第九章 因式分解（复习课件）数学新教材冀教版七年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了因式分解的概念、方法及应用，通过单元知识图谱将核心内容从概念到提公因式法、公式法等串联，构建从基础到综合的知识网络，帮助学生理清内在逻辑。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的复习策略，如提公因式法的变式训练培养运算能力，几何面积应用题型发展模型意识，分层设计让不同学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

单元复习课件 第九章 因式分解 新教材冀教版·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.明晰因式分解核心概念，理清它与整式乘法的互逆关系，精准判断式子变形是否符合因式分解要求 3.灵活综合运用多种分解技巧，准确辨别式子结构选用对应方法，做到分解彻底，攻克综合应用类难点题型 2. 扎实掌握提公因式法与平方差、完全平方公式法，牢记分解先后顺序，夯实本章核心解题方法 单元学习目标 因式分解 因式分解的概念 因式分解的方法 提公因式法 公式法 单元知识图谱 考点一、因式分解的概念 1.因式分解定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解 注意事项： 分解对象只能是多项式，单项式不用分解 结果必须全是整式相乘，不能出现分式、加减形式 因式分解与整式乘法互为逆运算 结果一定要分解到不能再分解为止 考点串讲 注意事项： 首项为负时，公因式要带负号 切勿漏掉单独常数项、隐藏相同因式 多项式整体也可当作公因式 考点二、提公因式法 1.公因式确定方法 系数：取各项系数的最大公因数 字母：取各项都含有的相同字母 指数：取相同字母最低次数 考点串讲 注意事项： 提完公因式后，剩余项别丢 1 首项是负数，先提取负号变号 提取公因式要一次性提干净 括号内能合并同类项先合并 考点二、提公因式法 2.公式： 考点串讲 注意事项： 必须是两个平方相减，相加不能用 底数可以是单项式也可以是多项式 先提公因式，再套用平方差 分解后仍能继续分解要继续分解 考点三、公式法分解因式 1.平方差公式 适用特征：两项、平方形式、符号相反 考点串讲 注意事项： 中间项符号决定括号内加减号 平方项系数必须为正 漏掉系数平方、弄错中间项系数是高频错误 式子顺序可调整后再套用公式 2.完全平方公式 和： 差： 适用特征：三项式，首末平方，中间两倍乘积 考点三、公式法分解因式 考点串讲 注意事项： 任何多项式优先先提公因式 不能套公式就整理变形再分解 相同因式要写成幂的形式 结果括号内首项一律化为正数 考点四、因式分解解题步骤 一提(提公因式) 二套(套用乘法公式) 三查(检查是否分解彻底) 考点串讲 形式： 口诀：拆常数项，凑一次项 用法：把二次项系数和常数项拆分，交叉相乘求和等于一次项系数 考点五、十字相乘法 注意事项： 只适用于二次三项式基础题型 拆分数字注意正负符号，同号相加、异号相减 二次项系数不为 1 时，双向拆分仔细验算 先提公因式，再用十字相乘法分解 拆分错误及时调换数字，避免盲目书写 考点串讲 解:根据因式分解的概念，D项符合 考点一、判断因式分解 例1.下列式子从左边到右边的变形是因式分解的是( ) D A. B. C. D. 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法：紧扣三大判定标准 1. 左边必须是多项式（不能是单项式、等式、算式）； 2. 右边必须是几个整式相乘的积的形式（无加减运算、无分式）； 3. 左右两边必须相等，是恒等变形，且结果分解彻底。 注意事项 1. 整式乘法（展开式子）不是因式分解，二者互为逆运算； 2. 右边有加、减、除法、分数的一律不是因式分解； 3. 只变形一半、没有化成纯乘积形式的判定为错误。 考点一、判断因式分解 题型剖析 考点一、判断因式分解 变式1.嘉淇在解答“分解因式：（1）；（2） .”时， 是这样做的： 解：（1） . （2） . 请你利用因式分解与整式乘法的关系，判断她分解得对不对. 解：（1） ， 分解不正确. （2） ， 分解正确. 题型剖析 考点二、提公因式法 变式1.把下列各式分解因式： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法（四步走） 1. 定公因式：系数取最大公因数，字母取相同最低次幂； 2. 首项为负先提负号，统一括号内首项为正； 3. 提取全部公因式，剩余部分逐项对应写出； 4. 检查括号内是否还能继续分解。 注意事项 1. 提完公因式某项全部提走时，剩余项必须写1，不能空项； 2. 提取负号后，括号内每一项都要变号，不能漏变； 3. 公因式必须提干净，不能残留部分公因式； 4. 整体相同多项式可作为公因式，无需拆开计算。 考点二、提公因式法 题型剖析 考点二、提公因式法 变式2.先分解因式，再计算求值： ，其中， . 解：原式 . 当， 时， 原式 . 题型剖析 考点三、平方差公式分解因式 （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 例3.把下列各式分解因式： 题型剖析 解决方法和注意事项 1. 先观察式子，有公因式优先提公因式； 2. 套用公式：； 3. 整体底数可以是单项式、多项式，整体替换公式中的a、b； 4. 复查结果，能继续分解必须分解彻底。 注意事项 1. 两项同号（全正、全负）不能用平方差公式； 2. 看清系数、次数，小数、分数平方要准确计算； 3. 禁止出现分解不彻底的情况，如平方差分解后仍含平方结构； 4. 结果不需要再展开，保留乘积形式。 考点三、平方差公式分解因式 题型剖析 考点三、平方差公式分解因式 变式3.把下列各式分解因式： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . （3） . 解：原式 . 题型剖析 考点四、完全平方公式分解因式 例4.分解因式： （1） ______________. （2） __________. （3） _______________. 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 1. 先提公因式，整理式子顺序（平方项放首尾，中间项居中）； 2. 套用公式：； 3. 中间项为正用和的平方，中间项为负用差的平方； 4. 相同因式整理成幂的形式。 注意事项 1. 首尾平方项必须为正数，负数平方项不能直接用公式； 2. 重点核对中间项，必须是“2×底数×底数”，极易少乘2； 3. 式子顺序混乱时，先调整顺序再判断，不要直接套用； 4. 切勿把完全平方和、平方差公式混淆。 考点四、完全平方公式分解因式 题型剖析 考点四、完全平方公式分解因式 变式4.把下列各式分解因式： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . （3） . 解：原式 . 题型剖析 考点五、十字相乘法分解因式 例5.【问题解决】 分解因式： （1） ______________. （2） ______________. （3） ______________. 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 1. 拆分常数项c为两个数p、q，满足，； 2. 直接写成结果：； 3. 二次项不为1时，双向拆分系数，交叉相乘验证一次项 4. 常数项为正：两数同号，和为一次项系数； 5. 常数项为负：两数异号，大数符号跟随一次项系数。 注意事项 1. 必须先提公因式，再用十字相乘法； 2. 拆分数字后必须交叉验算，避免凑错一次项； 3. 符号是高频易错点，优先定符号，再定数值； 4. 拆分不出整数时，说明不适用十字相乘法，及时换方法。 考点五、十字相乘法分解因式 题型剖析 考点五、十字相乘法分解因式 变式5.将下列多项式分解因式： （1） _________________. （2） ________________________. 题型剖析 考点六、因式分解综合题型 例6.因式分解： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . （3） . 解：原式 . （4） . 解：原式 . 题型剖析 解决方法和注意事项 解题步骤：一提 → 二套 → 三十字 → 四查 1. 一提：优先提取所有公因式（最关键第一步）； 2. 二套：两项试平方差，三项试完全平方； 3. 三十字：无法套公式的二次三项式，用十字相乘法； 4. 四查：检查是否分解彻底、符号是否正确、格式是否规范。 注意事项 1. 严禁跳过提公因式直接套公式、用十字相乘； 2. 多次分解、多层分解，直到每一个因式都不能再分解； 3. 最终结果括号内首项必须为正，相同因式写成乘方形式 考点六、因式分解综合题型 题型剖析 考点六、因式分解综合题型 变式6.因式分解： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . （3） . 解：原式 . （4） . 解：原式 . 题型剖析 考点七、因式分解简便计算 例7.利用简便方法计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 1. 观察算式结构，提取公因数或凑平方差、完全平方公式； 2. 将原式转化为因式乘积形式，简化运算； 3. 口算得出结果，避免复杂笔算。 注意事项 1. 找准公共因数，统一格式再提取； 2. 凑公式时注意数字变形等价，不能改变原式大小； 3. 禁止不化简直接硬算，违背题型考查目的。 考点七、因式分解简便计算 题型剖析 考点七、因式分解简便计算 变式7.（1）用简便方法计算： . 解：原式 . （2） 解：原式 6.32 题型剖析 解: 考点八、代数式求值与整体代入 例8.若,则代数式 的值为______. 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 1. 对所求代数式因式分解、变形； 2. 整理出题目已知的整体式子； 3. 整体代入数值计算，不单独求解未知数。 注意事项 1. 优先变形代数式，不盲目拆开、展开； 2. 注意符号、倍数关系，整体代入切勿漏系数； 3. 代入后及时化简，保证结果最简。 考点八、代数式求值与整体代入 题型剖析 考点八、代数式求值与整体代入 变式8.已知 ,求 的值. 解： ， . . 题型剖析 考点九、因式分解判断整除问题 例9.利用因式分解说明： 能被12整除. 解：原式 . 能被12整除. 题型剖析 解决方法和注意事项 1. 对多项式彻底因式分解； 2. 观察分解结果中是否包含题目给定的除数因式； 3. 包含即可整除，不包含则不可整除。 注意事项 1. 必须分解彻底，隐藏因式容易遗漏； 2. 整除结果必须为整数、整式，不能有余式、余数。 考点九、因式分解判断整除问题 题型剖析 考点九、因式分解判断整除问题 变式9.若可被 之间的两个整数整除，则这两个整数的和 是_____. 128 解： 65+63=128 题型剖析 考点十、因式分解实际应用 例10.如图，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成12块，其中有两块是边长都为的大 正方形，3块是边长都为 的小正方形，7块是长为，宽为的小长方形，且 . （1）观察图形，求出代数式 因式分解的结果. 解：代数式因式分解的结果为 . （2）若每块小长方形的周长是20，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40， 求这张长方形纸板的面积. 解：由题意，得， . .① ， . .② 联立①②，得解得 长方形纸板的面积为 . 题型剖析 解决方法和注意事项 1. 审题列式：根据题意、图形面积公式或数量关系，列出对应的多项式式子； 2. 因式分解：按照“一提、二套、三十字”的顺序对式子彻底分解； 3. 结合实际：根据生活、图形实际意义（边长、长度为正数）分析因式； 4. 求解作答：结合题目条件求出对应边长、面积或数量，规范写答语。 注意事项 1. 实际问题中，所有表示长度、边长的数值必须为正数，需舍去负数解； 2. 列式时准确套用几何公式，切勿混淆面积、周长计算公式； 3. 分解结果要贴合实际场景，不可出现不符合生活逻辑的答案； 4. 解题最后必须带单位、写答语，规范解答题答题格式； 5. 遇到图形拼接、割补问题，优先通过面积不变原理列等式，再分解化简。 考点十、因式分解实际应用 题型剖析 考点十、因式分解实际应用 【知识迁移】在边长为 的正方体上挖去一个边长为 的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一 个几何体（如图4）. 图3中的几何体的体积为________， 图4中的几何体的体积为_________________________________， 根据它们的体积关系得到关于,的等式： _______________________（结果写成整式的积形式）. 【知识运用】 （1）因式分解： . 解：由 ， 得 . 题型剖析 （2）已知， ，求 的值. 解：， ， . . 题型剖析 解:根据因式分解的概念，D项符合 1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( ) D A. B. C. D. 针对训练 解:公因式为系数的最大公约数，相同字母最小次数 故公因式为 2.用提公因式法因式分解多项式 ，应提取的公因式是 ( ) D A. B. C. D. 针对训练 解:用平方差公式，用完全平方公式，故选B项 3.下列多项式：；；； . 其中能直接运用公式法因式分解的有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 针对训练 解:A项不能因式分解 B项正确 C项正确结果为 D项正确结果为 4.下列因式分解正确的是( ) B A. B. C. D. 针对训练 解:，故选D项 5.数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小丽回到家拿 出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，她突然发现一道题： ____ ，横线空格的地方被钢笔 水弄污了，你认为横线上应填写( ) D A. B. C. D. 针对训练 解:根据题意可知，选C项 6.如果多项式能用完全平方公式因式分解，那么 的值 是( ) C A. B. 6 C. D. 9 针对训练 解: 故选C项 7.已知，则 的值是( ) C A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 针对训练 解: 选择B项 8.把多项式因式分解，得，则， 的值分 别是( ) B A. 2，3 B. ， C. ，3 D. 2， 针对训练 解: 故选D项 9.计算： ( ) D A. 404 B. 808 C. 40 400 D. 80 800 针对训练 10.如图所示，在边长为的正方形中，剪去一个边长为 的小正方形 ，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关 系，可以得到一个关于， 的恒等式为( ) A A. B. C. D. 解:根据图中信息，可知第一幅图阴影面积为 第二副图面积为 故选A项 针对训练 解: 结果为整数，n不可能是3 11.若算式的结果为整数，则整数 的值不可能是( ) D A. 100 B. 50 C. 17 D. 3 针对训练 解:设原数为，新数为 两数之和 所得之和一定是11的倍数 12.把一个两位数交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，若 将这个新的两位数与原两位数相加，则所得的和一定是( ) C A. 偶数 B. 奇数 C. 11的倍数 D. 9的倍数 针对训练 13.把下列各式因式分解： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 针对训练 14.用简便方法计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 针对训练 15.先因式分解，再计算求值： （1），其中 . 解：原式 . 当时，原式 . （2），其中， . 解：原式 . 当，时，原式 . 针对训练 16.如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式. （1）求整式， . 解：根据题意，得 . . （2）将整式 因式分解. 解： . 针对训练 17.如图，现有一种混凝土排水管，其形状为空心的圆柱体，它的内径， 外径，长 .浇制一节这样的排水管需要多少立方米的混凝土 （结果保留 ）？ 解： . 答：浇制一节这样的排水管需要 的混凝土. 针对训练 18.小刚同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形卡片若干张. （1）他用1张1号卡片、1张2号卡片和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图2）. 根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ________________________. （2）如果要拼成一个长为，宽为 的大长方形， 则需要2号卡片___张、3号卡片___张. 2 （3）当他拼成如图3所示的长方形，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以 把多项式 分解因式，其结果是________________. （4）小刚又选取了2张1号卡片、3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，求此长方形的周长. 解：长方形的面积为 . 周长为 . 针对训练 ✅ 知识构建：因式分解 因式分解概念 → 提公因式法 → 公式法因式分解 ✅ 思想方法： 转化思想、逆向思维、整体思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $