专题08 函数与一次函数期末压轴8高频题型60题（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦一次函数期末压轴8大高频题型，覆盖选择与解答压轴，整合实际应用与几何综合，通过分层训练培养数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动点函数图象|7题|结合几何图形运动，分析函数图象关键点|从几何直观到函数表达，培养数形结合能力| |实际应用|19题|行程、利润、方案选择问题，含分段函数与最值|建立实际问题的数学模型，发展应用意识| |几何综合|34题|求解析式、面积、存在性问题及全等模型|从代数运算到几何推理，强化逻辑思维|

专题08 函数与一次函数期末压轴8高频题型 题型1 动点函数图象（选择压轴） 题型2 一次函数实际应用：行程问题（分段函数、最值） 题型3 一次函数实际应用：利润问题（分段函数、最值） 题型4一次函数实际应用：方案选择问题（分段函数、最值） 题型5 一次函数与几何综合：求直线解析式 + 面积 / 坐标（解答压轴） 题型6 一次函数与几何综合：存在性问题（等腰 / 直角三角形、平行四边形）（解答压轴） 题型7 一次函数与几何综合：交点 / 参数范围、与不等式结合求区域（解答压轴） 题型8 一次函数与几何综合: 全等三角形几何模型+一次函数（解答压轴） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 动点函数图象（选择压轴）（共7小题） 1．（24-25八年级上·北京·期末）如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，点是点关于直线的对称点，连接交于点， 根据点的对称性，，则为最小， 故， 设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（负值已舍去）， 故选：B． 2．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图①，动点P从菱形的顶点A出发，沿边匀速运动，到达点C时P停止；设点P运动的路程为x，它与对角线交点O之间的距离为，如图②是y与x之间的函数图象，当点P运动至边的中点时，函数值y等于（ ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【详解】解：根据函数图象，可得，， 由菱形，得，， ， 当点P运动至边的中点时，是的中位线， ， 故选：A． 3．（24-25八年级下·河南周口·月考）如图1，在锐角三角形中，，动点从点出发，沿方向运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则的长为（   ） A．6 B．12 C．9.6 D．8 【答案】B 【详解】解：如图，作于点H， 由图2知，，， 又， ， ， ， ， ， ， ， 故选B． 4．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图①，在菱形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图②所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作交于点，设菱形的边长为， 在菱形中，，， 在中，， ∴， ∴ 由图2得 解得，（负值已舍去）， 所以，的长度为， 故选：B． 5．（23-24七年级下·山东济南·期末）一个动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（    ） ①动点H的速度是；②的长度为；③；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：当点H在上时，如图所示，    ∴， ∴， ∴三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，    ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线，    ∴，点H从点C到点D运动过程中，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，    ∴，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示，    ∴，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是， 故①正确，符合题意； 当时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴， 故②错误，不符合题意； 当，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴， 故③错误，不符合题意； 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时， 故④正确，符合题意； 综合上所述：正确的有2个， 故选：B． 6．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（   ） A．当时，的面积为3平方米 B．小车的运动速度为1米／秒 C．长方形的周长为14米 D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 【答案】D 【详解】解：A.由图可知，用时4秒，面积达到6平方米，面积每秒的变化为平方米， 当时，的面积为平方米， 该选项正确，不符合题意； B.假设运动速度为米／秒，， 结合图象可得，，联立两个方程可得， ， 该选项正确，不符合题意； C.由选项B可知，小车的运动速度为1米／秒， ∴， ∴长方形的周长为米， 该选项正确，不符合题意； D.由选项A得，面积每秒的变化为平方米， 当的面积增加为2平方米时，， 解得； 当的面积减少为2平方米时，， 解得； ∴这两个时刻之和为， 该选项错误，符合题意； 故选：D． 7．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：，点的速度为， 当点从点到点，用时， 当时，过点作于点， ， ， 在中，， ，， ， 点的运动速度是；故①正确； 点从到，用时， 由图2可知，点从到用时， ，故②正确； ，故③正确； 当点未到点时，过点作于点， ， 解得，负值舍去； 当点在上时，过点作交延长线于点， 此时， ， ， 解得， 当时，的值为或9．故④错误； 故选：C． 题型2 一次函数实际应用：行程问题（共12小题） 8．（25-26八年级上·山西运城·期末）在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 【答案】D 【详解】解：由图象可知：当时，， ∴甲车行驶小时时两车相遇；A选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴B选项正确； ∵小时， ∴甲车出发小时后乙车才出发， ∴C选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴， ∴当甲、乙两车相距时，，即：， 解得：或， ∴或， ∴当甲、乙两车相距时，乙车行驶了或小时. ∴D选项错误. 9．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（   ） ①甲登山的速度是每分钟米； ②乙在A地时距地面的高度为米； ③乙登山分钟时追上甲； ④登山时间为分钟，分钟或分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：甲登山上升的速度是（米/分钟）， 乙提速后的速度为：（米/分钟）， ， ， 故①②正确； 设甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为， ∴，解得， ∴函数关系式为． 同理求得段对应的函数关系式为， 当时，解得：， ∴乙登山分钟时追上甲，故③错误； 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：． 故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．故④正确； 故选：C． 10．（25-26八年级上·四川成都·期末）2025年成都非遗文化展上，展馆的机器人甲和乙从入口出发，准备给相距的非遗手作展区送展示牌，甲比乙先出发，且速度保持不变，乙出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设甲行走的时间为，甲和乙行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） ①甲比乙先出发15秒； ②乙提速后的速度为： ③； ④从甲出发至送展示牌结束，甲和乙最远相距． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：结合图像，甲比乙早出发15秒，故正确； 当时，，当时，， 则乙提速前的速度是， ∵乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴乙提速后速度为，故正确； 故提速后乙行走所用时间为：， ， ， ∴甲的速度为， ，故错误； 当时，乙和甲的距离逐渐增大， 当时达到最大为：， 当时，乙和甲的距离先减小后增大， 当时达到最大为：， 当时，乙和甲的距离逐渐减小到0， ，故正确 则正确， 故选：C． 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家1小时20分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程与小华离家时间的函数图象．已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的3倍，若爸爸比小华早10分钟到达植物园，下列说法哪项是错误的是（   ） A．小华的速度是 B．爸爸离家的路程y与小华离家的时间x之间的函数表达式： C．爸爸在出发25分钟后与小华相遇 D．小华家到植物园的距离是 【答案】D 【详解】解：如图， A：由图象可知，小华走了， ∴小华的速度为，故该选项不合题意； B：由题意知，爸爸开车的速度是， 爸爸离家的路程与小华离家的时间之间的关系为：，故该选项不合题意； C：时，小华离家的路程与小华离家的时间之间的关系为：， 由图可知爸爸和小华在点处相遇， 当时， 解得， ， ∴爸爸在出发25分钟后与小华相遇，故该选项不合题意； D：设家到植物园的路程为，则有， 解得，故该选项符合题意． 故选：D． 12．（25-26八年级上·四川巴中·期末）2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（    ） ①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米 A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：对于①， 由图可知， 当时，甲的速度比乙的速度快，当时，甲的速度比乙的速度慢， 所以①错误； 对于②， 甲减速后的速度为（千米小时）， 所以②正确； 对于③， 乙的速度为（千米小时）， 根据题意，得 解得 所以当时，甲、乙两队相遇， 所以③正确； 对于④， 设减速前甲队的函数关系式为， 把代入，得， ， 减速前甲队的函数关系式为， 设减速后甲队的函数关系式为， 把，代入，得， 解得， 所以减速后甲队的函数关系式为， 设乙队的函数解析式为， 把代入，得， ， 所以乙队的函数解析式为， 当时，令 解得（舍去）； 当时，令， ， 或， 解得或， 所以④正确； 综上所述，说法正确的有②③④． 故选：D． 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，甲、乙两组同学参加“背夹球竞走”比赛．下图反映了比赛过程中，两组同学距离出发点的距离y（m）与比赛时间x（s）的函数关系．根据函数图象，可知甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为____s． 【答案】14 【详解】解：如图， ， 设段的函数表达式为， 把和代入， 得， 解得， ∴函数段的解析式为； 设段的函数表达式为， 把和代入， 得， 解得， ∴函数段的解析式为； 同理段的函数表达式为； 当时，甲乙在比赛途中相遇， 即， 解得； 当时，甲乙在比赛途中相遇， 即， 解得， 甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为， 故答案为：14． 14．（25-26八年级上·河南郑州·期末）李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业落在家里了，便骑车追赶李华，图中分别表示了两人离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系． (1)李华步行的速度为______，爸爸骑车的速度为______； (2)求出的函数表达式并解释该表达式中一次项系数的实际含义． (3)请计算爸爸能否在李华到达学校前追上李华？ 【答案】(1)60米/分，180米/分． (2)，爸爸骑车的速度为180米/分． (3)能追上 【详解】（1）解：李华步行的速度为米/分， 爸爸骑车的速度为米/分， 故答案为：60米/分，180米/分． （2）解：由题意设的表达式为， ∵当时，；当时，． ∴，解得：， ∴的表达式为． 由（1）可得：爸爸骑车的速度为180米/分． 所以该表达式中一次项系数的实际含义为爸爸骑车的速度为180米/分． （3）解：由题意设的表达式为， ∵当时，， ，解得：， ∴的表达式为， 当时，解得：， 把代入，得：， ， ∴能追上． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行测试．甲、乙两款机器人匀速从起点出发到处的终点，甲出发后，乙以的速度沿同一路线行走．甲、乙两款机器人与起点的距离，与甲出发时间（）的函数图象（如图2），甲、乙两款机器人相距（）与甲行走的时间（）的函数图象（如图3）．根据图象回答下列问题： (1)甲行走的速度为______米/秒；图3中______，_______； (2)求乙到起点的距离与甲出发的时间t之间的函数表达式； (3)当甲出发多少秒时，甲、乙相距． 【答案】(1)，， (2) (3)秒或秒或秒 【详解】（1）解：由图可得甲行走的速度为：（米/秒） 由题意得：； 由得：， 当，， ∴ 故答案为：，，． （2）解：依题意， （3）解：①：由， 得， ②：由， 得， ③当乙到达终点后， 解得： 甲出发秒或秒或秒，甲、乙相距米． 16．（25-26八年级上·河南郑州·期末）李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业忘在家里了，便骑车追赶李华，图中，分别表示了李华和爸爸离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系． (1)李华步行的速度为___________米/分，爸爸骑车的速度为___________米/分，点A表示的实际意义是___________． (2)分别求出的函数表达式 (3)请通过计算说明爸爸能否在李华到达学校前追上李华？ 【答案】(1)60；180；李华出发10分钟时，李华离家600米 (2)：；： (3)能追上 【详解】（1）解：李华步行的速度为米/分， 爸爸骑车的速度为米/分， 点A表示的实际意义是：李华出发10分钟时，李华离家600米． （2）解：由题意设的表达式为， 当时， ，解得：， 的表达式为， 由题意设的表达式为， 当时，， ，解得：， 的表达式为． （3）解：当时， 解得：， 把代入， 得：， ， 能追上． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为，米，小明与小丽之间的距离为米，设小丽行走的时间为分钟．，与x之间的函数图象如图所示． (1)分别求出线段，所在直线的函数表达式． (2)求小明、小丽第二次相遇时的值． (3)当时，若，求的值． 【答案】(1)线段，所在直线的函数表达式分别为、 (2)小明、小丽第二次相遇时的值为 (3)的值为或 【详解】（1）解：观察图象，可得线段所在直线为正比例函数表达式，令其表达式为， ∵点， 将点代入， 得， 解得， 故线段所在直线的函数表达式为， 根据题意，可观察出段的速度为， 故段的速度也为， 根据题意可知，点， 故令线段所在直线的函数表达式为， 将代入， 解得， 故线段所在直线的函数表达式为， 综上，线段，所在直线的函数表达式分别为、． （2）解：小明、小丽第二次相遇时即为图中点所对应的值， 故， 得， 解得， 故小明、小丽第二次相遇时的值为． （3）解：当时，得 得此时， 故当时，恰在线段所在范围内， 若，即， ∴， 解得或， 故的值为或． 18．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段、分别表示小红、小芳两人距离地的距离（米）与跑步时间（分钟）的函数图象． (1)__________米； (2)记线段、的交点为，求点坐标，并解释该点的实际意义； (3)若小红到达地后，3分钟后小芳也到达地，求、两地间的距离． 【答案】(1)1200 (2)；小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米 (3)600米 【详解】（1）解：根据函数图象可得：米； （2）解：根据函数图象可得：小红的速度为：（米/分）， 小芳的速度为：（米/分）， 相遇时小红用的时间为：（分钟）， 相遇时小红跑的路程为：（米） ∴点Q的坐标为，点Q表示小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米． （3）解：设A、B两地的距离为s米． 由题意得， 解得， 答：A、B两地的距离为600米． 19．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）某款新能源纯电动汽车充满电后，仪表盘上剩余电量的显示值与行驶路程x（单位：）的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在（1）中所求函数关系式中常数项的实际意义是什么？ (3)若该款新能源纯电动汽车在高速公路上以的速度匀速行驶，仪表盘上剩余电量的显示值从90下降至40时，该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了多长时间？ 【答案】(1)， (2)该新能源纯电动汽车充满电时，仪表盘上剩余电量的显示值为100 (3)该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 由题意可得 解得 ∴y与x的函数关系式为， 当时，， ∴x的取值范围是； （2）解：y与x的函数关系式中常数项100的实际意义：该新能源纯电动汽车充满电时，仪表盘上剩余电量的显示值为100； （3）解：在中，当时，，解得． 当时，，解得． ∴仪表盘上剩余电量的显示值从90下降至40时，汽车行驶的路程为． ． 答：该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了． 题型3 一次函数实际应用：利润问题（共3小题） 20．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 【答案】(1)元，元 (2)购进“神舟”模型个、“天宫”模型个，利润最大，最大利润元； (3) 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元． （2）解：设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个， 根据题意得：， 解得：， ， ， 随的减小而增大， ， 当时值最大，， （个）， 答：购进“神舟”模型个、“天宫”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元； （3）解：， ， 若，则，即， 随的增大而增大， 当时值最大，得， 解得：， 为让航模店最终获得的最大利润是元，的值为． 21．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表： A地（元/吨） B地（元/吨） 甲仓库 12 15 乙仓库 10 18 (1)设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？ (3)若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值． 【答案】(1)，自变量的取值范围是． (2)当甲仓库运往地100吨物资时，总运费最低，最低为23700元． (3) 【详解】（1）解：由题意，得甲仓库运往地吨物资， ∴乙仓库运往地吨物资，甲仓库运往地吨物资，乙仓库运往地吨物资． ． 由题意，得 解得． ∴自变量的取值范围是； （2）解：对于， ， 随的减小而减小． ∴当时，的值最小，． ∴当甲仓库运往地100吨物资时，总运费最低，最低为23700元； （3）解：甲仓库运往地的运费下降了元/吨后，总运费． ①当时，， 随的减小而减小． ∴当时，最小，即， 解得（舍去）； ②当时，（舍去）； ③当时，随的增大而减小． ∴当时，最小，即， 解得． 综上，． 22．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）临近2026年春节，合肥长丰草莓，迎来草莓产销旺季，某农产品运输公司通过多轮竞标获得60吨长丰草莓的节日转运权，负责从长丰县运往合肥市区各大农贸市场．该公司转运草莓的转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了、、型货车20辆用于装运草莓，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示： 车型 A B C 最大装载量（吨/辆） 5吨 3吨 2吨 运输费用（元/辆） 2000 1500 800 要求所有草莓一次性同时发货，且每辆车均需满载（冷藏车满载可保证草莓新鲜度），应公司要求，运输货物时型车的装载量不超过型车和型车的装载量总和，同时型车的数量不超过辆，设这次运输使用型车辆，型车辆，根据以上信息回答下列问题： (1)求与之间的函数关系式； (2)设此次转运的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润转运初始总费用运输总费用） (3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆型车的运输费用要增加元，该公司在本次转运中获得的最大利润为元，请求出的值． 【答案】(1)（，且为整数） (2)（，且为整数），当使用型车辆、型车辆、型车辆时，获得最大利润元 (3) 【详解】（1）解：∵总车辆数为20辆， ∴C型车数量为， ∵总装载量为60吨， ∴， ， ， ∴； （2）解：∵转运初始总费用为元，运输总费用为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∵B型车装载量不超过A型车和C型车装载量总和， ∴即， 解得， ∵为整数， ∴， ∵，， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 此时，， 最大利润元， ∴（，且为整数），当使用A型车6辆、B型车2辆、C型车12辆时，获得最大利润23400元； （3）解：∵每辆A型车运输费用增加元，， ∴ ， ∴，， ∵最大利润为17400元，且， ∴随的增大而减小， ∴，即， ∴当时，取得最大值17400， ∴， 解得． 题型4一次函数实际应用：方案选择问题（共4小题） 23．（25-26八年级上·广东佛山·期末）综合与实践 主题：借助函数分析解决生活中的决策问题 某商家每天需要寄出多个包裹．有三家快递公司给出了收费方案： 公司 方案 A公司 首重费用15元（1千克以内），超出部分按每千克5元计费． B公司 无首重，统一按每千克7元计费． C公司 每月交18元会员费后，每千克收1元（无首重）． (1)在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象； (2)分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？ (3)C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益．若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？ 【详解】（1）解：由题意，，，， 对于，当时，，当时，； 故过点； 对于，当时，，当时，； ∴过点； 画图如下： （2）解：当时，； 由（1）图可知：当时，选择公司最省钱；当时，选择公司一样省钱，当时，选择公司最省钱； （3）解：由题意，当时，，此时， 调整后， 当经过时，则：， 故当时，令，， 当时，选择公司最省钱；当时，选择公司一样省钱，当时，选择公司最省钱； 当时，令，，此时， 则当时，选择公司最省钱，当时，选择公司和公司一样省钱，当时，选择公司最省钱，当时，选择公司和公司一样省钱，当时，选择公司最省钱． 24．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）综合实践 购买方案 问题背景 随着的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者， 市场调查 图书馆准备引进智能机器人，同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的机器人多3万元，经过调研发现购买100个甲种型号机器人和购买130个乙种型号的机器人所花费用一样． 解决问题 任务一 求甲乙两种型号的机器人的单价是多少万元？ 任务二 图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10个（两种型号均有），则有几种购买方案，购买乙种智能机器人多少个，所花资金最少？ 【答案】（1）甲种型号的机器人的单价是13万元，乙种型号的机器人的单价是10万元； （2）有5种购买方案，购买乙种智能机器人5套，所花资金最少． 【详解】（1）解：设甲种型号的机器人的单价是x万元，则乙种型号的机器人的单价是万元， 根据题意得：， 解得：， ∴（万元）． 答：甲种型号的机器人的单价是13万元，乙种型号的机器人的单价是10万元； （2）解：设购买乙种智能机器人m套，则购买甲种智能机器人套， 根据题意得：， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴m可以为1，2，3，4，5， ∴有5种购买方案． 设购买甲、乙两种型号的机器人共花费w万元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值． 答：有5种购买方案，购买乙种智能机器人5套，所花资金最少． 25．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）2025年11月14日，神舟二十号航天员乘组完成在轨204天的载人飞行任务后，安全返航，激发了航空模型的购买热潮，某航模店准备采购“神舟”和“天宫”两款航空模型，经调查，每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元，且同样花费300元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多15个． (1)求两款航空模型每个进价分别是多少元？ (2)若航模店欲采购两款航空模型共200个，投入资金不超过2600元，且“天宫”模型的数量不超过160个（购进两款航空模型的数量都是10的整数倍），则该航模店有哪几种购进方案？ (3)在（2）条件下，“神舟”和“天宫”两款航空模型的售价分别是30元/个和15元/个，航模店从200个航空模型中拿出3个航空模型奖励优秀员工，其余航空模型全部售出，仍获利1140元，请直接写出（2）中的购进方案． 【答案】(1)“天宫”模型每个进价10元，“神舟”模型每个进价20元 (2)有三种购进方案：方案一：购进“天宫”模型140个，“神舟”模型60个；方案二：购进“天宫”模型150个，“神舟”模型50个；方案三：购进“天宫”模型160个，“神舟”模型40个 (3)购进方案为方案三：购进“天宫”模型160个，“神舟”模型40个 【详解】（1）解：设“天宫”模型每个进价x元，则“神舟”模型每个进价元，根据题意得： ， 整理得：， 解得∶， 经检验：均是原方程的解，但不符合题意， 此时， 答：“天宫”模型每个进价10元，“神舟”模型每个进价20元； （2）解：设购买“天宫”模型的数量为m个，则购买“神舟”模型的数量为个，根据题意得： ， 解得：， ∵购进两款航空模型的数量都是10的整数倍， ∴m取140，150，160， 此时分别为60，50，40， 答：有三种购进方案：方案一：购进“天宫”模型140个，“神舟”模型60个；方案二：购进“天宫”模型150个，“神舟”模型50个；方案三：购进“天宫”模型160个，“神舟”模型40个； （3）解：设有个“天宫”模型作为奖品，所获的利润为w元，则有个“神舟”模型作为奖品，则，根据题意得： 方案一：， ∵， ∴w随a的增大而增大， 当时，w最小，为1210；当时，w最大，为1255， ∵仍获利1140元， ∴方案一不符合题意； 方案二：， ∵， ∴w随a的增大而增大， 当时，w最小，为1160；当时，w最大，为1205， ∵仍获利1140元， ∴方案二不符合题意； 方案三：， ∵， ∴w随a的增大而增大， 当时，w最小，为1110；当时，w最大，为1155， ∵仍获利1140元， ∴方案三符合题意； 答：购进方案为方案三：购进“天宫”模型160个，“神舟”模型40个． 26．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）根据以下素材，探索完成任务. 如何设计采购方案？ 素材1 宋曹是明末清初时期的大书法家，字彬臣，又字臣，号射陵，盐城郊区北宋庄人，工书能文，对书法造诣很深．宋曹故居纪念馆位于江苏省盐城市儒学街4号，为了能更好地宣传优秀传统文化以及宋曹的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有宋曹书法手袋、宋曹书签、宋曹书法贴纸等． 素材2 小明在本店购买了3套书签和4套贴纸，一共花费了110元； 小丽在本店购买了5套书签和2套贴纸，一共花费了90元． 问题解决 任务1 确定单价 求购买1套书签和1套贴纸分别需要多少元？ 任务2 探究函数关系 临近期末考试，数学王老师打算提前给学生准备奖品，他准备同时购买书签和贴纸两种商品共20套．设数学王老师准备购买书签x套，总费用为y元，请你求出y与x的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 现要求贴纸的数量不少于13套，应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少元？ 【答案】（1）购买1套书签10元，1套贴纸20元 （2） （3）购买书签7套，贴纸套，总费用最低，总费用最低是330元 【详解】解：（1）设购买1套书签元，1套贴纸元，根据题意得， 解得 ∴购买1套书签10元，1套贴纸20元； （2）设数学王老师准备购买书签x套，则购买贴纸为套， ∴总费用为元； （3）根据题意得，， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为（元）， ∴购买书签7套，贴纸套，总费用最低，总费用最低是330元． 题型5 一次函数与几何综合：求直线解析式 + 面积 / 坐标（解答压轴）（共7小题） 27．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的长； (3)P为直线上一点，，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：， ∵直线交坐标轴于点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为：． （2）解：由题意可知：，，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合， ，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， 即． （3）解：∵P在直线上， ∴设， ∵， ∴， 解得或， ①当时，， ②当时，， ∴或． 28．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． (1)直接写出点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)点P是直线上一点（不与点重合），当与的面积相等时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：把代入，得， ∴； （2）解：把，，代入，得： ，解得， ∴； （3）解：∵与的面积相等，且点P与点不重合， ∴点在点上方，为的中线， ∴为的中点， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴，即． 29．（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与实践 问题情景： 如图，已知直线与交于点，且点的坐标为． (1)求直线的表达式及点的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为， (2)的面积为3 (3)点的坐标为或 【详解】（1）解：设直线的表达式为，把和代入得， ，解得． ∴直线的表达式为． 把代入，得：， ∴； （2）解：把代入，得， ∴． 把代入，得，解得， ∴． ∴． ∴； （3）解：设，则， ∵，∴． 解得或． ∴点的坐标为或． 30．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，与直线交于点，其中点的横坐标为． (1)求直线的函数表达式． (2)为直线在第一象限上的一点，连接，．当的面积为时，求出符合条件的点的坐标． (3)为线段上的一点，当时，直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：点在上，且横坐标为， 当，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得， 解得， 则直线的解析式为． 答：． （2）解：如图，过点作轴，交于点， 为直线在第一象限上的一点， 设点的坐标为， 令的，可得， 点的坐标为， ， 令的，可得， 点的坐标为，即， ， ，即或， 解得或（不合题意，舍去）， 则的坐标为． 答：． （3）解：如图，过点作轴，交于点， 点的坐标为，点的坐标为， ，为等腰直角三角形， ， 令的，可得， 点的坐标为，即， 在轴上取点，使，连接，交于点， 在和中， ， ， ， ， ， 设所在直线为， 将点和点代入， 可得， 解得， 直线为， 将直线与直线联立可得 ， 解得， 点的坐标为． 答：． 31．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与线段交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出点，点，点的坐标； (2)连接，若，求出长度，并计算的面积； (3)若，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)，的面积为； (3) 【详解】（1）解：对于直线， 令，则，解得， ； 令，则， ； 对于直线，令，则， ； 故，，． （2）解：设，则， ， ，， ， ∴， ， ， 解得，即； ， ， 的面积； （3）解：过点作于点，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，且，， ∴，解得； 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 设点的坐标为()， 则， 解得(舍去负根)； 当时，， ∴点的坐标为． 32．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． (1)点的坐标是__________，点的坐标是__________． (2)若点是直线上一点，求直线的解析式． (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【详解】（1）解：令， 令， ∴点的坐标是．点的坐标是； 故答案为：． （2）解：∵点是直线上一点， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是， 故答案为：． （3）解：存在， 由（1）得：点的坐标是，点的坐标是， ， 设点的坐标为， ∵的面积等于面积的2倍， ， 整理得， 或， 解得：或， ∴点的坐标为或． 33．（25-26八年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴和y轴交于A、B两点．直线与x轴和y轴分别交于C，D两点，与交于点G，其中且．      (1)求直线的解析式； (2)点P为直线上一个动点，连接，，当时，求点P的坐标； (3)已知点K为直线上的一个动点，若，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)或 (3)和，过程见解析 【详解】（1）解：直线与y轴交于点， 令，得， ，， ， ，， 直线过、两点， ，解得， 直线的解析式为：； （2）解：直线与直线交于点， ，解得， ， 直线与轴交于点， 令，得，解得， ， 过作轴垂线交于点，交轴于点， 设，则，， 情况1，如下图，当点在点和点之间，即时， ， 即， ， 化简得，， 解得，， ； 情况2，如下图，当点在点右侧，即时， ， 即， ， 化简得，， 解得，，不符合题意，舍去； 情况3，如下图，当点在点和点之间，即时， ， 即， ， 化简得，， 解得，，不符合题意，舍去； 情况4，如下图，当点点左侧点右侧，即时， ， 即， ， 化简得，， 解得，， ； 情况5，如下图，当点点左侧，即时， ， 即， ， 化简得，， 解得，，不符合题意，舍去； 综上所述，点坐标为：或； （3）解：由（2）得，，则， 由（1）得， ， 点为直线上的一个动点， 设， ，， ， 记直线与直线交于点， 过点作轴于点，交直线于点， 则，， ，，，， 是等腰直角三角形，，，， ， ， 当在轴右侧即时，如下图， ， ， ， ， ，解得，符合， ， 当在轴左侧即时，如下图， ， ， ， ， ，解得，符合， ， 综上所述，的坐标为和． 题型6 一次函数与几何综合：存在性问题（等腰 / 直角三角形、平行四边形）（解答压轴）（共15小题） 34．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)F是直线上一点，若，求点F的坐标； (3)点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【详解】（1）解：将点代入得， ， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作轴于G，交于H， 设，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或； （3）解：如图2-1， ∵，， ∴直线的解析式为：， 设， 作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 当时， 由得，， ∴， ∴直线的解析式为：， 将点代入得， ， ∴， ∴，， ∴， 如图2-2， 当时， ∵，， ∴直线的解析式为：， 将代入得， ， ∴， ∴，， ∴， 综上所述：或． 35．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)分别求点的坐标； (2)连接求的面积； (3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为， ，，轴， ∵直线与交于点，与轴交于点， ∴当时，，解得， 当时，， ，： （2）解：如图，令与轴的交点为， 令，解得， ， ， ，，； ，，， ， ； （3）解：点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上， ∴设， 如图，过点作交所在直线于点，交所在直线于点， ①若点在上方， 是等腰直角三角形，且， ，， ， ， ， 在与中，， ， ， ， ，解得：， ； ②若点在下方，同理可证，， ， ， 即，解得， ， 综上可知，点的坐标为或． 36．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是，求的面积； (3)在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，请直接写出点H的坐标． 【答案】(1)； (2)6 (3)H的坐标为或或 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， 解得， ∴； 将，代入直线得，， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：， ∴，， ， ． （3）解：设， ∵直线的解析式为与y轴交于点B， ，， ∴， ∵在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形， ①当为对角线， ∴， 则 ∵，，， ∴ ， ∴； ②当为对角线， ∴， 则， ∵，，， ∴ ， ∴H； ③当为对角线， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴； 综上：H的坐标为或或． 37．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)如图1，求点、两点的坐标； (2)如图2，求直线的表达式； (3)连接，在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，的坐标为或 【详解】（1）解：在中， 令得， 令得，解得． ，． （2）解：由（1）知，，． ． 将沿直线折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处， ， ． ． ． 设，则，． ， ，解得． 即． 设直线的表达式为． 把，代入， 得，解得． 直线的表达式为． （3）解：在第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 设， 当A为直角顶点时，过A作轴，过P作于K，过B作于T，如图 ． 为等腰直角三角形， ， ． ， ， ． 在和中 ， ． ，． ． 解得， ； 当P为直角顶点时，过P作轴交y轴于H，过A作于G， 同理可得． ，． ． 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 38．（25-26八年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，每一个点的位置都由一个有序数对来表示，直线是所有横坐标等于1的点组成的集合，这条直线是一条与轴平行的直线；同理，直线则是指所有纵坐标等于1的点组成的集合，这条直线是一条与轴平行的直线．作点关于直线的对称点，记为变换；作点关于直线的对称点，记为变换．已知，． (1)点作变换得到，点作变换得到，那么_____． (2)已知点，平面直角坐标系中有一点，将先作变换，再作变换得到点． ①若点在线段上运动，当时，求的坐标． ②若点在射线上运动，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点的坐标为或或或 【详解】（1）解：∵，，点作变换得到，点作变换得到， ∴点作变换得到，点作变换得到， ∴； （2）解：①∵点的坐标为，点的坐标为， ∴直线的解析式为， ∵点在线段上运动， ∴设， ∴点先作变换得到，再作变换得到点， ∵， ∴， ∴， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令直线交轴于点， 令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的坐标为； ②∵点在射线上运动， ∴设， ∴点先作变换得到，再作变换得到点， ∵，， ∴，，， ∵为等腰三角形， ∴当时，， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时， 当时，， 解得：或， 此时或； 当时，， 解得：， 此时； 综上所述，点的坐标为或或或． 39．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，经过点的直线与x轴交于点C，与正比例函数的图象交于点 (1)求直线和直线的函数的表达式； (2)点D为直线上有一点，如有，请求出点D的坐标； (3)点P是直线上的一点，且知是等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为； 把和代入，则，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， 当点在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴； 当点在线段的延长线上时，则， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴； 综上：或； （3）解：由（2）知：， ∵， ∴， ∴； 当是等腰三角形时，分3种情况： ①当时，则点与点重合，故； ②当时，作，则， ∵， ∴当时，， ∴； ③当时，过点作轴，则为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 当时，； 当时，； ∴或； 综上：或或或 40．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图1，直线交x轴、y轴分别于点A、B，直线与x轴交于点C，与直线交于点D，． (1)求直线的解析表达式； (2)点P为射线上的一点，若，在x轴上存在一点E，使最小，求点E坐标和最小值； (3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点M，y轴上一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点N坐标． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)N点坐标为或或 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A， ∴当时， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴将代入得， 解得， ∴直线的解析表达式为； （2）解：联立直线和直线得， ， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线与y轴的交点为F， 将代入得， ∴， ∵直线交y轴于点B， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 作D点关于x轴的对称点，连接与x轴交于E点，连接，则， ∴， ∴， 当、E、P三点共线时，的值最小，最小值为的长度 ∵，， ∴， ∴的最小值为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴当时， 解得 ∴； （3）解：将直线向上平移3个单位得到直线， ∴直线的解析式为， 设，， ∵，，以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为平行四边形的对角线时， 解得， ∴； 当为平行四边形的对角线时， 解得， ∴； 当为平行四边形的对角线时， 解得， ∴； 综上所述：N点坐标为或或． 41．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，直线经过点，并且与直线平行，与轴交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)若点是直线上的一个动点，过点分别作轴于，轴于，在四边形上分别截取：，，，，求证：四边形是平行四边形． (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，能使四边形为正方形？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点坐标是 (2)见解析 (3)存在,点坐标或． 【详解】（1）解：∵直线与平行，且过点， ， 一次函数解析式为， 当时，， 点坐标是； （2）证明：轴，轴， 四边形是矩形， ，， ，，，， ，，，， 在和中， ， ， 同理可证：， 四边形是平行四边形； （3）存在这样的点，理由如下： 设点 ∵， ∴， 当四边形为正方形时， 则，， 而，， ， 而， ， ， 即 解得：或， 所以：存在这样的点，点坐标是或． 42．（23-24八年级下·海南海口·期末）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与轴交于点，是线段上的一个动点（与点、不重合），过点作直线轴，交直线于点，连接．设动点的横坐标为． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (4)在线段上存在点，使得四边形是菱形，直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：对于直线，令，则， ， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 把代入，得， 解得． 直线的解析式为． （2）解：中，令，则， 解得， ∴， ∵点的横坐标为，且在直线上， ∴． ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为． 把代入，得， 解得， ． ， 又∵点与点、不重合，，， ∴． ∴； （3）解：∵，四边形是平行四边形， ∴． 由（）得，， ， ∵， ∴． 解得． 把代入，得， ． （4）解：令交于点， 设， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． ∴， 解得． 把代入的坐标，得． ∵垂直平分， ∴， ∴， ． 43．（23-24八年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，C为y轴正半轴一点，满足． (1)求直线的解析式； (2)x轴负半轴有一点动点D，满足四边形的面积为10，求点D的坐标； (3)点P为直线下方一点，满足以A、B、P为顶点的三角形为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：把代入得：， ∴， ∴， 设点D的坐标为，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； （3）解：当点B为直角顶点时，过点P作轴于点Q，如图所示： ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当点A为直角顶点时，过点P作轴于点Q，如图所示： ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当点P为直角顶点时，如图所示： ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或或． 44．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）定义：两个一次函数和(其中k、b为常数，，)互为“守望一次函数”，“守望一次函数”图象的交点称为“守望点”．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴的交点分别为点A和点B． (1)求函数的“守望一次函数”和“守望点”C的坐标； (2)动点P从“守望点”C出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达O处时，停止运动．设的面积为S，运动时间为秒，请直接写出S关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）条件下，当时，点N在坐标轴上，坐标平面内是否存在点M，使得以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【详解】（1）解： 其中 ，其“守望一次函数”为： 代入 得： ∴的 “守望一次函数”为 ； 联立原函数与“守望一次函数”求交点C： 解得 ， 故C点坐标为 ； （2）解：， 令，求得， 令，求得， ∴，， 作， 由勾股定理得，， ∵， 即， ， 的运动速度每秒个单位长度， 当在上运动，即时，， ； 当在上运动，即时，， ； 综上，函数解析式为： ； （3）解：在（2）条件下，当时，在点处，点N在坐标轴上， 根据矩形性质，以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形，即以A、P、N为顶点的三角形是直角三角形， 当时，如图，在原点处， 此时； 当时，如图， 设， ∴， ， ， ， ， 设，由矩形性质可知对角线的中点重合， 由中点公式得： ， 解得， ； 当时，如图， 设， ∴， ∵， ， 解得：， ， 设，由矩形性质可知对角线的中点重合， 由中点公式得： ， 解得， ； 综上所述，或或． 45．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线过点，交轴于点，且为线段的中点． (1)求、的值； (2)点为线段延长线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当时，若点是直线上一点，轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【详解】（1）解：当时，， ， ， 为线段的中点， ， 当时，， ， 将点、代入， ， 解得； （2）解：， ； （3）解：当时， ， 解得， 代入解析式得， ∴， 由题意以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 当以为边时， 则， ∴ 代入得， ∴， 则， ∵， ∴或； 当以为对角线时， 则中点重合， 设，， 由中点公式知， 解得 ∴， 综上所述或或． 46．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，． (1)求的面积． (2)C为延长线上的一点，连接，以和为直角边作等腰直角三角形，若，求直线的解析式 (3)点E在坐标平面内，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出符合条件的点E的坐标． 【答案】(1)6 (2) (3)或或 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 由图知， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 如图，过点D作轴于F， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴． （3）解：如图， ∵以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为边时，， 由（2）知，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 当为对角线时，互相平分， ∵,， ∴． ∴点E的坐标为f或或． 47．（24-25八年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴相交于A、B两点，直线与x轴、y轴相交于C、D两点，与直线l交于点E． (1)求E点的坐标； (2)点P在射线上，使得的面积等于面积的2倍．求出P点的坐标；直线上有两动点G，H（G在H下方），，求的最小值． (3)作点O关于直线的对称点，点M为直线上一动点，在y轴上是否存在一点N，使得是以M为直角顶点的等腰直角三角形．若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，的最小值 (3)存在，或 【详解】（1）解：由题意可得：联立直线和直线的解析式可得 解得， ∴点E的坐标为； （2）解：如图 ，过点P作轴，交x轴于点F，设点P坐标为， ∵直线与x轴，y轴相交于A、B两点， 时，；时， ∴， ，， ∵直线与x轴、y轴相交于C、D两点， 时，；时， ∴， ，， 由（1）可知点E的坐标为， ，，，，则，，， ，， ∵的面积等于面积的2倍， ， ，即， ∵点P在直线上， 时， ∴； 时， ∴， ∵在射线上， ∴， ∴（舍）， ∴点P的坐标为； 取的中点记为点， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作直线的对称点，连接，则，， ∴， ∴为等边三角形， 过点作于点， 则， ∴， ∴， 将点沿着射线方向平移至点，使得， ∴， ∴直线与轴的夹角为，四边形为平行四边形， ∴的竖直距离为，， ∴由勾股定理得的水平距离为， ∵点P的坐标为， ∴点P向下平移个单位，向左平移个单位得到点， ∴坐标为 由对称可得， ∴ 当且仅当点三点共线时，取得最小值，为； （3）解：存在，理由如下： 作O点关于直线的对称点， ，，则，， ∴由勾股定理得， 同上可得， ∵点O、关于直线对称， ，，在中，， ， ， ， 过点作轴， 轴，则在中，， ， ∴的坐标为， ①当点M在x轴的下方，如图1，过点M作轴，延长交的延长线于点K，设点M的坐标为， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，解得：，则， ∴点M的坐标为； ②当点M在直线的上方，如图2，过点M作轴，过点作交的延长线于点Q，设点M的坐标为， 轴， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，解得，则， ∴点M的坐标为：， 综上所述，点M的坐标为：；． 48．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点的坐标为，直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点，且． (1)求点的坐标． (2)求直线的函数解析式，并判断点是否在直线上． (3)在平面直角坐标系内是否存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在直线上 (3)存在，点的坐标为或或 【详解】（1）解：过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：设直线， 代入点，，则， 解得：， ∴直线， 当， ∴，即， 当，则， 解得：， ∴，即， ∵， ∴，， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 当时，， ∴点在直线上； （3）解：存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形， 如图，当时，则， ∴点向点的平移方式与点向的平移方式一样， ∵，，， ∴点向左平移8个单位，向下平移6个单位至点， ∴； 当时，则，同理可求：； 当时，则，同理可求：， 综上：存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 题型7 一次函数与几何综合：交点 / 参数范围、与不等式结合求区域（解答压轴）（共5小题） 49．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)_____，不等式的解集为_____； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 【答案】(1)1； (2) (3)存在；或 【详解】（1）解：∵ 点在直线上， ∴ ， 解得 ， ∵ 不等式， ∴ 解得 ， 解得 ， ∴ 不等式的解集为； （2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上， ，， ， ，， 当时，有最大值， 的最大值为； （3）解：存在．直线，令得， ． 点在直线上，设点坐标为， ①当时，点在轴的下方, ， 解得，点坐标为， ②当时，点在轴的上方, ， 解得，此时点坐标为． 点的坐标为或． 50．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：把代入， 得， ， 直线过点、， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：不等式即， 由图像可知：当时，直线在直线上方， 不等式的解集为． （3）解：在中，令，得， ， 在中，令，得， ， ， ， ， ． 设，，， ，的高为点纵坐标， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 51．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1) ；不等式的解集为 ， (2)若点在线段上，点在直线上，则的最小值 ． (3)直线上是否存在一点P，使得的面积为6，若不存在请说明理由，若存在请求出P的坐标． 【答案】(1)1， (2) (3)存在，点的坐标为或 【详解】（1）解：由题意可得：直线与直线交于点， 解得， 一次函数解析式为， 令得，解得， 一次函数与轴交点为， 不等式的解集为， 故答案为：1，； （2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． （3）解：存在， 直线，令得， ． 设点在直线上，其坐标为， 其面积等于6，则有：， 即或． 解得或， 所以坐标为或． 52．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，函数与的图象交于． (1)求出的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)在函数的图象上找一点，使的面积等于面积一半，求出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)的坐标为或 【详解】（1）解：把代入得：， 解得； ∴， 把代得：， 解得； （2）解：不等式的解集为； （3）解：∵的面积等于面积一半， ∴， ∴， 当时，； 当时，， ∴的坐标为或． 53．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）如图，已知直线经过点，． (1)若直线与直线相交于点A，求点A的坐标； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)在x轴上有一点P，若的面积为9，求P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：根据题意，直线，经过点，， 根据题意，得， 解得， ∴的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故． （2）解：根据题意，得，由，得 ， 由图象知①的解集为， 解不等式②得，， 故不等式组的解集，得． （3）解：设点P的坐标为， ， 解得或， ∴点P的坐标为或． 题型8 一次函数与几何综合: 全等三角形几何模型+一次函数（解答压轴）（共7小题） 54．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处．则点的坐标为_____．（直接写结果） 【感悟应用】如图2．在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． 【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点．点是函数与轴的交点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】【操作思考】；【感悟应用】；【拓展探究】存在，点的坐标为或 【详解】解：【操作思考】如图1，过点A作轴于点，过点B作轴于点． 由点坐标可知， 为等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴点坐标为：； 【感悟应用】如图，过点作轴于点H． ∵点，点， ∴，， ∵为等腰直角三角形 ∴，， 轴， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的表达式为 将和代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为：． 【拓展探究】存在； 由F是函数与轴的交点，可知， 点D是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点E是轴正半轴上的一个动点， 设，， 以点F为直角顶点，即：，过F作轴，过点D作于点P，过点E作于点N，如图所示： 由感悟应用类比可得：，， ∴， 解得： 故此时：； 以点D为直角顶点时，点E在y轴的负半轴，不符合题意； 以点E为顶角，即：，过E作轴，过点D作于点P，过点F作于点N，如图所示： 由感悟应用类比可得：，，， 解得： 故： 不存在符合题意的以点D为直角顶点的等腰三角形， 综上，点E的坐标为：或． 55．（25-26八年级上·广东茂名·期末）【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）①直线为，②不变，；（3）或 【详解】解：（1）． 证明：，过点作交于点，过点作交于点， ， ， 在和中 ， ， ∴． （2）①当时，则直线为直线， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 过点E作于，如图所示：     ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把与代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． ②当变化时，的面积是定值，， 理由如下： ∵当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 变化时，的面积是定值，； （3）①如图，过作轴交于点，过作轴于点， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则，解得：， 则； ②如图， 如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴． 综上，或． 56．（25-26八年级上·河南郑州·期末）【全等模型】 如图1，已知在中，，，，，垂足分别为点，．易证：． （1）如图1，若，则_____； 【迁移应用】 （2）已知：如图2，直线的图象与轴、轴分别交于、两点，当的取值变化，点随之在轴正半轴上运动时，在轴右侧过点作，并且，连接，的面积_____（填“会”或“不会”）发生变化？若不变，请直接写出其面积的值；若变，请说明理由； （3）如图3，，，点的坐标为，连接交轴，轴于点，将所在直线绕点旋转得到直线，求直线的函数表达式； 【拓展探究】 （4）如图4，四边形为长方形，其中点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限．若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）9；（2）不会，8；（3）直线的函数表达式为或；（4）点的坐标为或 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：9； （2）令，则， ∴点的坐标为， ∴， 作轴于点， ∵，， 由【全等模型】知， ∴， ∴的面积， ∴的面积不会发生变化，其面积的值为8； （3）过点和分别作轴的垂线，垂足分别为点和， ∵，，点的坐标为， 同理， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 当将所在直线绕点顺时针旋转得到直线时， 过点作，使，连接，则，所在直线即为直线，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作直线的垂线，垂足为点， 同理，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， 同理，直线的函数表达式为， 当将所在直线绕点逆时针旋转得到直线时， 过点作，使，连接，则，所在直线即为直线，过点作轴的平行线，过点和分别作的垂线，垂足分别为点和， 同理，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， 同理，直线的函数表达式为， 综上，直线的函数表达式为或； （4）当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况， 第一种情况：当点在长方形的内部时， 如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ， 由()可得，，则， ∴， 解得， ∴， ∴， 此时，，，符合题意； 第二种情况：当点在长方形的外部时， 如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设， ∴，则， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴，， 同理可得：，则， 即：， 解得， ∴， ∴， 此时，，， ，符合题意， 综上，点的坐标为或． 57．（25-26八年级上·江西抚州·期末）【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， ①点A坐标为_______；点B坐标为_______； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，则的最小值是_______； （2）如图2，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点．将直线绕点B顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】（3）如图3，直线的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D．点，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）①；；②4；（2）；（3）或 【详解】解：（1）①当时，，当时，由，解得， ∴点A坐标为，点B坐标为； ②过A作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵D是正比例函数图象上的动点， ∴根据垂线段最短，得的最小值是的长， 故的最小值是； （2）如图，过点A作交直线l于C，过点C作轴于D， 则， ， ， 直线绕点B逆时针旋转得到直线l， ， 是等腰直角三角形，则， 同（1）可证明：， ，， 一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点， 当时，， 当时，由得， ，， ，， ， ， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入， 得，解得， 直线l对应的函数表达式为； （3）点Q的坐标为或． 解：把代入直线得：， 把代入直线得：， 解得：， ∴，， ①当时，如图2，过点P作轴于E，过点Q作，交延长线于F， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，， 解得， ，， 点Q的坐标为； ②当时，如图3，过点P作轴于E，过点Q作，交延长线于F， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，， 解得， ，， 点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 58．（24-25八年级上·河南郑州·期末）【模型呈现】如图1，在中，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作线段且，直线交x轴于点D． ①点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； ②求直线的函数表达式． 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标． 【答案】【模型呈现】证明见解析 【模型应用】①，；② 【模型迁移】点Q的坐标为或 【详解】【模型呈现】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【模型应用】①过C作轴于K，如图2： 一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，即，解得：， 当时，即， ∴，， ∴，， 由【模型呈现】可得：， ∴，， ∴， ∴， ②设直线解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为． 【模型迁移】如图，过点作轴于点N，过点P作于点M，设，，分两种情况： ①如图，当在点左侧时， ∵点是点C关于y轴的对称点， ∴， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， 由【模型呈现】可得， ∴， ∴，解得：， ∴， ②如图，当在右侧时， ，解得：， ∴， 综上：点Q的坐标为或． 59．（23-24八年级上·江苏常州·月考）建立模型 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用 (1)如图2，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线的表达式； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在一点Q，使得是等腰直角三角形，点Q坐标为或 【详解】（1）解：∵与轴、轴分别交于、两点， ∴点，点， ∴，， 如图，过点作轴于， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点； （2）解：设直线的表达式为：， ∵， ∴， ∴， ∴直线的表达式； （3）解：存在一点Q，使得是等腰直角三角形， 当时，过点作轴于，过点作于， ∵点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 当时， 过作于点，过作，交延长线于点， 同理， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴点， 综上所述： 点坐标为或． 60．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：． （1）①如图1，若，则__________； ②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【拓展探究】 （2）如图3，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标． 【答案】（1）①；②，；（2）或 【详解】（1）解：①∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； ②如图2， 过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， ， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形， 设，则，， 同理可得， ∴， ∴， ∵在上， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 当在点的位置时，， 综上所述，或． $专题08 函数与一次函数期末压轴8高频题型 题型1 动点函数图象（选择压轴） 题型2 一次函数实际应用：行程问题（分段函数、最值） 题型3 一次函数实际应用：利润问题（分段函数、最值） 题型4一次函数实际应用：方案选择问题（分段函数、最值） 题型5 一次函数与几何综合：求直线解析式 + 面积 / 坐标（解答压轴） 题型6 一次函数与几何综合：存在性问题（等腰 / 直角三角形、平行四边形）（解答压轴） 题型7 一次函数与几何综合：交点 / 参数范围、与不等式结合求区域（解答压轴） 题型8 一次函数与几何综合: 全等三角形几何模型+一次函数（解答压轴） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 动点函数图象（选择压轴）（共7小题） 1．（24-25八年级上·北京·期末）如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D．4 2．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图①，动点P从菱形的顶点A出发，沿边匀速运动，到达点C时P停止；设点P运动的路程为x，它与对角线交点O之间的距离为，如图②是y与x之间的函数图象，当点P运动至边的中点时，函数值y等于（ ） A． B． C．4 D．6 3．（24-25八年级下·河南周口·月考）如图1，在锐角三角形中，，动点从点出发，沿方向运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则的长为（   ） A．6 B．12 C．9.6 D．8 4．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图①，在菱形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图②所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山东济南·期末）一个动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（    ） ①动点H的速度是；②的长度为；③；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（   ） A．当时，的面积为3平方米 B．小车的运动速度为1米／秒 C．长方形的周长为14米 D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 7．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 一次函数实际应用：行程问题（共12小题） 8．（25-26八年级上·山西运城·期末）在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 9．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（   ） ①甲登山的速度是每分钟米； ②乙在A地时距地面的高度为米； ③乙登山分钟时追上甲； ④登山时间为分钟，分钟或分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（25-26八年级上·四川成都·期末）2025年成都非遗文化展上，展馆的机器人甲和乙从入口出发，准备给相距的非遗手作展区送展示牌，甲比乙先出发，且速度保持不变，乙出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设甲行走的时间为，甲和乙行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） ①甲比乙先出发15秒； ②乙提速后的速度为： ③； ④从甲出发至送展示牌结束，甲和乙最远相距． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家1小时20分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程与小华离家时间的函数图象．已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的3倍，若爸爸比小华早10分钟到达植物园，下列说法哪项是错误的是（   ） A．小华的速度是 B．爸爸离家的路程y与小华离家的时间x之间的函数表达式： C．爸爸在出发25分钟后与小华相遇 D．小华家到植物园的距离是 12．（25-26八年级上·四川巴中·期末）2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（    ） ①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米 A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，甲、乙两组同学参加“背夹球竞走”比赛．下图反映了比赛过程中，两组同学距离出发点的距离y（m）与比赛时间x（s）的函数关系．根据函数图象，可知甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为____s． 14．（25-26八年级上·河南郑州·期末）李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业落在家里了，便骑车追赶李华，图中分别表示了两人离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系． (1)李华步行的速度为______，爸爸骑车的速度为______； (2)求出的函数表达式并解释该表达式中一次项系数的实际含义． (3)请计算爸爸能否在李华到达学校前追上李华？ 15．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行测试．甲、乙两款机器人匀速从起点出发到处的终点，甲出发后，乙以的速度沿同一路线行走．甲、乙两款机器人与起点的距离，与甲出发时间（）的函数图象（如图2），甲、乙两款机器人相距（）与甲行走的时间（）的函数图象（如图3）．根据图象回答下列问题： (1)甲行走的速度为______米/秒；图3中______，_______； (2)求乙到起点的距离与甲出发的时间t之间的函数表达式； (3)当甲出发多少秒时，甲、乙相距． 16．（25-26八年级上·河南郑州·期末）李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业忘在家里了，便骑车追赶李华，图中，分别表示了李华和爸爸离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系． (1)李华步行的速度为___________米/分，爸爸骑车的速度为___________米/分，点A表示的实际意义是___________． (2)分别求出的函数表达式 (3)请通过计算说明爸爸能否在李华到达学校前追上李华？ 17．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为，米，小明与小丽之间的距离为米，设小丽行走的时间为分钟．，与x之间的函数图象如图所示． (1)分别求出线段，所在直线的函数表达式． (2)求小明、小丽第二次相遇时的值． (3)当时，若，求的值． 18．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段、分别表示小红、小芳两人距离地的距离（米）与跑步时间（分钟）的函数图象． (1)__________米； (2)记线段、的交点为，求点坐标，并解释该点的实际意义； (3)若小红到达地后，3分钟后小芳也到达地，求、两地间的距离． 19．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）某款新能源纯电动汽车充满电后，仪表盘上剩余电量的显示值与行驶路程x（单位：）的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在（1）中所求函数关系式中常数项的实际意义是什么？ (3)若该款新能源纯电动汽车在高速公路上以的速度匀速行驶，仪表盘上剩余电量的显示值从90下降至40时，该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了多长时间？ 题型3 一次函数实际应用：利润问题（共3小题） 20．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 21．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表： A地（元/吨） B地（元/吨） 甲仓库 12 15 乙仓库 10 18 (1)设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？ (3)若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值． 22．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）临近2026年春节，合肥长丰草莓，迎来草莓产销旺季，某农产品运输公司通过多轮竞标获得60吨长丰草莓的节日转运权，负责从长丰县运往合肥市区各大农贸市场．该公司转运草莓的转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了、、型货车20辆用于装运草莓，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示： 车型 A B C 最大装载量（吨/辆） 5吨 3吨 2吨 运输费用（元/辆） 2000 1500 800 要求所有草莓一次性同时发货，且每辆车均需满载（冷藏车满载可保证草莓新鲜度），应公司要求，运输货物时型车的装载量不超过型车和型车的装载量总和，同时型车的数量不超过辆，设这次运输使用型车辆，型车辆，根据以上信息回答下列问题： (1)求与之间的函数关系式； (2)设此次转运的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润转运初始总费用运输总费用） (3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆型车的运输费用要增加元，该公司在本次转运中获得的最大利润为元，请求出的值． 题型4一次函数实际应用：方案选择问题（共4小题） 23．（25-26八年级上·广东佛山·期末）综合与实践 主题：借助函数分析解决生活中的决策问题 某商家每天需要寄出多个包裹．有三家快递公司给出了收费方案： 公司 方案 A公司 首重费用15元（1千克以内），超出部分按每千克5元计费． B公司 无首重，统一按每千克7元计费． C公司 每月交18元会员费后，每千克收1元（无首重）． (1)在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象； (2)分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？ (3)C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益．若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？ 24．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）综合实践 购买方案 问题背景 随着的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者， 市场调查 图书馆准备引进智能机器人，同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的机器人多3万元，经过调研发现购买100个甲种型号机器人和购买130个乙种型号的机器人所花费用一样． 解决问题 任务一 求甲乙两种型号的机器人的单价是多少万元？ 任务二 图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10个（两种型号均有），则有几种购买方案，购买乙种智能机器人多少个，所花资金最少？ 25．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）2025年11月14日，神舟二十号航天员乘组完成在轨204天的载人飞行任务后，安全返航，激发了航空模型的购买热潮，某航模店准备采购“神舟”和“天宫”两款航空模型，经调查，每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元，且同样花费300元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多15个． (1)求两款航空模型每个进价分别是多少元？ (2)若航模店欲采购两款航空模型共200个，投入资金不超过2600元，且“天宫”模型的数量不超过160个（购进两款航空模型的数量都是10的整数倍），则该航模店有哪几种购进方案？ (3)在（2）条件下，“神舟”和“天宫”两款航空模型的售价分别是30元/个和15元/个，航模店从200个航空模型中拿出3个航空模型奖励优秀员工，其余航空模型全部售出，仍获利1140元，请直接写出（2）中的购进方案． 26．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）根据以下素材，探索完成任务. 如何设计采购方案？ 素材1 宋曹是明末清初时期的大书法家，字彬臣，又字臣，号射陵，盐城郊区北宋庄人，工书能文，对书法造诣很深．宋曹故居纪念馆位于江苏省盐城市儒学街4号，为了能更好地宣传优秀传统文化以及宋曹的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有宋曹书法手袋、宋曹书签、宋曹书法贴纸等． 素材2 小明在本店购买了3套书签和4套贴纸，一共花费了110元； 小丽在本店购买了5套书签和2套贴纸，一共花费了90元． 问题解决 任务1 确定单价 求购买1套书签和1套贴纸分别需要多少元？ 任务2 探究函数关系 临近期末考试，数学王老师打算提前给学生准备奖品，他准备同时购买书签和贴纸两种商品共20套．设数学王老师准备购买书签x套，总费用为y元，请你求出y与x的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 现要求贴纸的数量不少于13套，应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少元？ 题型5 一次函数与几何综合：求直线解析式 + 面积 / 坐标（解答压轴）（共7小题） 27．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的长； (3)P为直线上一点，，求点P的坐标． 28．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． (1)直接写出点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)点P是直线上一点（不与点重合），当与的面积相等时，求点P的坐标． 29．（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与实践 问题情景： 如图，已知直线与交于点，且点的坐标为． (1)求直线的表达式及点的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 30．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，与直线交于点，其中点的横坐标为． (1)求直线的函数表达式． (2)为直线在第一象限上的一点，连接，．当的面积为时，求出符合条件的点的坐标． (3)为线段上的一点，当时，直接写出符合条件的点的坐标． 31．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与线段交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出点，点，点的坐标； (2)连接，若，求出长度，并计算的面积； (3)若，直接写出点的坐标． 32．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． (1)点的坐标是__________，点的坐标是__________． (2)若点是直线上一点，求直线的解析式． (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（25-26八年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴和y轴交于A、B两点．直线与x轴和y轴分别交于C，D两点，与交于点G，其中且．      (1)求直线的解析式； (2)点P为直线上一个动点，连接，，当时，求点P的坐标； (3)已知点K为直线上的一个动点，若，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 题型6 一次函数与几何综合：存在性问题（等腰 / 直角三角形、平行四边形）（解答压轴）（共15小题） 34．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)F是直线上一点，若，求点F的坐标； (3)点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 35．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)分别求点的坐标； (2)连接求的面积； (3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是，求的面积； (3)在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，请直接写出点H的坐标． 37．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)如图1，求点、两点的坐标； (2)如图2，求直线的表达式； (3)连接，在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（25-26八年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，每一个点的位置都由一个有序数对来表示，直线是所有横坐标等于1的点组成的集合，这条直线是一条与轴平行的直线；同理，直线则是指所有纵坐标等于1的点组成的集合，这条直线是一条与轴平行的直线．作点关于直线的对称点，记为变换；作点关于直线的对称点，记为变换．已知，． (1)点作变换得到，点作变换得到，那么_____． (2)已知点，平面直角坐标系中有一点，将先作变换，再作变换得到点． ①若点在线段上运动，当时，求的坐标． ②若点在射线上运动，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标． 39．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，经过点的直线与x轴交于点C，与正比例函数的图象交于点 (1)求直线和直线的函数的表达式； (2)点D为直线上有一点，如有，请求出点D的坐标； (3)点P是直线上的一点，且知是等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标． 40．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图1，直线交x轴、y轴分别于点A、B，直线与x轴交于点C，与直线交于点D，． (1)求直线的解析表达式； (2)点P为射线上的一点，若，在x轴上存在一点E，使最小，求点E坐标和最小值； (3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点M，y轴上一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点N坐标． 41．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，直线经过点，并且与直线平行，与轴交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)若点是直线上的一个动点，过点分别作轴于，轴于，在四边形上分别截取：，，，，求证：四边形是平行四边形． (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，能使四边形为正方形？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 42．（23-24八年级下·海南海口·期末）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与轴交于点，是线段上的一个动点（与点、不重合），过点作直线轴，交直线于点，连接．设动点的横坐标为． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (4)在线段上存在点，使得四边形是菱形，直接写出此时点的坐标． 43．（23-24八年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，C为y轴正半轴一点，满足． (1)求直线的解析式； (2)x轴负半轴有一点动点D，满足四边形的面积为10，求点D的坐标； (3)点P为直线下方一点，满足以A、B、P为顶点的三角形为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的P点的坐标． 44．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）定义：两个一次函数和(其中k、b为常数，，)互为“守望一次函数”，“守望一次函数”图象的交点称为“守望点”．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴的交点分别为点A和点B． (1)求函数的“守望一次函数”和“守望点”C的坐标； (2)动点P从“守望点”C出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达O处时，停止运动．设的面积为S，运动时间为秒，请直接写出S关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）条件下，当时，点N在坐标轴上，坐标平面内是否存在点M，使得以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 45．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线过点，交轴于点，且为线段的中点． (1)求、的值； (2)点为线段延长线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当时，若点是直线上一点，轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 46．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，． (1)求的面积． (2)C为延长线上的一点，连接，以和为直角边作等腰直角三角形，若，求直线的解析式 (3)点E在坐标平面内，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出符合条件的点E的坐标． 47．（24-25八年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴相交于A、B两点，直线与x轴、y轴相交于C、D两点，与直线l交于点E． (1)求E点的坐标； (2)点P在射线上，使得的面积等于面积的2倍．求出P点的坐标；直线上有两动点G，H（G在H下方），，求的最小值． (3)作点O关于直线的对称点，点M为直线上一动点，在y轴上是否存在一点N，使得是以M为直角顶点的等腰直角三角形．若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 48．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点的坐标为，直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点，且． (1)求点的坐标． (2)求直线的函数解析式，并判断点是否在直线上． (3)在平面直角坐标系内是否存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型7 一次函数与几何综合：交点 / 参数范围、与不等式结合求区域（解答压轴）（共5小题） 49．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)_____，不等式的解集为_____； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 50．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 51．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1) ；不等式的解集为 ， (2)若点在线段上，点在直线上，则的最小值 ． (3)直线上是否存在一点P，使得的面积为6，若不存在请说明理由，若存在请求出P的坐标． 52．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，函数与的图象交于． (1)求出的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)在函数的图象上找一点，使的面积等于面积一半，求出点的坐标． 53．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）如图，已知直线经过点，． (1)若直线与直线相交于点A，求点A的坐标； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)在x轴上有一点P，若的面积为9，求P点的坐标． 题型8 一次函数与几何综合: 全等三角形几何模型+一次函数（解答压轴）（共7小题） 54．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处．则点的坐标为_____．（直接写结果） 【感悟应用】如图2．在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． 【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点．点是函数与轴的交点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 55．（25-26八年级上·广东茂名·期末）【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 56．（25-26八年级上·河南郑州·期末）【全等模型】 如图1，已知在中，，，，，垂足分别为点，．易证：． （1）如图1，若，则_____； 【迁移应用】 （2）已知：如图2，直线的图象与轴、轴分别交于、两点，当的取值变化，点随之在轴正半轴上运动时，在轴右侧过点作，并且，连接，的面积_____（填“会”或“不会”）发生变化？若不变，请直接写出其面积的值；若变，请说明理由； （3）如图3，，，点的坐标为，连接交轴，轴于点，将所在直线绕点旋转得到直线，求直线的函数表达式； 【拓展探究】 （4）如图4，四边形为长方形，其中点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限．若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 57．（25-26八年级上·江西抚州·期末）【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， ①点A坐标为_______；点B坐标为_______； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，则的最小值是_______； （2）如图2，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点．将直线绕点B顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】（3）如图3，直线的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D．点，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 58．（24-25八年级上·河南郑州·期末）【模型呈现】如图1，在中，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作线段且，直线交x轴于点D． ①点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； ②求直线的函数表达式． 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标． 59．（23-24八年级上·江苏常州·月考）建立模型 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用 (1)如图2，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线的表达式； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 60．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：． （1）①如图1，若，则__________； ②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【拓展探究】 （2）如图3，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标． $