第九章 因式分解 章末提升 复习课件 2024-2025学年冀教版数学七年级下册

章末提升 脑图体系构建 提公因式法 公式法 平方差公式法：②______________ 完全平方公式法：③______________ 因式 分解 因式分解 的方法 因式分解的概念 把①__________ 提到括号外边作为积的一个因式，从而将多项式化成两个因式乘积的形式 公因式 a2-b²=(a+b)(a-b) a2±2ab+b²=(a±b )². 本章的主要内容是利用提公因式法和公式法分解因式，在各类考试中，既有单独考查因式分解的，也有利用因式分解的知识进行化简求值的，题型有选择题和填空题，也有探索与创新题.本章主要考点可概括为：一个概念、两个方法、两个应用、两个技巧、一种思想. 考点整合应用 1. 下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是 （ ） A．（a+1）（a-1）=a2-1 B． a2-2a+3=a（a-2）+3 C． x2·5x=5x3 D． 4x2-4x+1=（2x-1）2 一个概念———因式分解 D 2. 易错题 下列多项式中，不能用提公因式法进行因式分解的是 （ ） A．（a-b）-4（b-a）2 B． x3-x+1 C． 11a2b-7b2 D． 5a（m+n）-3b2（m+n） B ■方法 1 提公因式法 两个方法 3. 在多项式 x2+ 上添加一个单项式，使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是 （ ） A． x B． -x C． x4 D． -x4 D ■方法 2 公 式 法 4. 应用意识 小林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x-1，a-b，3，x2+1，a，x+1 分别对应六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将 3a（x2-1）-3b（x2-1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是 （ ） A． 我爱数学 B． 爱祖国 C． 祖国数学 D． 我爱祖国 D 5. 利用因式分解进行简便计算： （1）2022+202×196+982=______； （2）3.14×512-3.14×492=______. ■应用 1 用因式分解计算 两个应用 90 000 628 6. 较难题 对于任意自然数 n，关于代数式（n+7）2-（n-5）2 的值，说法错误的是 （ ） A． 总能被 3 整除 B． 总能被 4 整除 C． 总能被 6 整除 D． 总能被 7 整除 ■应用 2 应用因式分解解决整除问题 D ■技巧 1 拆项后用公式法 7. 新运算型阅读理解题 阅读材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有拆项法，即将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x-3=x2+2x+1-4=（x+1）2-22=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）． 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：x2-6x-7=__________________； （2）分解因式：a2+4ab-5b2=__________________． 两个技巧 （x-7）（x+1） （a+5b）（a-b） 8. 新运算型阅读理解题 阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1 进行因式分解的解题思路：将“x2-2x”看成一个整体，令x2-2x=m，则原式=m（m+2）+1=m2+2m+1=（m+1）2．再将“m”还原为“x2-2x”即可．解题过程为： 解：设 x2-2x=m，则原式=m（m+2）+1=m2+2m+1=（m+1）2 =（x2-2x+1）2． ■技巧 2 换 元 法 （1）以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果：_________； （2）请你模仿以上方法用“换元法”对下列多项式进行因式分解： ①（m+n）2-10（m+n）+25； ②（x2-6x+8）（x2-6x+10）+1． （x-1）4 ①设 m+n=t，则（m+n）2-10（m+n）+25=t2-10t+25=（t-5）2 =（m+n-5）2； ②设 x2-6x=t，则（x2-6x+8）（x2-6x+10）+1=（t+8）（t+10）+1=t2+18t +81 =（t+9）2 =（x2-6x+9）2 =（x-3）4． 9. 若 a2-2a-2=0，则 a3+a2-8a+2 024 的值为（ ） A． 2 024 B． 2 030 C． 2 026 D． 2 018 一种思想———整体思想 B 10. 若 a+b=4，a-b=1，则（a+2）2-（b-2）2 的值为______． 20 11. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图 1 所示的正方形与长方形纸片若干张． （1）他用 1 张 1 号、1 张 2 号和 2 张 3 号卡片拼出一个新的图形（如图 2）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 __________________________； （a+b）2=a2+2ab+b2 综合实践与开放探究 （2）如果要拼成一个长为（a+3b），宽为（a+b）的大长方形，那么需要 2 号卡片 _____ 张，3 号卡片_________ 张； （3）请你依照该同学的方法，画出拼图并利用拼图分解因式 a2+5ab+6b2. 3 4 （3）如图，可以得出 a2+5ab+6b2 =（a+2b）（a+3b）． 专项 因式分解强化练 因式分解是代数中的基本技能之一，它不仅有助于简化复杂的代数表达式，还在解决其他代数问题时提供便利，分解因式时通常采用一“提”，二“公”，三“分”，四“变”的步骤. 1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A． x（a-b）=ax-bx B． x2-1+y2=（x-1）（x+1）+y2 C． x2-1=（x+1）（x-1） D． ax+bx+c=x（a+b）+c 类型一 辨别因式分解 C 2. 分解因式. （1）9ax2-ay2； （2）（x+2）（x-6）+16； 类型二 分解因式 解：（1）原式=a（9x2-y2）=a（3x+y）·（3x-y）； （2）原式=x2-4x+4=（x-2）2； （3）4a（a-1）2-（1-a）； （4）1-x2+2xy-y2； （3）原式=（a-1）［4a（a-1）+1］=（a-1）· （4a2-4a+1）=（a-1）（2a-1）2； （4）原式=1-（x2-2xy+y2）=1-（x-y）2=（1+x-y）（1-x+y）； （5）8（x2-2y2）-x（7x+y）+xy； （6）a2x2-8a2x+16a2； （5）原式=8x2-16y2-7x2-xy +xy=x2-16y2 =（x+4y）（x-4y）； （6）原式=a2 （x2-8x+16）=a2 （x-4）2； （7）（a-b）（a+b）2+（a+b）（a-b）2+2a（a2-b2）； （8）（x-2）2-（y-2）2-（x-y）2． （7）原式=（a-b）（a+b）（a+b+a-b）+2a（a2-b2）=2a（a-b）（a+b）+2a（a-b）（a+b）=4a（a-b）（a+b）； (8)原式=[(x-2)+(y-2)][(x-2)-(y-2)]-(x-y)2 =(x+y-4)(x-y)-(x-y)2 =(x-y)[(x+y-4)-(x-y)]=(x-y)(2y-4)=2·(x-y)(y-2). 3. 已知 a-b=1 且 ab=2，求代数式 a3b-2a2b2+ab3的值． 解：∵a-b=1 且 ab=2， ∴a3b-2a2b2+ab3 =ab（a2-2ab+b2）=ab（a-b）2 =2×12 =2. 类型三 因式分解的应用 4. 已知 a+b=3，a2+b2=5，求（a-b）2 的值． 解：∵a+b=3，∴（a+b）2 =a2+2ab+b2 =9， ∵a2+b2=5，∴2ab=9-5=4，∴（a-b）2=a2-2ab+b2 =5-4=1. 5. 已知 a，b，c 分别是三角形 ABC 三条边的长，且满足a2-b2+ac-bc=0，请判断三角形ABC的形状． 解：∵a2-b2+ac-bc=0，∴（a+b）（a-b）+c·（a-b）=0，（a-b）（a+b+c）=0，∵a，b，c分别是三角形三条边的长，∴a，b，c都大于 0，即 a+b+c>0，∴a-b=0，∴a=b，∴△ABC 是等腰三角形． $$