期末单元复习(5) 分式与分式方程-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

期末单元复习（五） 01 知识结构图 概念、基本性质 分式 分式的化简 分式的乘除、乘方 入 式 分式的运算分式的加减 分式的混合运算 分式方程的解法 分式方程 分式方程的应用 02重难点突破 突破点一分式的有关概念及基本性质 例0(2025·郑州期末)把分式3义中x,y的 x十y 值同时扩大到原来的5倍，则分式的值() A.扩大到原来的5倍 B.不变 C.扩大到原来的10倍 D.第小为原来的号 反思归纳解决此类题目关健是抓住分子、分母变化的 倍数，先把字母变化后的值代入分式，再约分，然后与 原式比较得结论。 对点训练 1.下列各式：a,b,+3,5+y,a+,1(x十 2 元'a-b'm y),其中是分式的共有 () A.1个B.2个 C.3个 D.4个 2.(2025·毕节期末)下列等式成立的是() A.= B.a2+62 =a+b y3 y a+b C. m2 =m n会3a-6 3如果分式胃的伯为0，则x的值是 119八年级数学下册·BS 分式与分式方程 突破点二分式的运算 例2(2026·贵州模拟)先化简，再求值：(1 ÷m1 mm2+2m+1,其中m=2. 反思归纳分式的运算应抓住两个关键：一是灵活运用 分解因式去约分和通分，二是巧借运算律简化运算。 对点训练 4.下列分式中，最简分式是 () A B.y x十y C.x2-2xy+y D.2+y x-y x-y 5.计算(- 兴)·(2)÷义的结果为 6化简n之1十a1的结果足 7.(2026·河南模拟)先化简，再求值：(a十1一 把月÷（日2其中a从-2.01.2 a a2-a 中选出一个你喜欢的数代人求值。 突破点三分式方程及其应用 固日分式方程牛号，1的根是（) A.x=2 B.x=-2 C.x=3 D.无解 反思归纳解分式方程的基本思想是“转化思想”，即把 分式方程转化为整式方程并求解。此外，要注意验根。 对点训练 8若关于x的分式方程，”1一1，=1有蜡 根，则m的值为 () A.2 B.1 C.3 D.-3 9.若关于x的分式方程千=1的根为负数， 则a的取值范围是 10.某网店用5000元购进一批新品种草莓进 行试销，由于销售状况良好，网店又用 11000元第二次购进该品种草莓，但第二次 的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二 次购进的草莓数量是试销时的2倍。试销 时该品种草莓的进货价是每千克元。 11.(2025·扬州模拟)为响应低碳号召，肖老师 上班的交通方式由自驾车改为骑自行车，肖 老师家距学校15km,因为自驾车的速度是 骑自行车速度的4倍，所以肖老师每天比原 来早出发45min,才能按原时间到校，求肖 老师骑自行车每小时走多少千米。 03备考集训(60分钟100分) 一、选择题（每小题4分，共32分）》 1.分式，二2有意义的条件是 A.x≠0B.x>2C.x<2 D.x≠2 2.(2026·河商模款)化简”。·a的结果 是 () A.a-1 B.a+1 C.a-1 2 n 3(2025·深圳荆中y计第。2十g总的结架是 () A.1 B.-1 C.a+2 a-1 n 4.若关于x的分式方程”一3=1的根为x=2, x-1 则m的值为 () A.5 B.4 C.3 D.2 5.下列计算正确的是 () 4. a千6÷(a+b)=1 B.a-1=a+1 'a2-a c号 6U知2M= a二b则M等于 () Ag246 B D.a-b 2a 7.某工程队要铺建一条长2000m的管道，采 用新的施工方式，工作效率提高了25%，结果 比原计划提前2天完成任务，设这个工程队 原计划每天铺建xm管道，依题意所列方程 正确的是 () A20+220 B.2000-=2000+2 1.25x C.2000+2000 2 D.2000-2000=2 1.25x 1.25x 8.若关于x的分式方程，”2十1=2二的根是 非负数，则m的取值范围是 () A.m≤2 B.m≥2 C.m≤2且m≠-2 D.m<2且m≠-2 二、填空题（每小题4分，共24分） ,若分式x的值为0，则x的值为 10.(2025·贵阳期末)计算：m十41 m+3m十3 山计算兰)a3的钻果是 3 12.已知a2一6a十9与b一1互为相反数，则式 于（号一名）÷(a+6)的值是 助学助教优质高效120 13.当a= 时，方程一2-}的根也是方程 x a-1x+1=5的根。 14.元旦节前后，小丽两次到同一超市购买同一种 彩带。元旦节前，按标价购买，用了90元；元旦 节后，由于超市打折促销，按标价的五折购买， 用了60元。已知两次一共购买了35卷，则这 种彩带每卷标价多少元？设这种彩带每卷标 价x元，则可列方程为 三、解答题（共44分） 15.(10分)计算： (1)1.a2+2a+1_a a+1a+2a+2 2川u-2-m22·0号 16.(12分)解下列方程： 12年6+52=1： 2x (2)x -21= 8 x2-4 121八年级数学下册·BS 1.10分)先化简，再求值：（十产） x2—y,其中x,y满足2x+y-3=0. 18.(12分)京广高速铁路工程指挥部要对某路 段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队 的投标书。从投标书中得知：甲队单独完成 这项工程所需天数是乙队单独完成这项工 程所需天数的子：若由甲队先做10天，剩下 的工程再由甲、乙两队合作30天完成。 (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多 少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元， 乙队每天的施工费用为5.6万元。工程 预算的施工费用为500万元。为缩短工 期，拟安排甲、乙两队同时施工，安排预 算的施工费用是否够用？若不够用，需 追加预算多少万元？请给出你的判断并说 明理由。85°-a。∠CAE=∠C+∠B,且∠B=∠ADB=2(180°-∠BAD)=90° a=85°-a十90-a。a=70。∴旋转角a的度数是 1 70°。15.解：(1)如图，△AP'C即为所求。(2)等边。 (3)△PP'C是直角三角形，理由如下：，△APP是等边三角 形，.PP'=PA=2。又△APB≌△AP'C,∴.BP=CP'=2 √3。在△PP'C中，(PP')2+(P'C)2=22+(2√3)2=16，PC=4=16,. (PP')+(P'C)=PC。∴∠CP'P=90°，即△PP'C为直角三角形。(4) :△PAP是等边三角形，.∠AP'P=60°。.∠CP'A=90°+60°=150°。 ∴.∠APB=∠CP'A=150°。故答案为150°。 期末单元复习（四）因式分解 重难点突破 例1D例2490 对点训练 1.(1)a(a-1)(2)(x+3)(x-3)(3)(a-b)2(4)(x+y)(x-6y) 2.C3.424.2027 备考集训 1.B2.A3.A4.C5.C6.2x(3x-2)7.2xy8.3149.±4 10.1011.(1)解：8a3b2+12abc=4ab2(2a2+3bc)；(2)解：2a2-4ab+2b =2(a2-2ab+b2)=2(a-b)2;(3)解：3x-12x3=3.x(1-4x2)=3x(1十 2x)(1-2x);(4)解：x4-y=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x- y)。12.解：(1)原式=(x-2)2+6(x-2)=(x-2)(x-2+6)=(x-2) (x+4)当x=-2时，原式=(-2-2)×(-2+4)=-8。(2)原式=ab (a2+2ab+b2)=ab(a+b)2,当a+b=3,ab=2时，原式=2×32=18.13. 解：，原来4块地的总面积为(a2+bc十ac+ab)m,∴.a2+bc+ac十ab=a(a+ b)十c(a十b)=(a十b)(a十c)。:此块地的宽为(a十b)m,∴.交换后这块土地 的长为(a十c)m。14.解：(1)S阴影=4S长方形=4ab①，S阴影=S大正方形 S空自小正方形=(a十b)2-(b-a)2②，由①②得(a+b)2-(a-b)2=4ab。故 答案为(a十b)2-(a-b)2=4ab。(2).(2x+y)2-(2x-y)2=8xy,∴.8xy =169-9,∴.xy=20。 期末单元复习（五）分式与分式方程 重难点突破 例1A例2解：原式=m-1÷m十1)(m-1)-m-1.m+1-m十1 (m+1)2 m-1 m 当m=2时原式=岁=是，例3D 对点训练 1.C2.D3.-34.D5.-16x 6 7.解：原式= (a+1)(a-1)-(4a-5).a-1-1=a2-1-4a+5.a(a-1)_(a-2)2,a(a-1) a-1 a(a-1)a-1 a-2 a-1 a-2 =a2-2a.a≠0，且a≠1且a≠2，.a=-2。当a=-2时，原式=a-2a= (-2)2-2×(-2)=8.8.D9.a<1且a≠010.511.解：设肖老师骑 自行车每小时走xkm。根据题意，得5是怎解得x=15。经检验： =15是原方程的根，并符合实际意义。答：肖老师骑自行车每小时走15km。 备考集训 1.D2.C3.B4.B5.D6.A7.B8.C9.110.111.3 -1 2号132142+8=51510解原式=·0+》-2 =a+1_a 2一2二a122)獬：原式=w2·m二2、， m-2‘m-3=m十3。 16.(1)解：方程两边乘(2x+5)(5x-2),得10x2-4x十10x十25=10x2十 26 21x-10。解得1=子.检验：当x=号时，(2x十5)5x-2)≠0.原分式 7 方程的根为x=3。(2)解：两边同乘以(x+2)(x一2)，得x(x十2)一x十 4=8。解得x=2。检验：当x=2时，x2一4=0。.原分式方程无解。 17.解：原式=4x十2y。2x+y-3=0,∴.2x十y=3。当2x十y=3时，原 式=4x+2y=2(2x十y)=2×3=6.18.解：(1)设乙队单独完成这项工程 需要x天，则甲队单独完成这项工程需要号x天。根据题意，得0+30 2 2 (士十)=1，解得x=90,经检验=90是所列方程的根。∴号 x x=60。 3 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天；(2)设甲、乙两队合 作完成这项工程需要y天，根据题意，得(0十品y=1。解得y=36。需要 施工费用：36×(8.4十5.6)=504（万元）。504>500，∴.工程预算的施工费 用不够用，需追加预算4万元。 期末单元复习（六）平行四边形 重难点突破 例I)证明：OE是△ABC的中位线BE=CE,0E=-2AB。:口ABCD, .AB∥CD。∴.∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠ECF。∴.△ABE≌△FCE。 ·AB=CF。∴OE=2CF;(2)由(1)知AB=CF,又：AB∥CF,四边 形ABFC是平行四边形。 对点训练 1.C2.C3.50°4.V3 备考集训 1.D2.C3.A4.C5.C6.C7.(4,2)8.70°9.210.12√2 11.(1)证明：，AB∥CE,.∠CAD=∠ACE,∠ADE=∠CED。F是AC 中点，∴.AF=CF。∴△AFD≌△CFE。DF=EF。∴.四边形ADCE是 平行四边形；(2)解：过点C作CG⊥AB于点G。 CD=BD,∠B=30°，∴.∠DCB=∠B=30°。.∠CDG =60°。在Rt△CGD中，∠DGC=90°，∠CDG=60°， ∠DCG=30°.DG=2CD=1,CG=√2-1F-3。:∠CAB=45, .∠CAG=∠GCA=45°。.AG=CG=√3。.AD=AG+ DG=√3+1.12.(1)128(2)证明：连接BD,取BD的中点 P,连接PE,PF。同(1)得：PE为△ABD的中位线，PF为 △BCD的中位线。∴PE∥AB,PF∥CD,PE=号AB,PF= CD.∴∠PEF=∠BMF,∠PFE-∠CNF,:AB=CD, .PE=PF。∴.∠PFE=∠PEF。∴.∠BMF=∠CNF 第二部分质量评价步步高 第一章学业质量评价 1.C2.B3.C4.B5.B6.D7.C8.D9.C10.D11.5 12.75°13.50°或80°14.1215.2+2√316.317.解：设这个多边形的 边数为n。根据题意，得(n一2)·180°=4×360°。解得n=10。则这个多边 形的边数是10.18.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8, BC=4√3，.AC=√AB2-BC=√82-(43)2=4。(2)作CD ⊥AB于点D,Sw=2AC·BC=合AB.CD,AB=8,BC=