第五章：分式与分式方程 单元测试卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 初中数学分式与分式方程单元卷，适用于单元复习，覆盖分式概念、性质、方程及应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，渗透抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|分式概念、最简分式、方程去分母等|结合《九章算术》体现文化传承，新定义运算考查创新意识| |填空题|6/24|分式有意义条件、最简公分母、方程无解等|乡村振兴工程问题渗透应用意识，不等式组与分式方程结合考查推理能力| |解答题|5/56|化简、解方程、利润问题、“和谐分式”探究|利润问题综合方程与不等式，“和谐分式”新定义培养抽象能力与创新意识|

第五章 分式与分式方程 测试卷 满分:120分 时间：90分钟 题序 一 二 三 评卷人 总分 得分 一、选择题(共 10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是符合题意的) 1. 在 中，分式的个数是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.下列分式中，属于最简分式的是 ( ) A. B. C. D. 3.若分式 的值为0，则x的值是 ( ) A.-3 B.3 C.9 D.0 4.如果把分式 中的a和b都缩小为原来的 ，那么分式的值( ) A.缩小为原来的 B.不变 C.扩大为原来的2倍 D.缩小为原来的 5.将分式方程 去分母，得 ( ) A.3(x-2)+2x(x-2)=1 B.3(x-2)+2x(x-2)=x-2 C.3+2x=1 D.3+2x=x-2 6.化简 的结果为 ( ) A. B. C. D. 7.已知关于x的分式方程 的解是正数，则m的取值范围是 ( ) A. m>4 B. m<4 C. m>4且m≠5 D. m<4且m≠1 8.《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记录的一道题的译文如下：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为 其中x表示( ) A.快马的速度 B.慢马的速度 C.规定的时间 D.以上都不对 学科网（北京）股份有限公司 9. 定义一种运算“⊗”: 例如： 则方程 的解是 ( ) A. B. x=-1 C. D. x=2 10.若分式方程 有增根，则a的值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(共6小题，每小题4分，共24分) 11.若 有意义，则x的取值范围是 . 12.分式 的最简公分母是 . 13.已知 则 14.若关于x的方程 无解，则a的值为 . 15. 为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造 20米，甲队改造400米的道路与乙队改造 300米的道路所用时间相同，甲工程队每天改造的道路长度是 米. 16.关于x的分式方程 的解为正数，且关于y的不等式组 的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是 三、解答题(共56分) 17.(8分)化简: 学科网（北京）股份有限公司 18.(8分)解分式方程: 19.(8分)(1)先化简,再求值: 其中a=2. (2)先化简 再从-2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值. 学科网（北京）股份有限公司 20. (8分)刘峰和李明相约周末去科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米. 21. (10分)某超市准备购进足球和篮球进行销售.每个足球的进价比每个篮球的进价少10元，且用800元购买足球的数量与用 1000元购买篮球的数量相同. (1)求每个足球和篮球的进价分别是多少元. (2)已知该超市本次购进足球的数量比篮球的数量的 2倍少 5个，每个足球的销售价是75元，每个篮球的销售价是80元，由于足球的销量不好，足球售出 10个后超市决定将剩余的足球按八折出售，最终将本次购进的足球和篮球全部售出，若使销售的总利润不低于 1450元，超市至少购进篮球多少个? 学科网（北京）股份有限公司 22. (14分)如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”. ( 1)下列分式： 其中是“和谐分式”的是 (填写序号即可). (2)若a为正整数，且 为“和谐分式”，求a的值. (3)在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果. 第五章测试卷 1. B 2. D 3. B 4. A 5. D 6. C 7. C 8. C 9. A 10. C 11. 答案 x≠1 12. 答案 2x(x+1)(x-1) 13. 答案 14 14.答案 -2或 解析方程可化为 方程两边同乘2(x-5),得2(x-1)=-mx, 无解， 整理,得(2+m)x=2,∵关于x的方程 ∴分情况讨论：①整式方程无解，当2+m=0，即m=-2时，原分式方程无解；②求得的整式方程的根是原分式方程的增根,当2(x-5)=0,即x=5时,解整式方程5(2+m)=2,解得 时，原分式方程无解.综上，当m=-2或 时，原分式方程无解. 15.答案 80 解析 设甲工程队每天改造的道路长度是x米，则乙工程队每天改造的道路长度是(x-20)米，由题意得 解得x=80，经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意，∴甲工程队每天改造的道路长度是 80米. 16.答案 13 解析 解分式方程得x=a-2,∵x>0且x≠3,∴a-2>0且a-2≠3,∴a>2且a≠5,解不等式组得 ∵不等式组的解集为 且a≠5，∴所有满足条件的整数a的值之和为3+4+6=13. 17.解析(1)原式 (2)原式 18.解析 去分母,得x-2-2(x-4)=x, 解得x=3, 检验:当x=3时,x-4≠0, ∴x=3是原方程的根. 去分母,得-2=x-5(x-2), 解得x=3, 检验:当x=3时,x-2≠0, ∴原方程的解为x=3. 19.解析(1)原式 当a=2时，原式 (2)原式 由题意得a≠1且a≠-2, 故a的值为0或2，答案不唯一. 当a=0时，原式 当a=2时，原式 20.解析 设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行 3x千米， 由题意得 解得x=20, 经检验，x=20是原方程的解，且符合题意， ∴3x=60. 答：刘峰骑自行车每小时行20千米，李明乘公交车每小时行60千米. 21.解析 (1)设每个足球的进价为x元，则每个篮球的进价为(x+10)元，根据题意得 解得x=40, 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意， ∴x+10=40+10=50. 答：每个足球的进价为40元，每个篮球的进价为50元. (2)设该超市本次购进篮球m个， 则购进足球(2m-5)个, 根据题意得(80-50)m+(75-40)×10+(75×80%-40)· (2m-5-10)≥1450, 解得m≥20. 答：超市至少购进篮球20个. 22.解析 (1)②. (2)∵分式为“和谐分式”, 可以因式分解，又∵a为正整数,∴a=4或a=5. 当a=4时, 分式是“和谐分式”； 当a=5时, 分式不是“和谐分式”. ∴a的值是4. 不能作分子或分母， ∴构造的“和谐分式”是 或 学科网（北京）股份有限公司 $