专题06 二次根式与勾股定理期末压轴7高频题型60题（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

专题06 二次根式与勾股定理期末压轴7高频题型 题型1 复合二次根式化简（填空压轴） 题型5 立体图形最短路径（几何压轴高频） 题型2 二次根式新定义运算（填空压轴） 题型6 弦图面积（几何压轴高频） 题型3 二次根式裂项求和（填空压轴） 题型7 将军饮马求最值（几何压轴高频） 题型4 勾股定理折叠计算（几何压轴高频） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 复合二次根式化简（共10小题） 1．（25-26八年级下·广东江门·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 2．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 4．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简________． 5．（25-26九年级上·四川遂宁·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 6．（25-26八年级下·四川内江·期中）已知非零实数、满足等式，则的值为_________． 7．（25-26八年级下·山东聊城·开学考试）若一个等腰三角形的两条边长，满足，则这个三角形的周长为________． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为______． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： （1）______； （2）______． 10．（2025·浙江宁波·模拟预测）_______． 题型二 二次根式新定义运算（共10小题） 11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是______． 12．（25-26八年级下·山东德州·期中）对于任意两个实数，，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算=______． 13．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）对于任意两个不相等的正实数，，定义一种新运算“”，即，如，则______． 14．已知a，b都是实数，m为整数，若，则称a与b是关于m的一组“平衡数”．例如：与是关于1的“平衡数”．若，，则与_____________（填“是”或“不是”）关于某数的一组“平衡数”． 15．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：________________． 16．对于任意两个实数，，定义运算“”：若，则；若，则，其他运算符号的意义不变．按照上述定义，计算的值为____________． 17．（2026·四川成都·二模）西汉末年刘歆在制定《三统历》时，使用了一种有趣的算法——“调日法”，它是中国古代独创的加权分数逼近法．某数学兴趣小组借助这一数值调整技巧，通过把一个无理数化成所有分子全是1的“简单连分数”形式，从而得到这个数的近似值．他们把这一类无理数写成“简单连分数”表达形式，如：     因此记为，其中[ ]中的“1”表示的整数部分，[ ]中的“”表示循环节是1，2并无限重复下去；类似地我们可以将的“简单连分数”表达形式记为，其中__________，将的“简单连分数”表达形式记为其中__________． 18．（25-26八年级下·重庆潼南·期中）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且，那么称这个数为“递进数”，将一个“递进数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以；那么_____；如果m，n都是“递进数”，其中，a，b都是正整数），规定：，则的最小正整数值为_____． 19．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是_______；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是______． 20．（24-25八年级上·重庆·期中）任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则______；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为______． 题型三 二次根式裂项求和（共5小题） 21．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）规律探究：设，，，…，则的值为_____． 22．（25-26八年级上·北京房山·期中）已知：，，，， ，其中为正整数，则（）______；（）的值是______． 23．（23-24九年级下·浙江·自主招生）设则不超过的最大整数为______． 24．（24-25八年级上·上海·月考）求值：_____． 25．（25-26八年级上·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 题型四 勾股定理折叠计算（共11小题） 26．（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 27．（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，将长方形纸片沿对折后展开，再沿折叠使点落在折痕上的点处，再将点折至点处，折痕为，点恰为的中点，已知，，则_________． 28．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 29．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则的长为___________． 30．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，中，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，连接． （1）__________； （2）若，，则______． 31．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 32．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 33．（25-26八年级上·山东青岛·期末）折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．一张小小的纸片，通过动手折叠，能够创造出非常奇妙的图形，产生出许多有趣的数学问题．在学习了勾股定理和无理数之后，我们可以用折纸的方式，折出长度为，，等线段．利用一张边长为的正方形纸片，小明进行了如下探究． 探索（1）：如图1，将纸片沿着对角线对折，使得点落到点处；再对折一次，使得点落到点处，将纸片展开，两条折痕交于点，则_____； 探索（2）：如图2，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为；再将纸片折叠，使得点落在上的点处，折痕为，求线段和折痕的长度； 探索（3）：你能折出长度为的线段吗？ 请你在图3中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并说明如何得到该线段； 探索（4）：在探索（2）的基础上，你能折出长度为的线段吗？ 请你在图4中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并写出哪条线段即为所求． 34．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 35．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）定义：若三角形一条边上的高的长度等于这条边长度的倍，则这个三角形叫做“高倍底”三角形，这条边叫做这个三角形的“基底”． (1)概念理解：下列属于“高倍底”三角形的有______；（填序号） ①等边三角形；        ②等腰直角三角形；        ③三边长分别是的三角形． (2)问题探究：如图，是“高倍底”三角形，是“基底”．若，求的长： (3)应用拓展：是“高倍底”三角形，是“基底”，．将沿着边翻折得到，连接．若，且有一条边长为，求的长． 36．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 题型五 立体图形最短路径（共10小题） 37．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到离上底面的点处的食物，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是_____． 38．（25-26八年级上·山西晋中·期末）为筹备文化艺术节，同学们设计了一个圆筒形灯罩装饰会场，然后圆筒壁缠绕红丝线，如图所示：已知圆筒的高为，其横截面圆的周长为，点在点的正上方，过点和点缠绕一圈红丝线，裁剪的红丝线至少（   ）． A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 40．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图是由6个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，最短的距离为______． 41．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是_____．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号） 42．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为_____米．       43．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，一个无盖的长方体盒子的长为，宽为，高为，点离点的距离为．一只蚂蚁如果要沿着该盒子的表面从点爬到点，那么需要爬行的最短路程为___________． 44．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B到点C的距离为，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁需要爬行的最短距离为__________． 45．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 46．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 题型六 弦图面积（共7小题） 47.（25-26八年级上·四川宜宾·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 48．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值为（    ） A．108 B．144 C．72 D．90 49．（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 50．（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 51．（25-26八年级上·上海·期末）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于__________． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于__________． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：__________． （知识补充：如图5，含角的直角三角形，对边：斜边定值．） 52．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个； (2)如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系； (3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________． 53．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）综合与实践 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，被誉为“几何学的基石”．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国家总统（如美国前总统加菲尔德）． 某数学兴趣小组对勾股定理的证明方法也非常感兴趣，对勾股定理的证明进行了以下探究活动： 探究活动一： （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 如图2是美国前总统加菲尔德的证法的图形，梯形面积可以等于___________或___________、___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 探究活动二： （2）受总统证法的启发，数学兴趣小组发现把总统证法中其中一个直角三角形进行平移后拼成一个新的图形（如图3），也可以证明．梯形面积，一种等于___________，另一种等于直角三角形和四边形的面积和，即___________（其中四边形的面积用仅含的代数式表示）（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 数学兴趣小组发现利用两个全等的直角三角形拼成一个合适的图形就可以完成证明，于是想到把赵爽弦图中的四个全等直角三角形中只取其中和拼出四边形（如图4）尝试证明，请你帮助完成证明（简要说理）． 探究活动三： （3）数学兴趣小组通过上述探究活动发现了所拼成的图形中两个直角三角形的两条斜边的位置关系是___________；请你设计一个利用两个全等的直角三角形拼成的合适的图形（与以上如图形不重复），画出图形并简要说理． 题型七 将军饮马求最值（共3小题） 54．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，，，E，F分别是射线，上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．13 55．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是_____． 56．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在等边中，平分，，分别为，上一点，且，连结，．当时，则的最小值是_____． 57．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，分别是边和上的点，已知，，，，当的值最小时，则______． 58．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）是的角平分线，，．设面积为，点，分别在线段，上， （1）如图1，_____． （2）如图2，当取得最小值时，，四边形的面积为______． 59．（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 60．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． $专题06 二次根式与勾股定理期末压轴7高频题型 题型1 复合二次根式化简（填空压轴） 题型5 立体图形最短路径（几何压轴高频） 题型2 二次根式新定义运算（填空压轴） 题型6 弦图面积（几何压轴高频） 题型3 二次根式裂项求和（填空压轴） 题型7 将军饮马求最值（几何压轴高频） 题型4 勾股定理折叠计算（几何压轴高频） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 复合二次根式化简（共10小题） 1．（25-26八年级下·广东江门·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【答案】 【详解】解： . 2．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】 【详解】解：． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 【答案】/ 【详解】解： 4．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简________． 【答案】 【详解】解： ； 故答案为：． 5．（25-26九年级上·四川遂宁·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 【答案】 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级下·四川内江·期中）已知非零实数、满足等式，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：非零实数、满足等式， ， 则， ， 即， ， ， 则． 7．（25-26八年级下·山东聊城·开学考试）若一个等腰三角形的两条边长，满足，则这个三角形的周长为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 当为等腰三角形的腰时，等腰三角形的三边长分别为：，，， ∵，， ∴， ∴不满足三角形三边关系，不能构成三角形； 当为等腰三角形的腰时，等腰三角形的三边长分别为：，，， ∵， ∴满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴这个三角形的周长为． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为______． 【答案】5 【详解】解： 故答案为：5． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： （1）______； （2）______． 【答案】 【详解】解：（1） ； （2）设（为正有理数）， 平方得：， 对比系数得： 尝试，，则，， 解得，， 而， 所以，满足条件， 所以，． 故答案为：（1）；（2）． 10．（2025·浙江宁波·模拟预测）_______． 【答案】2 【详解】解： ． 故答案为：2． 题型二 二次根式新定义运算（共10小题） 11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是______． 【答案】 【详解】解： ． 12．（25-26八年级下·山东德州·期中）对于任意两个实数，，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算=______． 【答案】 【详解】解： ． 13．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）对于任意两个不相等的正实数，，定义一种新运算“”，即，如，则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 14．已知a，b都是实数，m为整数，若，则称a与b是关于m的一组“平衡数”．例如：与是关于1的“平衡数”．若，，则与_____________（填“是”或“不是”）关于某数的一组“平衡数”． 【答案】是 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， 其中为整数，故与是关于的一组“平衡数”． 故答案为：是． 15．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：________________． 【答案】 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ 。 原式 = ． 故答案为：． 16．对于任意两个实数，，定义运算“”：若，则；若，则，其他运算符号的意义不变．按照上述定义，计算的值为____________． 【答案】 【详解】解：化简根式：，，， 计算：由于，根据规则， 计算：由于，根据规则， 整体计算： 故答案为：． 17．（2026·四川成都·二模）西汉末年刘歆在制定《三统历》时，使用了一种有趣的算法——“调日法”，它是中国古代独创的加权分数逼近法．某数学兴趣小组借助这一数值调整技巧，通过把一个无理数化成所有分子全是1的“简单连分数”形式，从而得到这个数的近似值．他们把这一类无理数写成“简单连分数”表达形式，如：     因此记为，其中[ ]中的“1”表示的整数部分，[ ]中的“”表示循环节是1，2并无限重复下去；类似地我们可以将的“简单连分数”表达形式记为，其中__________，将的“简单连分数”表达形式记为其中__________． 【答案】 2 90 【详解】解：对于因为，所以的整数部分， ∴仿照的变形过程： ； 因此，故； 对于因为，所以的整数部分，根据，的规律，可得循环节的第二个数为，因此． 18．（25-26八年级下·重庆潼南·期中）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且，那么称这个数为“递进数”，将一个“递进数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以；那么_____；如果m，n都是“递进数”，其中，a，b都是正整数），规定：，则的最小正整数值为_____． 【答案】 9 【详解】解：，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到， ∴这三个新三位数的和为，， ∴； ∵，a，b都是正整数）， ∴， 同理可得， ∴， ∵满足各个数位上的数字互不相同，且，那么称这个数为“递进数”， m，n都是“递进数”，其中，a，b都是正整数）， ∴，， ∴或， ∴当时，，在中找不到正整数使为整数； 当时，，在中，只有当时，为正整数； ∴的最小正整数值为． 19．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是_______；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是______． 【答案】 1001 【详解】解：∵是蛟龙数，且M满足， ∴， ∴， ∴， ∵蛟龙数最小， ∴， ∴， ∴当时，蛟龙数最小，为； ∵ ， ∴， ∵式子的结果是整数， ∴为完全平方数， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当蛟龙数最大时，，此时只能等于0， ∵， ∴最大为9， ∴， ∴， ∴最大的蛟龙数为：； 故答案为：1001，． 20．（24-25八年级上·重庆·期中）任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则______；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为______． 【答案】 【详解】解：由题意知，，， ∴， 当时，， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或或， 由题意知，当值最大时，的值最大， 当时，最大的值为5，此时，的最大值为； 当时，最大的值为9，此时，的最大值为； 当时，最大的值为4，此时，的最大值为； ∵， ∴满足条件的“十拿九稳数”的最大值为， 故答案为：，． 题型三 二次根式裂项求和（共5小题） 21．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）规律探究：设，，，…，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：∵， ， ， …， ∴ ∴， ∴ ． 故答案为：． 22．（25-26八年级上·北京房山·期中）已知：，，，， ，其中为正整数，则（）______；（）的值是______． 【答案】 【详解】解：（）∵， ∴， ∴ ， 故答案为：； （）∵， ， ， ， ∴， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 23．（23-24九年级下·浙江·自主招生）设则不超过的最大整数为______． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， 不超过的最大整数， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·上海·月考）求值：_____． 【答案】 【详解】解： ， ∴原式 ， 故答案为：． 25．（25-26八年级上·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 【答案】①③④ 【详解】解：①， 故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， 故，故②错误； ③，， ，， ∵，， 故， ∴， 故 即，故③正确； ④， ， ， ， 故 ，故④正确． 故答案为：①③④． 题型四 勾股定理折叠计算（共11小题） 26．（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【答案】 【详解】解：∵将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，， ∴，， ∴， ∵再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 27．（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，将长方形纸片沿对折后展开，再沿折叠使点落在折痕上的点处，再将点折至点处，折痕为，点恰为的中点，已知，，则_________． 【答案】20 【详解】解：过点作于，则四边形是长方形， ∴，． ∵长方形纸片沿对折， ∴． ∵， ∴． ∵沿折叠使落在处， ∴． ∵，，， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴． ∵沿折叠使落在处，为中点， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 【答案】 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 29．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：由折叠可知，，； ∵点，点， ∴， 则； ∵点，则， ∴； 设，则， 在中，， 即 解方程得：，即． 30．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，中，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，连接． （1）__________； （2）若，，则______． 【答案】 45 【详解】（1）∵边沿翻折，点A落在上的点处， ∴，即． 由翻折可知，， 又∵，即， ∴，即， 故答案为：45； （2）在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， 根据折叠可知，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 31．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 32．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 【详解】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：∵长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处． ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即． 33．（25-26八年级上·山东青岛·期末）折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．一张小小的纸片，通过动手折叠，能够创造出非常奇妙的图形，产生出许多有趣的数学问题．在学习了勾股定理和无理数之后，我们可以用折纸的方式，折出长度为，，等线段．利用一张边长为的正方形纸片，小明进行了如下探究． 探索（1）：如图1，将纸片沿着对角线对折，使得点落到点处；再对折一次，使得点落到点处，将纸片展开，两条折痕交于点，则_____； 探索（2）：如图2，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为；再将纸片折叠，使得点落在上的点处，折痕为，求线段和折痕的长度； 探索（3）：你能折出长度为的线段吗？ 请你在图3中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并说明如何得到该线段； 探索（4）：在探索（2）的基础上，你能折出长度为的线段吗？ 请你在图4中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并写出哪条线段即为所求． 【详解】解：（1）在中，， ∴， 由折叠的性质可得； （2）由折叠的性质可得， ， ，， ∵， ∴，， ∴； 同理可得， ∵， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）如图3所示，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为，连接，则线段即为所求； （4）如图4所示，折叠将纸片沿过对边中点的直线对折，折痕为，再把纸片继续对折，折痕为，使得点H落在点T处，连接，则线段即为所求． 34．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 【答案】(1)①10；② (2)12 【详解】（1）解：①∵， ∴． ②由折叠得：， ∴， ∴． 在中，， ∴，解得：， ∴的长为． （2）解：设，则． ∵是边上的高， ∴． 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴． 35．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）定义：若三角形一条边上的高的长度等于这条边长度的倍，则这个三角形叫做“高倍底”三角形，这条边叫做这个三角形的“基底”． (1)概念理解：下列属于“高倍底”三角形的有______；（填序号） ①等边三角形；        ②等腰直角三角形；        ③三边长分别是的三角形． (2)问题探究：如图，是“高倍底”三角形，是“基底”．若，求的长： (3)应用拓展：是“高倍底”三角形，是“基底”，．将沿着边翻折得到，连接．若，且有一条边长为，求的长． 【答案】(1)③ (2) (3)或 【详解】（1）解：如图所示，等边三角形，过点作于点， ∴，， ∴， 在中，， ∴，不符合“高倍底”三角形的定义，故等边三角形不是“高倍底”三角形； 如图所示，等腰直角三角形，，过点作于点，则， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，不符合“高倍底”三角形的定义，故等腰直角三角形不是“高倍底”三角形； 三边长分别是的三角形， ∵， ∴该三角形是直角三角形， 如图所示，， ∴是边的高，且， ∴三边长分别是的三角形符合“高倍底”三角形的定义，是“高倍底”三角形； 故选：③； （2）解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，，即， 解得，， ∵是“高倍底”三角形，是“基底”， ∴， ∴， ∴， 在中，； （3）解：如图所示， ∵将沿着边翻折得到，连接，延长交于点，过点作延长线于点， ∴垂直平分， ∴， ∵是“高倍底”三角形，是“基底”，， ∴， ∴， 第一种情况，当时， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，当时，则， ∴， 在中，， 同理，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 36．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，最大值为 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （2）解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 题型五 立体图形最短路径（共10小题） 37．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到离上底面的点处的食物，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是_____． 【答案】13 【详解】解：把题中的圆柱沿着点所在的母线剪开，其展开图为一个矩形，如图所示： 由图根据勾股定理得：， 故需爬行的最短距离为． 38．（25-26八年级上·山西晋中·期末）为筹备文化艺术节，同学们设计了一个圆筒形灯罩装饰会场，然后圆筒壁缠绕红丝线，如图所示：已知圆筒的高为，其横截面圆的周长为，点在点的正上方，过点和点缠绕一圈红丝线，裁剪的红丝线至少（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：圆柱的侧面展开图如图所示： 由题意可知，，， 在直角中，， 由“两点之间，线段最短”可知，即为最短路径， ∴裁剪的红丝线至少． 故选：B． 39．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求最短彩条长， 由题意得，，， 由勾股定理得， 同理可得， ∴， 即：所用彩条最短长度是41． 40．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图是由6个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，最短的距离为______． 【答案】 【详解】解：∵6个棱长为的小正方体所搭建的几何体， ∴这个几何体的长是，宽是，高是， ①经过前面和右边 ②经过上面和右边 ③经过前面和下边 ∵ 故答案为：. 41．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是_____．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号） 【答案】 【详解】解：先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则， 所以， 根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程， 在中，，根据勾股定理得， 故答案为：． 42．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为_____米．       【答案】 【详解】解：如图： 根据题意可得柱身高为米，底面周长为米， 有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，米， 米， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为米． 故答案为：． 43．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，一个无盖的长方体盒子的长为，宽为，高为，点离点的距离为．一只蚂蚁如果要沿着该盒子的表面从点爬到点，那么需要爬行的最短路程为___________． 【答案】25 【详解】解：由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是25， 故答案为：25． 44．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B到点C的距离为，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁需要爬行的最短距离为__________． 【答案】25 【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 把长方体的下表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25． 45．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是 46．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 题型六 弦图面积（共7小题） 47.（25-26八年级上·四川宜宾·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 【答案】B 【详解】解：如图所示，设，交于点M ∵，，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴得， ∴ ∴正方形的面积． 故选：B． 48．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值为（    ） A．108 B．144 C．72 D．90 【答案】A 【详解】解：用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，， 则， 故，，， 故， 故选：A． 49．（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 【详解】（1）解：梯形的面积为，梯形面积也等于， ∴， ∴， ∵左边：， ∴； （2）解：∵，千米，千米，， ∴设千米， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴新路比原路少千米； （3）解：如图所示， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为24或84． 50．（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【详解】（1）解：证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴， 故答案为：、、． （2）解：①∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ． ②∵， ∴，， ∴， ， 故， 化简得． （3）解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：， 故答案为：． 51．（25-26八年级上·上海·期末）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于__________． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于__________． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：__________． （知识补充：如图5，含角的直角三角形，对边：斜边定值．） 【答案】（1）；（2）19；（3）；（4） 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：； （2）根据题意得 ， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． 故答案为：19； （3）如图， ， 根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； （4）． 理由：设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的边a上的高为． 由图可知大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， 即， ∴． 52．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个； (2)如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系； (3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________． 【详解】（1）解：设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c， 在图1中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； 在图2中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； 在图3中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； ∴满足的有3个， 故答案为：3； （2）证明：∵的边长为、面积为， ∴， ∵的边长为、面积为， ∴， ∵的边长为、面积为， ∴， 在中，， ∴； （3）解：如图，由题意得：，，是直角三角形，，且，为正数， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， 设， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：（负值已舍去）， 将代入，得：， ∴， 令，则， 解得：（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 53．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）综合与实践 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，被誉为“几何学的基石”．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国家总统（如美国前总统加菲尔德）． 某数学兴趣小组对勾股定理的证明方法也非常感兴趣，对勾股定理的证明进行了以下探究活动： 探究活动一： （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 如图2是美国前总统加菲尔德的证法的图形，梯形面积可以等于___________或___________、___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 探究活动二： （2）受总统证法的启发，数学兴趣小组发现把总统证法中其中一个直角三角形进行平移后拼成一个新的图形（如图3），也可以证明．梯形面积，一种等于___________，另一种等于直角三角形和四边形的面积和，即___________（其中四边形的面积用仅含的代数式表示）（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 数学兴趣小组发现利用两个全等的直角三角形拼成一个合适的图形就可以完成证明，于是想到把赵爽弦图中的四个全等直角三角形中只取其中和拼出四边形（如图4）尝试证明，请你帮助完成证明（简要说理）． 探究活动三： （3）数学兴趣小组通过上述探究活动发现了所拼成的图形中两个直角三角形的两条斜边的位置关系是___________；请你设计一个利用两个全等的直角三角形拼成的合适的图形（与以上如图形不重复），画出图形并简要说理． 【详解】解：（1）； 梯形面积为：或或， 故答案为：；或或； （2）一种等于，另一种等于； 如图，连接，， 则或， ，， ， ， 即， ， ，即； （3）两斜边互相垂直，理由如下： 如图，拼成，延长交于H,连接， 设， 则， 又， ， 整理得． 题型七 将军饮马求最值（共3小题） 54．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，，，E，F分别是射线，上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】D 【详解】解：如图所示：作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，， 则，， ∴， 当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为， 根据对称的性质可知：，，，，， ∴，， ∴是直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 55．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是_____． 【答案】5 【详解】解：在上取一点，使，连接，交于E， ∵是的平分线， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴，当C、E、共线时取等号， ∴的最小值为的长， 在等腰直角中，，， ∴， ∴， 由勾股定理，得． ∴的最小值是5． 故答案为：5． 56．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在等边中，平分，，分别为，上一点，且，连结，．当时，则的最小值是_____． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使，连接、， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三个点在同一直线上时，的值最小，即有最小值，最小值为， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 57．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，分别是边和上的点，已知，，，，当的值最小时，则______． 【答案】 【详解】解：如图，过作，且，点在下方，连接，交于点，过点作，交延长线于点， ∴，，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴当为最小值时，为最小， 根据“两点之间线段最短”可得，当三点共线时，有最小值，此时与重合，如图， ∴，， ∴， ∵， ∴当的值最小时，， 故答案为：． 58．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）是的角平分线，，．设面积为，点，分别在线段，上， （1）如图1，_____． （2）如图2，当取得最小值时，，四边形的面积为______． 【答案】 【详解】解：如图1，过点作边上的高， ∵是的角平分线， ∴到的距离相等，设为， ∴ 故答案为：． 如图2，作于点，交于点，连接、， ∵是的角平分线， ， ，， ， ，， 垂直平分， ， ， 当点落在上且时，的值最小， 此时如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵，． ∴， 在中，， 即的最小值为8， 同理可得， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 59．（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 【答案】(1)①见解析；②千米 (2)20 【详解】（1）解：①如图，点P即为所求作的点； ②设千米，则千米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （2）解：如图，，先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设，则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 60．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)10 (2)①；② 【详解】（1）如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． （2）解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． $