精品解析：江苏省连云港市东海县2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

2024~2025学年第二学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示求出值. 【详解】向量，，，则， 所以. 故选：A 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数除法求复数，再由即可得. 【详解】由，则. 故选：D 3. 已知平面向量，满足，且，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对表达式平方，结合数量积公式求解. 【详解】由题知，，平方可得， 则，， 根据数量积的定义，， 则，又，则， 则，的夹角为. 故选：B 4. 在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解. 【详解】在中，由正弦定理和三角形有两解 ,得，且， 因此，所以的取值范围为. 故选：C 5. 在中，是中点，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加减法以及数量积的运算规则，结合中点的性质来求解BC的长度. 【详解】因为是BC中点，所以，且，. 可得：. 已知，又因为，所以，移项可得. 因为是BC中点，所以，而，则，所以. 故选: D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角及二倍角的正弦公式计算得解. 【详解】由，得，则， 而，则， 所以. 故选：A 7. 在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底法得，再根据向量共线定理知，最后根据三点共线系数和为1结论即可得到答案. 【详解】在平行四边形中，因为，分别为，中点， 则， 因为，则， 则，显然，， 则，而三点共线， 故，则，则， 即 则，则. 故选：C. 8. 在中，角，，所对的边分别为，，，，.是边上一点，且满足，是中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题设，结合辅助角公式求出，由余弦定理得到，由题干条件结合余弦定理表示出，对转化成，然后三角代换后即可求解. 【详解】根据，由辅助角公式，，即， 又，则，即， 在中，由余弦定理可得， 如图可知，， 在中，由余弦定理，， 由可得， 设，则， 不妨取，由图可知， 又，进而解得， 由代入的表达式中可得， . 当时，， 则 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据坐标的模长公式求解，B选项，根据向量的坐标的垂直条件判断，C选项，根据夹角公式求解，D选项，根据投影向量公式求解. 【详解】A选项，，则，，则，不满足，A选项错误； B选项，，则，则，B选项正确； C选项，根据夹角公式，，又向量的夹角范围是，则与的夹角为，C选项正确； D选项，根据投影向量公式，在上的投影向量为，D选项正确. 故选：BCD 10. 已知，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则，互为共轭复数 C. 若，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令结合求参数判断A；取判断B；由共轭复数的计算及与复数模的关系判断C；应用复数乘方和模长的求法判断D. 【详解】A：令，则，由，则，故，对； B：满足，但，不互为共轭复数，错； C：由，则，故，对； D：令， 则， 而，显然不一定成立，错. 故选：AC 11. 已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 外接圆半径的范围为 C. 的面积最小值为 D. 的周长范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：根据三角形是锐角三角形，则每个角均为锐角，列出不等式组，求解即可；对B：根据正弦定理可得：，结合的范围，求得函数值域，即可求得范围；对C：根据正弦定理，求得三角形面积关于的函数，也即，再求该函数值域，即可求得面积的范围；对D：求得三角形周长关于的函数，也即，再求该函数值域，即可求得周长范围. 【详解】对A：因为△为锐角三角形，故可得：，也即，解得，故A正确； 对B：设外接圆半径为，由正弦定理可得：，也即， 由A可知：，故，故，故B正确； 对C：由正弦定理，也即可得：， 故△的面积， 由A可知：，故，故，故，没有最小值，故C错误； 对D：由C可知：，， 设△的周长为，则 也即，由A可知：，故，则， 则，故，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数对应的点的坐标为，则的虚部为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数几何意义得，再利用复数的虚部概念即可得到答案. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以，则其虚部为. 故答案为： 13. 的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦与余弦两角和差公式拆分角度结合特殊三角函数值化简即可得答案. 【详解】 . 故答案为：. 14. 在中，，的平分线交线段于点，，，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据的两种计算方式推知，结合等面积法求出，最后根据余弦定理求解. 【详解】由题意，根据三角形的面积公式，， 设，， 即， 则，解得， 再由余弦定理，， 则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平行四边形的三个顶点分别为，，. （1）求顶点的坐标； （2）求平行四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用及向量的坐标运算求解； （2）根据夹角公式先求出，从而得到平行四边形边上的高，进而得解. 【小问1详解】 根据平行四边形性质，， 设，即， 解得，故 【小问2详解】 ，则， 又，则， 于是到的距离为， 又， 则平行四边形的面积为： 16. 在中，角，，的对边分别是，，，且，. （1）若，求； （2）若，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理及已知得，可得，即可得； （2）由正弦定理得，应用三角恒等变换化简得，进而得，并得到，最后应用余弦定理求边长. 【小问1详解】 由正弦定理，，，， 所以，则，又，得； 【小问2详解】 由，，则，可得， 所以，则， 可得，又，则， 所以，则. 17. 已知，，且，. （1）的值； （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据求出，利用齐次化求值的处理方法转化为即可求解； （2）结合（1）的结果，先缩小的范围，得到的范围，然后分别算出，的值进一步缩小的范围，然后结合其正弦值得出答案. 【小问1详解】 根据两角差的正切公式，，解得， 【小问2详解】 注意到，则，，于是， 结合（1）结果，则， ，则，由可知. 于是， ， 故是第一象限角， ，，则， 于是 18. 已知向量，，. （1）若，求的值： （2）记， （i）若对于任意，，而恒成立，求实数的最小值； （ii）关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示得，再应用三角恒等变换化简得，即可得； （2）（i）应用三角恒等变换化简函数式得，再求其区间值域，根据不等式恒成立求参数范围；（ii）由已知及三角恒等变换得，令，化为能成立，即可求范围. 【小问1详解】 由，则，可得， 所以，又，故； 【小问2详解】 由 , 当，，则， 对于任意，，而恒成立， 所以，故最小值为； （ii）由题设， 所以，， 所以，， 所以，则， 而，当且仅当取等号， 由不等式有解，则. 19. 如图，已知的三边，，所对的角分别为，，，以为一边作等边，，位于边两侧，连结. （1）若.求证：； （2）若，，求： （i）的值； （ii）面积的最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系得，再根据余弦边角关系得，再应用正弦边角关系和三角恒等变换化简，即可证； （2）（i）由向量数量积的运算律得，再应用向量数量积的定义得，最后应用余弦边角关系即可得；（ii） 【小问1详解】 由正弦边角关系得，则， 所以，则， 所以，故； 【小问2详解】 （i）， 又，则； （ii）解法一：由，， 若是的中点，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，如下图示， 所以，由题意及（i）结果，可设且， 所以，则， 所以 ，而，若， 令，若，， 所以，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，即时， 所以面积的最大值. 解法二：解法二：记， 在中，由余弦定理得 ① ② 将②代入①得 即③， 由正弦定理④， (将③、④代入) 当且仅当，即，也就是时取等号. 所以，面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知平面向量，满足，且，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，是中点，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角，，所对的边分别为，，，，.是边上一点，且满足，是中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量为 10. 已知，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则，互为共轭复数 C. 若，则 D. 11. 已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 外接圆半径的范围为 C. 的面积最小值为 D. 的周长范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数对应的点的坐标为，则的虚部为________. 13. 的值为________. 14. 在中，，的平分线交线段于点，，，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平行四边形的三个顶点分别为，，. （1）求顶点的坐标； （2）求平行四边形的面积. 16. 在中，角，，的对边分别是，，，且，. （1）若，求； （2）若，求. 17. 已知，，且，. （1）的值； （2）的值. 18. 已知向量，，. （1）若，求的值： （2）记， （i）若对于任意，，而恒成立，求实数的最小值； （ii）关于的不等式有解，求实数的取值范围. 19. 如图，已知的三边，，所对的角分别为，，，以为一边作等边，，位于边两侧，连结. （1）若.求证：； （2）若，，求： （i）的值； （ii）面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $