2026年陕西中考备考第26题专项训练

**基本信息** 聚焦陕西中考第26题，以"问题提出-探究-解决"分层设计，融合几何计算、动态最值与实际应用，强化数学建模与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|12题（每题3问）|含三角形、四边形、圆综合题|从特殊到一般，以相似、全等为基础，拓展至四点共圆、动态轨迹| |动态最值|8问|涉及动线、动点最值问题|通过构造辅助线（如外接圆、对称点）转化为几何模型（如定角定弦）| |实际应用|6问|结合园区、公园等场景|抽象为几何图形，运用函数思想或几何性质解决最优问题|

2026陕西中考备考——第26题强化训练 1．【问题提出】 （1）如图①，在△ABC中∠B＝45°，，tanC＝2，则△ABC的面积为　 　 ． 【问题探究】 （2）如图②，在△ABC中AD⊥BC于点D，AB2＝BD•BC，，AC＝12，求AD的值． 【问题解决】 （3）如图③，在一座现代化的矩形软件园区ABCD中，由测量可知AB长1350m，BC长1800m，园区在AB边设有出入口P，从P出发的一条园区步道PD与园区的对角线主干道AC交于节点M．为了提升园区的休闲体验，在BC边另设出入口Q，且步道MQ始终与PD垂直，保障通行安全．步道QD与AC交于节点N，△DMN区域为园区的绿化隔离带，为了让园区的可利用面积最大化，需要让这片绿化隔离带的面积尽可能小．若存在，求出绿化隔离带面积的最小值；若不存在，请说明理由． 2．问题提出 （1）如图①，已知△ABC，请作出一条过点A的直线l，使其平分△ABC的面积．（保留作图痕迹，不写作法） 问题探究 （2）如图②，AB为⊙O的弦，点C是⊙O上一动点，连接AC，BC．已知，∠ACB＝45°，求△ABC面积的最大值． 问题解决 （3）如图③，某区管委会现计划在一片足够大的空地上规划一个形状不规则的四边形公园ABCD，供市民休闲娱乐，其中AB＝AD＝60m，∠BAD＝90°，∠BCD＝60°．根据实际情况，需四边形公园ABCD的面积尽可能大，且计划过点B修建一条笔直的小路BE，把四边形公园ABCD分成面积相等的两部分，是否存在符合要求的面积最大的四边形公园ABCD和小路BE？若存在，请求出四边形公园ABCD面积的最大值及小路BE的长；若不存在，请说明理由．（小路的宽度忽略不计） 3．【问题提出】 （1）如图①，AB为⊙O的一条弦，连接OA，OB，若AB＝6，C为⊙O上一点，且满足∠ACB＝30°，求劣弧的长； 【问题解决】 （2）在2025年全国两会政府工作报告中，“好房子”首次被明确提出，标志着中国住房政策从“量”到“质”的转型，并且提出提高得房率的要求．某开发商为满足这一要求，为每套住宅配套了如图②所示的正方形多功能赠送区域ABCD．小明家买了一套这样的房子，在装修这个多功能区域时，以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE为妈妈留作花房，且AB＝AE，剩下区域留作阳台晾衣区．在花房内部，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△AEF的内心，连接AP，BP，EP，将△ABE分为肥料区△APE，种植区△BEF，剩余部分方便活动．若AB＝4米，连接CP，在CP处铺设水管，为减少材料浪费，需要水管CP尽可能短，求水管CP的最小值． 4．【思路梳理】 （1）如图1，BD是△ABC的角平分线，若S△ABD＝2S△BCD，则的值为　 　 ； （2）如图2，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，连接OA、OB，已知⊙O的半径为4，求△OAB的周长； 【问题解决】 （3）如图3，某药材种植基地计划在基地内新增一个形状为四边形ABCD的药田用来种植桔梗和黄芪，其中BC∥AD，CD＝240米，连接BD，沿BD挖一条隔离沟将其分为两个区域，在△ABD区域种植桔梗，△BCD区域种植黄芪，∠ABD＝2∠BDC＝60°，过点B作BE∥CD交AD边于点E，沿BE修一条灌溉水渠，根据市场的需求，现要使种植桔梗区域（即△ABD）的面积尽可能的小，请你帮助该基地求出种植桔梗区域面积的最小值．（隔离沟、水渠的宽度均忽略不计） 5．问题探究 （1）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝10，点E为AD的中点，F，G为边BC上两点，且∠FEG＝90°，当FG＝5时，BF＝　 　 ． 问题解决 （2）某景区计划在一块空地上打造一片花海露营区，已知AB＝AD＝500米，∠BAD＝60°，空地右侧边沿上任意一点C均满足∠BCD＝150°．设计师要在AB边上确定一点E，在AD边上确定一点F，连接CE、CF、EF，△CEF的三边将空地分割成四个不同的区域，其中△CEF为露营区，另外三部分种植不同品种的花卉．为了节省围栏材料，需使△CEF的周长最小，在此基础上，尽可能使露营区域的面积最大．是否存在这样的点E和F？若存在，请画出满足条件的△CEF，并求出此时△CEF的周长和面积；若不存在，请说明理由． 6．问题探究 （1）如图1，在矩形ABCD中，∠ECD＝30°，CE⊥BD，CE＝2，则BD＝　 　 ． （2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BCD＝135°，BC＝2，，AC⊥BD交于点E，求AC的长． 问题解决 （3）如图3，某新建人工湖景区的平面示意图为四边形ABCD，CD∥AB，BC⊥AB．经测量得AD＝800m，CD＝CB，∠A＝60°．为提升游客观赏效果，景区工作人员计划修建PQ，PC两座栈桥，且PB＝CQ，点P，Q分别在AB、BC边上．结合实际施工条件，需使得的值最小．请问：是否存在符合条件的点P？若存在，请求出其最小值及对应BQ的长；若不存在，请说明理由． 7．（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两动点，且满足BF＝CE，连接CF、DE交于点P． ①∠DPC的度数为　 　 ； ②连接BP，若BC＝6，则BP的最小值为　 　 ； （2）如图2，在长方形ABCD中，AB＝30，，E为AD中点，Q为CB上一动点，F为BE上一点，P为CF上一点，且满足BF＝2CQ，∠CPQ＝60°，连接BP，求BP的最小值，及此时△EPD的面积． 8．【定义新知】 定义：有且仅有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．例如：四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称该四边形ABCD为“等对角四边形”． 【概念理解】 （1）如图1为6×6的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求以AB、BC为边在图1中画一个“等对角四边形”ABCD；（要求：四边形ABCD的顶点D在格点上） （2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AC，交边AB于点E，求证：四边形AEOD是“等对角四边形”； 【拓展应用】 （3）某地有一块空地，管理部门计划在这块空地上规划一个露营基地，如图3，四边形ABCD是其规划示意图，AC为其中的一条小路，为美观要求，要使四边形ABCD是“等对角四边形”，且∠BCD≠∠BAD．根据设计要求，将△ABC区域规划为露营区，将△ACD区域规划为鱼塘，鱼塘一圈可进行垂钓，已知AC⊥BC，AB＝1000m，BC＝800m，为了容纳更多的垂钓者，要求这个鱼塘的周长（△ACD的周长）尽可能的大，求当鱼塘的周长（△ACD的周长）最大时，该露营基地（四边形ABCD）的面积．（小路宽度忽略不计） 9．完成下列问题 （1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，以点A为圆心，半径为2作⊙A，点D是边BC上的一个动点，点E为⊙A上的一个动点，求线段DE的最小值； 问题解决 （2）如图2，兴隆社区有一块四边形ABCD空地，其中∠BAD＝60°，∠ABC＝75°，，，，且EB＝2AE．现在管理人员计划重新规划这块空地，在空地上找一点P，在P处建一个灌溉点，要求∠BPC＝135°，然后在△EPB区域种植太阳花，在△APD区域种植郁金香，其余部分铺上草坪．其中太阳花的种植成本为15元/m2，郁金香的种植成本为30元/m2，求种植太阳花和郁金香的最低成本是多少元？ 10．问题提出 （1）如图1，△ABC为⊙O的内接三角形，已知⊙O的半径为1，当点C在弦AB所对的优弧上移动时，BC边的最大值为 　 　 ，若，则∠ACB＝ 　 　 ； 问题解决 （2）如图2，一块空地由三条线段AD，AB，BC和一条弧线CD围成，政府准备将这块空地改建为公园，并在公园内修建四条供市民健身用的步道MC，CP，PD和DM，其中步道的两个入口点M，P分别位于AB边和上，另外两个入口分别为点D，C，经过测量得知所对扇形的半径为2千米，AD＝BM＝2千米，AM＝BC＝4千米，且∠A＝∠B＝60°．请问是否存在一种规划方案，使得四条跑道总长度最大？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 11．（1）如图1，已知△ABC∽△ADE，且AC•AD＝24，则AB•AE＝　 　 ； （2）如图2，已知在△ABC中，AB＝4，∠B＝30°，点D在AC的右侧，∠CAD＝60°，且AC•AD＝8，E为AB中点，连接DE，求DE的最大值．聪聪同学经过认真思考，作出了如下的辅助线：过A作AM⊥BC于M，作∠MAN＝60°，过D作DN⊥AD于D，请你帮聪聪完成推导过程； （3）某校园文化节需要设计一个菱形的艺术展示区ABCD，其中菱形边长为16米，∠B＝60°，如图3，在展示区ABCD的顶点A处，有一束灯光以固定的60°角（∠EAF＝60°）照射，灯光覆盖的区域内有一个装饰点G在AE上．现要求△AGF的装饰区域面积为平方米．现在需要在满足这个面积要求的前提下，找到从展示区的顶点B到装饰点G的最短距离，并求出这个最小值． 12．（1）如图1，已知点O到直线l的距离为10cm，以O为圆心，4cm长为半径作⊙O，则⊙O上的点到直线l的最短距离是　 　 cm； （2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，AE和BF相交于点P，求证：点A，D，F，P在同一个圆上； （3）如图3，某校园要打造一个矩形景观花园ABCD，AB＝10m，AD＝20m，根据设计方案，在边AB上任取一动点E，连ED，过点A作AF⊥ED于点F，在FD上截取，连接AP，PB，PC．现需在△PBC的区域内种植观赏花卉，已知种植这种花每平方米需200元，完成这种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：） 参考答案与试题解析 1．【解答】解：（1）作AD⊥BC于点D，如图①所示， ∵∠B＝45°，， ∴AD＝BD4， ∵tanC2， ∴DC＝2， 则△ABC的面积为12， 故答案为：12； （2）∵AB2＝BD•BC， ∴， 又∵∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBA， ∴∠BAC＝∠BDA＝90°， ∴BC， ∵AB2＝BD•BC， ∴BD， 故AD； （3）∵∠DMQ＝∠DCQ＝90°， ∴点D、M、Q、C四点共圆， ∴∠QDM＝∠MCQ， ∴tan∠MCQtan∠CDS， ∴cos∠CDS，sin∠MCQ． 作DS⊥AC于点S，如图③所示， 则DS＝cos∠CDS×CD1350＝1080m， 则S△DMN540MN， 欲求S△DMN最小，只需使MN最小． 作△DMN的外接圆⊙O，连接OD、ON， 作OR⊥MN于点R，则∠RON＝∠QDM， 设⊙O半径为r， 则OR，MN＝2RN＝2r， ∵OR+OD≥DS，即r≥1080， 解得r≥600， 即MN的最小值为720m， 则（S△DMN）min＝540×720＝388800（m2）． 2．【解答】解：（1）如图①，直线AD即为所作： （2）连接OA，OB，过点O作AB的垂线交AB于点N，交⊙O于点M，如图②， 设点C到AB的距离为h，则h≤MN， ∴当点C与点M重合时，h最大且为MN，此时△ABC面积最大， ∵∠ACB＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∵OA＝OB， ∴△OAB为等腰直角三角形，∠OAB＝∠OBA＝45°， ∴OA＝AB•cos∠OAB＝2＝OM， ∵ON⊥AB， ∴， ∴， ∴AB•MN2（2）＝2； （3）存在符合要求的面积最大的四边形公园ABCD和小路BE；理由如下： 连接BD，如图③，则S△ABDAB•AD60×60＝1800（m2）， ∵S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD， ∴当△BCD面积最大时，四边形ABCD面积最大， 作△BDC的外接圆，记为⊙O，连接OD，OB，过点C作CK⊥BD于点K，过点O作OG⊥BD交⊙O于F，交BD于G， ∵AB＝AD＝60m，∠BAD＝90°， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：BD60m， ∵∠BCD＝60°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝120°， ∵OB＝OD，OG⊥BD， ∴∠OBD＝∠ODB＝30°，BGBD＝30m， ∴OG＝BG•tan∠OBD＝10m， ∴OF＝OB＝2OG＝20m， ∴FG＝OF+OG＝30m， ∵CK≤FG， ∴当点C与点F重合时，△BDC面积最大， ∴BD•FG60301800（m2）， ∴四边形ABCD面积的最大值为m2， 当点C与F重合时，如图④，过点E作EQ⊥BF于点Q， ∵FG⊥BD，FG经过圆心， ∴， ∴FB＝FD， ∵∠BFD＝60°， ∴△BFD为等边三角形， ∴BF＝BD＝60m， 当BE平分四边形ABFD面积时，则S△BFE＝（900900）（m2）， ∴60QE＝900900， ∴QE＝（1515）m， ∴FQ（）m， ∴BQ＝BF﹣FQ（）m， ∴BE20（m）． 3．【解答】解：（1）∵∠AOB＝2∠C，∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△OAB为等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝6， ∴劣弧的长2π． （2）∵EF⊥AB， ∴∠AFE＝90°， ∴∠FAE+∠FEA＝90°， ∵点P是△AEF的内心， ∴PA平分∠FAE，PE平分∠FEA， ∴∠PAE＝∠PABFAE，∠PEAFEA， ∴∠PAE+∠PEA＝45°， ∴∠APE＝135°． 在△APE和△APB中， ， ∴△APE≌△APB（SAS）， ∴∠APE＝∠APB＝135°，PE＝PB， ∴∠BPE＝90°， 作出△APB外接圆⊙O，连接AO，OB，OC，如图， ∵AB＝4米，∠APB＝135°， ∴点P在以AB为弦，所含圆周角为135°的劣弧上， ∴当点P，O，C在一条直线上时，CP取得最小值为OC﹣OP， ∵∠APB＝135°， ∴劣弧的度数为360°﹣270°＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴OA＝OB， ∴OP＝2． 过点O作OH⊥CB，交CB的延长线于点H， ∵∠OBH＝90°﹣∠OBA＝45°， ∴△OBH为等腰直角三角形， ∴OH＝BH2， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝AB＝4， ∴CH＝BH+BC＝6， ∴OC2， ∴水管CP的最小值为OC﹣OP＝（2）米． 4．【解答】解：（1）如图，过D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC交BC延长线于点N， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴DM＝DN， ∵S△ABD＝2S△BCD， ∴2， 故答案为：2； （2）∵△ABC内接于⊙O，∠C＝45°， ∴∠AOB＝2∠C＝90°， ∵⊙O的半径为4， ∴OA＝OB＝4， ∴AB4， ∴△OAB的周长为； （3）∵BC∥AD，BE∥CD， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∴BE＝CD＝240米， ∵∠ABD＝2∠BDC＝60°， ∴∠BDC＝30°， ∵BE∥CD， ∴∠DBE＝∠BDC＝30°， ∴BE是∠ABD的平分线， 如图，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BD于点G，在GB上截取GH，使得GH＝AF，连接EH， ∵BE是∠ABD的平分线， ∴EF＝EG， ∴△AEF≌△HEG（SAS）， ∴∠AEF＝∠HEG，S△AEF＝S△HEG， ∵∠ABD＝60°，EF⊥AB，EG⊥BD， ∴∠FEG＝120°， ∴∠AEF+∠DEG＝180°﹣∠FEG＝60°， ∴∠HED＝∠HEG+∠DEG＝60°， ∵BE＝240米，∠DBE＝30°，EG⊥BD， ∴， ∵， ∴要使△ABD的面积最小，则需使DH的长最小， 如图3，作△EHD的外接圆⊙O，过点O作OQ⊥BD于点Q，连接OE、OH、OD， ∴∠HOD＝2∠HED＝120°， ∴， 设⊙O的半径为r，则OE＝OH＝r， ∴， ∴当r最小时，DH有最小值， ∵OE+OQ≥EG， ∴， ∴r≥80， ∴r的最小值为80，此时DH的长为， ∴△ABD面积的最小值为， ∴种植桔梗区域面积的最小值为平方米． 5．【解答】解：（1）如图所示，过点E作EM垂直BC交BC于点M， ∵四边形ABCD是矩形，EM⊥BC，点E为AD的中点， ∴EM＝AB＝2，AE＝BMAD＝5， ∵∠FEG＝∠EMF＝90°， ∴∠FEM+∠MEG＝∠FEM+∠EFM＝90°， ∴∠MEG＝∠EFM， 又∵∠EMF＝∠EMG＝90°， ∴△FEM∽△EGM， ∴，即， ∵FG＝5， ∴MG＝5﹣FM，即， 解得FM＝1（如图2）或FM＝4（如图1）， ∵BF＝BM﹣FM＝5﹣FM， ∴BF＝1或4， 故答案为：1或4； （2）连接AC，BD，分别作点C关于直线AD，AC的对称点C1，C2，连接AC1，AC2，C1C2，C1E，C2F， ∵∠BAD＝60°，AB＝AD＝500米， ∴△ABD是等边三角形，BD＝500米， ∵点C1，C2是点C关于直线AD，AC的对称点， ∴CE＝C1E，AC＝AC1，∠C1AD＝∠CAD，CF＝C2F，AC＝AC2，∠C2AB＝∠CAB，C△CEF＝CE+CF+EF＝C1E+C2F+EF≥C1C2， ∴当C1，E，F，C2四点共线时，△CEF的周长最小， ∵∠C2AB＝∠CAB，∠C1AD＝∠CAD，且∠BAD＝∠CAD+∠CAB＝60°， ∴∠C1AC2＝∠C1AD+∠CAD+∠CAB+∠C2AB＝2∠BAD＝120°， 又∵AC1＝AC，AC2＝AC， ∴AC1＝AC2， 过点A作AM⊥C1C2，垂足为点M，则AM是线段C1C2的垂直平分线， ∴，， 在Rt△C1AM中，，， 即，， 又∵BD＝500米，是定长，∠BCD＝150°是定角， ∴点C的运动轨迹为圆弧， 又∵在圆中，∠BCD的对角为30°，△ABD是等边三角形， ∴点C的运动轨迹是以A为圆心，AB＝500米为半径的圆弧， ∴AC＝AC1＝500， 故AM＝250米，米，， ∴△CEF的最小周长为米， 当△CEF最小时，如图所示，分别过点C，A作EF的垂线，垂足分别为I，J， ∴∠CIH＝∠AJH＝90°， 平方米． 又∵△AC1E≌△ACE，△AC2F≌△ACF， S△AEC+S△AEF+S△ACF＝S△AEF+S△AEF+S△CEF＝2S△AEF+S△CEF， ∵平方米， ∴平方米， ∵∠CIH＝∠AJH＝90°，∠CHI＝∠AHJ， ∴△CIH∽△AJH，， ，，， 要使△CEF最大，就要使△AEF面积最小，即求AH最小， 当AH⊥EF时，AH取得最小值，此时AH与AM重合， AH＝AM＝250米，则CH＝AC﹣AH＝500﹣250＝250米， 则S△AEF＝S△CEF，平方米， ∴平方米． 满足条件的图如下图所示． 6．【解答】解：（1）∵CE⊥BD，∠ECD＝30°，CE＝2， ∴，∠CDB＝90°﹣∠ECD＝60°， ∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝30°， ∴BD＝2CD＝2， 故答案为：2； （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H， ∵∠BCD＝135°， ∴∠DCH＝45°， ∴△DCH是等腰直角三角形， ∵， ∴DH＝CH＝2，BH＝BC+CH＝4， ∴， ∵AC⊥BD，∠ABC＝90°， ∴∠CAB+∠ABE＝∠HBD+∠ABE＝90°， ∴∠CAB＝∠HBD， 又∵DH＝BC＝2，∠ABC＝∠BHD＝90°， ∴△ABC≌△BHD（AAS）， ∴； （3）法一：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H， ∴， ∵CD∥AB，BC⊥AB， ∴∠CBA＝∠BCD＝∠DHB＝90°， ∴四边形DHBC是矩形， ∵BC＝CD， ∴矩形DHBC是正方形， ∴， 设PB＝CQ＝a，则， ∴， PC2＝BP2+BC2＝a2+480000， 设（k≤1），则， ∴， 整理得：①式； ∴， ∴k2﹣3k+1≤0， 当k2﹣3k+1＝0时，，k2， ∵抛物线y＝k2﹣3k+1的开口向上， ∴y≤0时，， ∴k的最小值为； 此时， 把k代入①式得0， 解得：a＝200， ∴BQ＝400a； 答：存在符合条件的点P，的最小值为，对应BQ的长为米． 法二：连接DQ，过D作DM⊥AB于点M， ∵DC＝BC，DC∥AB，CB⊥AB， ∴四边形DMBC是正方形， 在Rt△ADM中，AD＝800m，∠A＝60°， ∴AM＝400m，DM＝400m， ∴CD＝BC＝DM＝400m， 参考（2）思路易证△DCQ≌△CBP， ∴DQ＝CP，DQ⊥CP， ∴E、P、B、Q四点共圆， ∴△CQP∽△CEB， ∴， 当BE最小时，则有最小值， ∵∠DEC＝90°， ∴点E在以CD为直径的圆上运动， 取CD中点O，则BE≥OB﹣OE＝200200200（1）， 当且仅当O、E、B三点共线时取等， 此时； 过E'作E'H⊥CD于点H， 则OHr，， ∴CQ（1）r＝200200， ∴BQ＝BC﹣CQ＝600200． 7．【解答】解：（1）①在正方形ABCD中，BC＝CD，∠B＝∠BCD＝90°， ∵BF＝CE， ∴△CBF≌△DCE（SAS）， ∴∠BCF＝∠CDE， ∵∠DCP+∠BCF＝90°， ∴∠DCP+∠CDE＝90°， ∴∠DPC＝90°， 故答案为：90°； ②由①知∠DPC＝90°， ∴点P在以CD为直径的圆上运动， 如图，记CD中点为O， 则OP＝OCCD＝3，OB3， ∴BP≥OB﹣OP＝33，当且仅当O、P、B三点共线时取等， 即BP最小值为33， 故答案为：． （2）如图2，连接EC， ∵E为AD中点，AD＝20 ∴AE＝DE＝10， ∴BE＝CE20， ∴BE＝CE＝BC， ∴△EBC为等边三角形． 延长QP交EC于G， ∵∠CPQ＝∠FBC＝60°，∠PCQ＝∠BCF， ∴∠CQP＝∠BFC， 又∵∠GCQ＝∠CBF＝60°， ∴△GCQ∽△CBF， ∴， ∴． 在CD上取点O，且使得CO＝10，连接GO， ∵∠GCO＝30° ∴OG＝10，∠GOC＝120°， 又∵∠GPC＝120°， ∴点P在以O为圆心，10为半径的圆上，连接OP，OB， ∴OP＝10，OB＝10， ∴BP≥OB﹣OP＝10（当且仅当B、O、P三点共线时等号成立）， ∴BP的最小值为； 如图，过点P作PH⊥ED于H，延长HP交BC于K， ∴HK＝30． ∵∠BKP＝∠BCO，∠PBK＝∠OBC， ∴△BPK∽△BOC， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 8．【解答】（1）解：如图，“等对角四边形”ABCD即为所求； （2）证明：∵在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O， ∴OD＝OA＝OB，∠DAE＝90°， ∴，∠OAB＝∠OBA， ∵∠DOA＝∠OAB+∠OBA， ∴， ∵OE⊥AC， ∴∠AOE＝90°， ∴， ∴∠ODA＝∠OEA， ∵∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠DOA+90°＞90°＝∠DAE， 即∠DOE≠∠DAE， ∴四边形AEOD是“等对角四边形”； （3）解：∵AC⊥BC，AB＝1000m，BC＝800m， ∴600（m）， ∵△ACD的周长为AD+CD+AC＝AD+CD+600， ∴要使△ACD的周长最大，则需AD+CD取最大值， 如图，过点A作AE⊥AC于E， ∵四边形ABCD是“等对角四边形”，且∠BCD≠∠BAD， ∴∠D＝∠B， ∴， ∵， ∴设AE＝3x，DE＝4x，则AD＝5x， 在Rt△ACE中，， ∴， ∴AD+CD＝AD+DE+CE＝5x+4x9x， 令， ∴， ∴（y﹣9x）2＝360000﹣9x2， 整理得90x2﹣18yx+（y2﹣360000）＝0， ∴Δ＝（18y）2﹣4×90×（y2﹣360000）≥0， 整理得y2≤3600000， ∴， ∴y的最大值为，此时Δ＝0，， ∴，CD＝4x， ∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC ＝510000（m2）， 即当鱼塘的周长（△ACD的周长）最大时，该露营基地（四边形ABCD）的面积为510000m2． 9．【解答】解：（1）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，以点A为圆心，半径为2作⊙A，点D是边BC上的一个动点，点E为⊙A上的一个动点，如图，连接AE，过点A作AF⊥BC，垂足为F． ∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°， ∴∠B＝45°． ∴． ∵DE+AE≥AF． ∴， ∴DE的最小值为； （2）∵，且EB＝2AE， ∴． 如图2，在BC右侧作以BC为底的等腰直角三角形BOC，连接OP， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∴． ∵∠BPC＝135°， ∴点P在以点O为圆心，半径为的上运动， ∴． ∵EB＝2AE， ∴． 设种植太阳花和郁金香所需成本为W， 则W＝15×S△PEB+30×S△PAD＝30×S△PEA+30×S△PAD＝30×（S△PEA+S△PAD）＝30S四边形PEAD． ∵∠OBC＝45°，∠ABC＝75°， ∴∠ABO＝120°． 如图2，连接ED，过点D作DE′⊥AB ∵，，∠BAD＝60°， ∴， ∴E，E′重合， ∴∠AED＝90°， ∴ED＝AD•sin60°＝180m． 过点P作PF⊥ED于点F，过点O作OG⊥ED于点G，过点B作BH⊥OG于点H， ∴∠ABH＝90°，， ∴∠OBH＝30°， ∴， ∴． ∵PF+OP≥OG， ∴， ∴ ． ∴（元）， ∴最低成本为元． 10．【解答】解：（1）∵点C在弦AB所对的优弧上移动， ∴当BC为⊙O的直径时，BC取最大值， ∵⊙O的半径为1， ∴BC边的最大值为2， 连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于H，则AHAB， ∵OA＝OB＝1，OH⊥AB， ∴∠AOH＝∠BOH∠AOB， 在Rt△AOH中，sin∠AOH， ∴∠AOH＝60°， ∴∠AOB＝2∠AOH＝120°， ∴∠ACB∠AOB＝60°； 故答案为：2，60°； （2）存在，最大值为（44）千米，理由如下： 如图，设所在圆的圆心为R，连接DR、CR、MP，连接MR并延长，交CD于点H，在PM上取点P'，使得PP'＝PC，连接P'C，取AM的中点G，连接DG， 则AG＝MGAM＝2千米， ∵AD＝BM＝2千米， ∴AD＝ AG， ∵∠A＝60°， ∴△ADG是等边三角形， ∴∠ADG＝∠AGD＝60°，AG＝DG， ∴DG＝ MG， ∴∠GDM＝∠GMD， ∵∠GDM+∠GMD＝∠AGD＝60°， ∴∠GDM＝∠GMD＝30°， ∴∠ADM＝60°+30°＝90°，∠AMD＝30°， ∴DM2千米， ∴， ∴△ADM≌△BMC（SAS）， ∴DM＝CM＝2，∠ADM＝∠BMC＝90°， ∴∠CMD＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∴△CDM是等边三角形， ∴CD＝DM＝CM＝2，∠CMD＝∠CDM＝60°， ∵， ∴△DRM≌△CRM（SSS）， ∴∠DMR＝∠CMR∠CMD＝60°＝30°， ∴MH⊥CD， ∴DH＝CHCD，∠MHD＝90°， ∴MH3， ∵RD＝2， ∴RH1， ∴RM＝MH﹣RH＝3﹣1＝2， ∴点M在⊙R上， ∴四边形DMCP是⊙R的内接四边形， ∴∠CPM＝∠CDM＝60°，∠DPC＝180°﹣∠DMC＝120°， ∵PP'＝ PC， ∴△P'PC是等边三角形， ∴PP'＝P'C＝PC，∠PP'C＝60°， ∴∠CP'M＝180°﹣∠P'PC＝120°， ∵∠PDC＝∠PMC，∠CP'M＝∠DPC，CD＝CM， ∴△PDC≌△P'MC（AAS）， ∴P'D＝P'M， ∴PD+PC＝PD+PP'＝P'M+PP'＝PM， 当PM是直径时，PD+PC取最大值，最大值为4， ∵四边形DMCP周长＝DM+CM+PC+PD＝22PD+PC＝4PD+PC， ∴四边形DMCP的周长最大值＝（44）千米， 即四条步道总长度最大值为（44）千米． 11．【解答】解：（1）∵△ABC∽△ADE， ∴， ∴AB•AE＝AC•AD＝24； 故答案为：24； （2）如图，作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接AN，取AN中点O，连接OE，OD， ∵AM⊥BC，DN⊥AD， ∴∠ADN＝∠AMN＝90°， ∵∠MAN＝∠CAD＝60°， ∴△AMC∽△ADN． ∴， ∴AC•AD＝AM•AN＝8． ∵AB＝4，∠B＝30°， ∴． ∴， ∴Rt△ABM中，， Rt△AMN中，， ∴， ∵∠AMC＝∠ADN＝90°， ∴A、M、N、D四点共圆， ∴AN为⊙O 直径，半径为， ∴点D在以O为圆心，r＝2为半径的圆上运动，当D、O、E三点共线时，DE有最大值． ∵E、O分别为AB、AN中点， ∴OE为△ABN的中位线， ∴，BM＝2， ∴EOBN2． ∴DE≤EO+OD＝22， ∴DE最大值＝2． （3）连接AC， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝AB＝BC＝CD，∠B＝∠D． ∵∠B＝60°， ∴△ABC与△ACD均为等边三角形． ∴AC＝AB＝16，∠BAC＝60°，∠ACD＝60°， ∵∠EAF＝∠BAC＝60°， ∴∠EAF﹣∠CAE＝∠BAC﹣∠CAE，即∠BAE＝∠CAF． ∵∠EAF＝60°，， 设AG边上的高为h， ∴， ∴h＝sin∠EAF•AF＝sin60°•AF， ∴， ∴AG•AF＝128． 取AB的中点H，连接GH， ∴， ∴AH•AC＝AG•AF＝128． ∴， ∴△AHG∽△AFC． ∴∠AGH＝∠ACF＝60°． ∴点G的轨迹为以AH为底，顶角为120°的等腰三角形的外接圆⊙O． 作OM⊥AB交AB于M， ∴，∠AOM＝∠HOM∠AOH＝60°， ∴OA＝OH． ∴R， ∴BO． ∴BG最小值＝BO﹣R． 12．【解答】（1）解：过点O作OH⊥l于点H，则OH＝10cm， 以O为圆心，4cm长为半径作⊙O，交OH于点P， ∴⊙O上一点到直线的最小距离为PH＝OH﹣OP＝10﹣4＝6cm； 故答案为：6； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝∠D＝90°， ∵BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝90°， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴∠APF＝90°， ∴∠APF+∠D＝180°， ∴点A，D，F，P在同一个圆上； （3）解：∵AF⊥ED，， ∴， ∴∠APF＝30°， 则∠APD＝150°， 以AD为边向上作等边三角形ADJ，以点J为圆心，AJ为半径作圆，在⊙J上取一点T， 连接AT，DT，过点I作JQ⊥BC交BC于点Q，交AD于点G， ∵△ADJ为等边三角形， ∴∠AJD＝60°， ∴， ∴∠APD+∠ATD＝180°， ∴A、T、D、P四点共圆． ∴点P在⊙J上，即JP＝JA＝20m， ∴当点P在JQ上时，点P到BC的距离最短，如图， ∵AB＝10m，AD＝AJ＝DJ＝BC＝20m， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABQG是矩形， ∴GQ＝AB＝10m， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴完成这种花卉的种植至少需花费14600元． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/21 15:30:59；用户：贾老师；邮箱：18700475953；学号：68421402 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $