第五章 图形的轴对称 单元练习 (二) 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学“图形的轴对称”单元综合复习卷，覆盖轴对称图形识别、垂直平分线性质、等腰三角形性质等核心知识点，结合围棋、节气等文化情境与动态几何问题，梯度设计合理，适配单元复习巩固与数学眼光、思维、语言素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|轴对称图形判断（节气图案）、垂直平分线性质（第2题）、等腰三角形多解（第4题）|融入围棋对弈图（第3题），考查空间观念| |填空题|6题|轴对称面积计算（第11题）、等腰三角形高之和（第12题）|结合几何直观与运算能力，如第13题平行线与等腰三角形角度转换| |解答题|9题|等边三角形证明（第17题）、轴对称作图（第19题）、动点探究（第23题）|分层设计，从基础推理（第21题填空证明）到创新探究（第25题开放性问题），培养推理能力与创新意识|

第五章图形的轴对称综合练习（二） 一．选择题（共10小题） 1．下面四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“小暑”“立秋”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B．C． D． 2．如图，△ABC的边AB，BC的垂直平分线交于点P，若PA+PC＝16，则PB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，当白方落子在A、B、C、D中的（　　）处，则所得的对弈图是轴对称图形． A．B或C B．A或D C．B或D D．A或C 4．若某等腰三角形一内角为50°，则等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为（　　） A．25°或30° B．40°或35° C．25°或40° D．30°或50° 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠ADB等于（　　） A．105° B．110° C．115° D．120° 6．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD．若△ABC的周长是13cm，AE＝2cm，则△ABD的周长是（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 7．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，若AB＝8，BC＝6，AC＝9．则△ABD的周长为（　　） A．14 B．15 C．17 D．23 8．如图是4×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上．请在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知m，n是等腰三角形ABC的两边，且|m﹣2|+（n﹣9）2＝0，则等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．13或20 C．20 D．13或19 10．如图，AC、BD在AB的同侧，点M为线段AB中点，AC＝2，BD＝8，AB＝8，若∠CMD＝120°，则CD的最大值为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 二．填空题（共6小题） 11．如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BC＝6，AD＝8，则图中阴影部分的面积是 　 　 ． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，该三角形的面积为20，O是边BC上任意一点，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，则OE+OF等于　 　 ． 13．如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在线b上，且CA＝CB．若∠1＝α，则∠2＝　 　 （用含α的式子表示）． 14．一个等腰三角形的两边长分别是4cm和7cm，则它的周长为　 　 cm． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C＝　 　 ． 16．若（a﹣2）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．已知：如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB＝HC，∠A＝60°，求证：△ABC为等边三角形． 18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE交AD于点F，交AC于点E，若BE平分∠ABC，试判断△AEF的形状，并说明理由． 19．在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形． 20．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数； （2）若△CMN的周长为15cm，求AB的长． 21．如图，直线AD，BC被直线CD所截，AC平分∠BAD，∠1+∠BCD＝180°． 求证：∠BCA＝∠BAC． 下面是小军的解答过程，请补充完整． 证明：∵直线AD与CD相交于点D， ∴∠1＝∠ADC（①　 　 ）（填推理的依据）． ∵∠1+∠BCD＝180°， ∴∠ADC+∠BCD＝180°． ∴AD∥BC（②　 　 ）（填推理的依据）． ∴∠BCA＝∠DAC（③　 　 ）（填推理的依据）． ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC（④　 　 ）（填推理的依据）． ∴∠BCA＝∠BAC（等量代换）． 22．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，在BC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接DE．求证：∠E＝∠DBE． 23．在三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D是线段AB上的动点（点D不与端点A、B重合），点E在AC上，连接CD、DE，∠CDE＝45°． （1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：DE⊥AC； （2）如图2，CD是∠BCM的角平分线，连接DM，EM．若DM∥AC，∠MED+∠BCD＝45°，试判断DE与EM的大小关系，并说明理由． 24．如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB．求证：BC＝AC+AD． 25．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图1）．可以得到两个结论：①∠AED+∠AFD＝180°；②DE＝DF．那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的平分线，点E，F分别在AB和AC上（如图2）”，请探究以下两个问题： （1）若∠AED+∠AFD＝180°，则DE与DF是否仍相等？若相等，请证明；若不相等，请举出反例． （2）若DE＝DF，则∠AED+∠AFD＝180°是否成立？（只写出结论即可） 第五章图形的轴对称综合练习 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：根据轴对称图形的概念逐项分析判断如下： A、原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、原图是轴对称图形，故本选项符合题意； C、原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．【解答】解：∵AB，BC的垂直平分线交于点P， ∴PA＝PB，PC＝PB， ∴PA＝PC， ∵PA+PC＝16， ∴PA＝8， ∴PB＝8． 故选：B． 3．【解答】解：当白方落子在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以． 故选：D． 4．【解答】解：如图，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为D， 当∠C＝50°时，则∠DBC＝90°﹣50°＝40°； 当∠A＝50°时， ∵AB＝AC， ∴， ∴∠DBC＝90°﹣65°＝25°； 故选：C． 5．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝70°， ∴∠C＝∠ABC＝70°，∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD＝35°， ∴∠ADB＝180°﹣40°﹣35°＝105°； 故选：A． 6．【解答】解：∵BC是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE，AD＝CD， ∵AE＝2cm， ∴AC＝2AE＝4cm， ∵△ABC的周长是13cm， ∴AB+BC＝13﹣4＝9（cm）， ∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝9cm． 则△ABD的周长为9cm． 故选：A． 7．【解答】解：由作图可知：直线MN是线段BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∵AB＝8，AC＝9， ∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC＝AB+AC＝8+9＝17， 故选：C． 8．【解答】解：如图所示：使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是2个． 故选：B． 9．【解答】解：∵|m﹣2|+（n﹣9）2＝0，∴m﹣2＝0，n﹣9＝0，解得m＝2，n＝9．因为△ABC是等腰三角形，所以分两种情况讨论：①当以m为腰时，△ABC的边长分别是2，2，9，因为2+2＜9，所以此时不满足三角形三边关系；②当以n为腰时，△ABC的边长分别是2，9，9，此时满足三角形三边关系，则△ABC的周长为：9+9+2＝20．故选：C． 10．【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′， ∵∠CMD＝120°， ∴∠AMC+∠DMB＝60°， ∴∠CMA′+∠DMB′＝60°， ∴∠A′MB′＝60°， ∵MA′＝MB′＝MA＝MB， ∴△A′MB′为等边三角形 ∵CD＜CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝14， ∴CD的最大值为14， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．【解答】解：因为△ABC关于直线AD对称，所以B，C关于直线AD对称， 所以△CEF和△BEF关于直线AD对称， 所以 S△BEF＝S△CEF． 因为△ABC的面积是BC×AD6×8＝24， 所以图中阴影部分的面积是12． 12．【解答】解：如图所示：连接AO， ∵S△AOBAB•OE，S△AOCAC•OF，AB＝AC＝8，S△ABC＝20＝S△AOB+S△AOC， ∴AB•OEAC•OF＝20， 8OE8OF＝20， 4OE+4OF＝20， 4（OE+OF）＝20， OE+OF＝5， 故答案为：5． 13．【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝α， ∴∠CBA＝∠1＝α， ∵CA＝CB， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠CAB＝∠CBA＝α， ∵a∥b， ∴∠2＝180°﹣∠CAB﹣∠1＝180°﹣2α． 故答案为：180°﹣2α． 14．【解答】解：一个等腰三角形的两边长分别是4cm和7cm，分两种情况讨论： 情况一：若腰长为4cm，则底边长为7cm，此时三角形三边长分别为4cm、4cm、7cm． ∵4+4＝8＞7，4+7＝11＞4，满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时周长为4+4+7＝15（cm）． 情况二：若腰长为7cm，则底边长为4cm，此时三角形三边长分别为7cm、7cm、4cm． ∵7+4＝11＞7，7+7＝14＞4，满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时周长为7+7+4＝18（cm）． 故答案为：15或18． 15．【解答】解：AB＝AC，D为BC中点， ∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C， ∵∠BAD＝35°， ∴∠BAC＝2∠BAD＝70°， ∴∠C（180°﹣70°）＝55°． 故答案为：55°． 16．【解答】解：根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零可知：a﹣2＝0，b﹣6＝0， 解得：a＝2，b＝6， 设三角形的第三边为c， 当a＝c＝2时，2+2＝4＜6，不能构成三角形， 当b＝c＝6时，2+6＝8＞6，能构成三角形； 此时，三角形的周长＝2+6+6＝14， 综上，该等腰三角形的周长是14． 故答案为：14． 三．解答题（共9小题） 17．【解答】证明：∵HB＝HC， ∴∠HBC＝∠HCB， ∵CF⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BFC＝∠BEC＝90°， ∴∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 18．【解答】解：△AEF为等腰三角形， 理由：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°， ∴∠BAD＝∠C， ∵BE平分∠ABC， ∴∠3＝∠4， ∵∠1＝∠3+∠BAD，∠2＝∠4+∠C， ∴∠1＝∠2， ∴AF＝AE， 即△AEF为等腰三角形． 19．【解答】解：如图所示： ． 20．【解答】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F，∠ACB＝120°， ∴AM＝CM，CN＝BN， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∴∠MCN＝180°﹣（∠CMN+∠CNM）＝180°﹣（2∠A+2∠B）＝180°﹣2（180°﹣∠ACB）＝2∠ACB﹣180°＝60°； （2）由（1）知，AM＝CM，BN＝CN， ∴△CMN的周长为CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB， ∵△CMN的周长为15cm， ∴AB＝15cm． 21．【解答】证明：∵直线AD与CD相交于点D， ∴∠1＝∠ADC（对顶角相等）， ∵∠1+∠BCD＝180°， ∴∠ADC+∠BCD＝180°． ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠BCA＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC（角平分线的定义）， ∴∠BCA＝∠BAC（等量代换）． 22．【解答】证明：∵AB＝AC ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC∠ABC， ∵CD＝CE， ∴∠E＝∠CDE， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE， ∴∠E∠ACB， ∴∠E＝∠DBE． 23．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD∠ACB90°＝45°， ∵∠CDE＝45°， ∴∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠DEC＝90°， ∴DE⊥AC； （2）解：DE＝EM，理由如下： ∵DM∥AC， ∴∠ACM＝∠CMD， ∵CD是∠BCM的角平分线， ∴∠MCD＝∠BCD， 设∠BCD＝x，则∠MCD＝x， ∵∠CDE＝45°， ∴∠EDM＝∠CDE+∠CDM＝45°+x， ∵∠MED+∠BCD＝45°， ∴∠MED＝45°﹣x， 在△DEM中，∠DEM＝180°﹣∠EDM﹣∠MED＝180°﹣（45°+x）﹣（45°﹣x）＝90°， ∴∠M＝180°﹣∠EDM﹣∠MED＝180°﹣90°﹣（45°﹣x）＝45°+x， ∴∠EDM＝∠M， ∴DE＝EM． 24．【解答】证明：在BC边上取点E，使EC＝AC，并连接DE， ∵点CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠ECD． 在△ACD和△ECD中， ， ∴△ACD≌Rt△ECD （SAS）， ∴AD＝ED，∠CAD＝∠CED， ∵∠A＝2∠B， ∴∠CED＝2∠B， ∵∠CED＝∠BDE+∠B， ∴∠BDE＝∠B， ∴EB＝ED＝AD， ∴BC＝CE+EB＝AC+AD． 25．【解答】解：（1）DE＝DF． 理由如下： 过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM＝DN， ∵∠AED+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DFN＝180°， ∴∠DFN＝∠AED， ∴△DME≌△DNF（AAS）， ∴DE＝DF； （2）不一定成立． 如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立， 经过（1）的证明，若在垂线段上或两侧则成立， 所以不一定成立． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/21 16:50:51；用户：张文玉；邮箱：18150859082；学号：47368668 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $