17.2　平行四边形的判定 同步练习 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 本同步练以“平行四边形的判定”为核心，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，覆盖判定定理及三角形中位线知识点，从概念巩固到动态探究，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|判定定理（边、角、对角线）及中位线概念|以填空题（1-5题）直接考查定义，强化符号意识| |技能应用|判定方法的直接应用与简单推理|典例及变式（如考点1、2）结合尺规作图，培养几何直观| |综合拓展|多知识点综合与动态问题|含动态探究（8题）、跨知识证明（14题），发展推理能力与创新意识|

17.2　平行四边形的判定 1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 5．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 考点1　平行四边形的判定(边角判定) 【典例1】根据所标数据，不能判断下列四边形ABCD是平行四边形的是( C ) 解析：A.∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； B．∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； C．∵∠ACB＝∠DAC＝40°，∴AD∥BC. ∵AB＝CD，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意； D．∵∠ACB＝∠CAD＝40°，∴AD∥BC. ∵∠ABD＝∠BDC＝35°，∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意． 从线段关系找出对角线和边的对应关系，从角度确定线与线之间的位置关系，解答要点是熟练掌握平行四边形的判定方法． 【变式训练】 1．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝CD，添加下列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B) A．AB＝AC B．∠ABD＝∠BDC C．OB＝OD D．AC⊥BD 考点2　平行四边形的判定(痕迹判定) 【典例2】如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连结BC，DC.可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( B ) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 解析：由作图，知BC＝AD，CD＝AB， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故判定四边形ABCD为平行四边形的条件是两组对边分别相等． 从尺规作图描述中抽象线段之间的数量关系，进而利用边的关系确定平行四边形的判定方法． 【变式训练】 2．如图，在△ABC中，∠B＝52°，分别以点A、C为圆心，BC、AB的长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连结AD、CD，则∠D的度数是(D) A．32° B．38° C．48° D．52° 知识点1　平行四边形的判定 1．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是(D) A．对角线互相平分 B．一组对边平行且相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行，另一组对边相等 2．下面给出的是四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是(D) A．2∶3∶4∶5 B．3∶3∶4∶4 C．4∶3∶3∶4 D．4∶3∶4∶3 3．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连结AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连结CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 4．如图，在四边形ABCD中，EF交AC于点O，分别交CD、AB于点E，F；若OE＝OF，OA＝OC，且DE＝FB.猜想：四边形ABCD的形状？并说明理由． 四边形ABCD是平行四边形． 理由如下： 如图，连结AE，CF. ∵OE＝OF，OA＝OC， ∴四边形AFCE是平行四边形． ∴EC∥AF，EC＝AF， 又∵DE＝FB， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 5．如图，在▱ABCD中，AF、CE分别是∠BAD、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD. ∵AF，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线， ∴∠EAF＝∠BAF＝∠BAD， ∠FCE＝∠DCE＝∠BCD， ∴∠EAF＝∠FCE＝∠BAF＝∠DCE. 又∠AEC＝∠D＋∠DCE， ∠AFC＝∠B＋∠BAF， ∴∠AEC＝∠AFC， ∴四边形AFCE是平行四边形． 知识点2　三角形中位线 6．如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC、BC的中点M、N，并步测出MN长约为42米，由此可知A、B间的距离约为多少米(C) A．21 B．42 C．84 D．90 易错易混点　信息整合混乱导致解答错误 7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，甲、乙、丙三位同学判定其为平行四边形的说法如下：甲：若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形； 乙：若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则四边形ABCD是平行四边形； 丙：若AB＝CD，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形． 关于甲、乙、丙三位同学的说法，下列正确的是(C) A．仅甲、乙正确 B．仅乙、丙正确 C．仅甲、丙正确 D．甲、乙、丙均正确 甲：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故甲正确；乙：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AD∥BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故乙不正确；丙：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故丙正确． 8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，M是BC上一点，且BM＝9 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是(D) A． B．3 C．3或 D．或 ∵AD∥BC，∴①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，此时有t＝9＋3t－12，解得t＝，②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，此时有t＝12－9－3t，解得t＝，综上所述，t＝或时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 9．如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E、F，连结BE、FD，请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形DFBE为平行四边形，你添加的条件是DE＝BF(答案不唯一)． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为． 如图，当BC为四边形BECD对角线， 且DE⊥AC时，DE的值最小． 设DE交BC于点O，连结AO，作BH⊥AC于点H. ∵四边形BDCE是平行四边形， ∴BO＝CO. ∵BC＝6，AB＝AC＝5， ∴AO⊥BC，∴BO＝CO＝BC＝3. 在Rt△AOB中，OA＝＝＝4. ∵·AC·BH＝·BC·AO， 即·5·BH＝×6×4， ∴BH＝. ∵BH⊥AC，DE⊥AC， ∴BH∥DE.∵BE∥DH， ∴四边形BHDE是平行四边形， ∴DE＝BH＝. 11．已知，如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF. 求证：四边形BEDF是平行四边形． 连结BD，与AC交于点O，如图所示． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO. 又∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF， ∴EO＝FO，∴四边形BEDF为平行四边形． 12．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是对角线AC上任意两点，且满足AF＝CE，连结DF、BE，若DF＝BE，DF∥BE.求证： (1)△AFD≌△CEB； (2)四边形ABCD是平行四边形． (1)∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF. 在△ADF和△CBE中， ∴△AFD≌△CEB. (2)由(1)知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC， ∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形． 13．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF. (1)试说明AC＝EF； (2)求证：四边形ADFE是平行四边形． (1)∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC， 又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB＝2AF，∴AF＝BC， 在Rt△AFE和Rt△BCA中， ∴Rt△AFE≌Rt△BCA，∴AC＝EF. (2)∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC＝60°，AC＝AD， ∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°，∴AD⊥AB. 又∵EF⊥AB，∴EF∥AD， ∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形． 【母题P103T7】如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连结EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形． 如图，连结BD. ∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点， ∴EH为△ABD的中位线， ∴EH∥BD，EH＝BD. 同理，可得FG∥BD，FG＝BD， ∴EH∥FG，EH＝FG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 【变式】点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 如图，连结AC. ∵点E、F分别是四边形ABCD的边AB、BC的中点， ∴EF∥AC，EF＝AC. 同理，可得HG∥AC，HG＝AC， ∴EF∥HG，EF＝HG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 14.(推理能力)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连结EB并延长，使BF＝BE，连结EC并延长，使CG＝CE，连结FG、AF.H为FG的中点，连结DH. (1)求证：四边形AFHD为平行四边形； (2)若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数． (1)∵BF＝BE，CG＝CE， ∴B、C分别为EF、EG的中点． ∴BC为△FEG的中位线，∴BC∥FG，BC＝FG. 又∵H是FG的中点， ∴FH＝FG，∴BC＝FH. 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD∥FH，AD＝FH， ∴四边形AFHD是平行四边形； (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB＝∠DCB. ∵CE＝CB，∴∠BEC＝∠EBC＝75°， ∴∠BCE＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－75°－75°＝30°， ∴∠DCB＝∠DCE＋∠BCE＝10°＋30°＝40°， ∴∠DAB＝40°. 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.2　平行四边形的判定 1．两组对边分别 的四边形是平行四边形． 2．两组对边分别 的四边形是平行四边形． 3．一组对边 且 的四边形是平行四边形． 4．对角线 的四边形是平行四边形． 5．三角形的中位线 于第三边，且 第三边的一半． 考点1　平行四边形的判定(边角判定) 【典例1】根据所标数据，不能判断下列四边形ABCD是平行四边形的是( ) 从线段关系找出对角线和边的对应关系，从角度确定线与线之间的位置关系，解答要点是熟练掌握平行四边形的判定方法． 【变式训练】 1．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝CD，添加下列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是( ) A．AB＝AC B．∠ABD＝∠BDC C．OB＝OD D．AC⊥BD 考点2　平行四边形的判定(痕迹判定) 【典例2】如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连结BC，DC.可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( ) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 从尺规作图描述中抽象线段之间的数量关系，进而利用边的关系确定平行四边形的判定方法． 【变式训练】 2．如图，在△ABC中，∠B＝52°，分别以点A、C为圆心，BC、AB的长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连结AD、CD，则∠D的度数是( ) A．32° B．38° C．48° D．52° 知识点1　平行四边形的判定 1．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是( ) A．对角线互相平分 B．一组对边平行且相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行，另一组对边相等 2．下面给出的是四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是( ) A．2∶3∶4∶5 B．3∶3∶4∶4 C．4∶3∶3∶4 D．4∶3∶4∶3 3．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连结AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连结CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 ． 4．如图，在四边形ABCD中，EF交AC于点O，分别交CD、AB于点E，F；若OE＝OF，OA＝OC，且DE＝FB.猜想：四边形ABCD的形状？并说明理由． 5．如图，在▱ABCD中，AF、CE分别是∠BAD、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形． 知识点2　三角形中位线 6．如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC、BC的中点M、N，并步测出MN长约为42米，由此可知A、B间的距离约为多少米( ) A．21 B．42 C．84 D．90 易错易混点　信息整合混乱导致解答错误 7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，甲、乙、丙三位同学判定其为平行四边形的说法如下：甲：若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形； 乙：若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则四边形ABCD是平行四边形； 丙：若AB＝CD，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形． 关于甲、乙、丙三位同学的说法，下列正确的是( ) A．仅甲、乙正确 B．仅乙、丙正确 C．仅甲、丙正确 D．甲、乙、丙均正确 8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，M是BC上一点，且BM＝9 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是( ) A． B．3 C．3或 D．或 9．如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E、F，连结BE、FD，请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形DFBE为平行四边形，你添加的条件是 ． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为 ． 11．已知，如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF. 求证：四边形BEDF是平行四边形． 12．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是对角线AC上任意两点，且满足AF＝CE，连结DF、BE，若DF＝BE，DF∥BE.求证： (1)△AFD≌△CEB； (2)四边形ABCD是平行四边形． 13．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF. (1)试说明AC＝EF； (2)求证：四边形ADFE是平行四边形． 【母题P103T7】如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连结EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形． 【变式】点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 14.(推理能力)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连结EB并延长，使BF＝BE，连结EC并延长，使CG＝CE，连结FG、AF.H为FG的中点，连结DH. (1)求证：四边形AFHD为平行四边形； (2)若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $