费用最低，最低总费用为20400元． 【详解】（1）解：设乙队每天能处理污水立方米，则甲队每天能处理污水立方米， 由题意得，，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意，∴， 答：甲队每天能处理污水30立方米，乙队每天能处理污水20立方米；（5分） （2）解：设甲队施工a天，总费用为W元， 由题意得， ， ∵甲队的施工天数不得高于乙队的施工天数，∴，∴， ∵，∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最小值，最小值为，此时， 答：当甲队施工12天，乙队施工12天时总费用最低，最低总费用为20400元．（10分） 24． 【答案】(1)见解析(2)，的正整数解为6和3(3) 【详解】（1）解：∵， ∴，为完全平方式；（2分） （2）∵，，， ，，， ∵，都是正整数，∴，∴或， 解得或（不符合题意，舍去），∴，的正整数解为6和3；（6分） （3）∵正数，互为倒数，∴， ∴ 当取最小值时，S有最小值，∵，即， 此时．（10分） 25． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析(2)(3)的长为或3 【详解】（1）解：四边形是矩形． 理由：四边形是菱形，， ，是等边三角形，． 点与点重合，，，．由旋转的性质得，． 是的中点，，，四边形是平行四边形． ，四边形是矩形．（3分） （2）如图1，连接，四边形是菱形，，． 点在的垂直平分线上，，． 由旋转的性质得，， ，，． ．， 是的中点，，．（7分） （3）线段的长为或3 解：①当时，如图2，，． 为的中点，，且为的中点． ，，． ②当时，如图3，取的中点为，连接． 为的中点，为的中位线，． ，．，是等边三角形，． 设，则． 为的中点，，即，解得，． 综上所述，的长为或3．（10分） 26． 【答案】(1)，见解析；(2)①； ②平移的距离是或． 【详解】（1）解：，理由如下，∵四边形是矩形，， 分别是的中点，， 在中，由勾股定理，得，，， ∵点G在边的延长线上，，，即．（3分） （2）解：①∵四边形是矩形，， 分别是的中点，， 在中，由勾股定理，得，，，， ，点G在边的延长线上，，；（7分） ②平移的距离是或． 如图1，若，∴点在线段的垂直平分线上，由①得，∴； 若，连接，过点作于点M，过点作的延长线于点N，如图所示：∴，， 设，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， 即，解得：，此时； 如图3，若，过点G作，过点作的延长线于点M， 根据题意得：，设，∴， ∵，∴， 解得：（负值舍去），∴．（12分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $