17.2 第3课时 平行四边形的性质与判定的综合运用-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

EH=FG.∴.四边形EFGH是平行四边形.10.(1)选择①或②，证明如下： 选择①，∠B=∠AED,BC∥DE.,AB∥CD,∴.四边形BCDE为平行 四边形；选择②，，AE=BE,AE=CD,..BE=CD.AB∥CD,.四边形 BCDE为平行四边形；(2)由(1)可知，四边形BCDE为平行四边形，∴.DE= BC=10..AD⊥AB,.∠A=90°.∴.AE=DE-AD=√/102-82=6，即 线段AE的长为6.11.解：四边形ABCD为平行四边形，.PD∥BQ.若 要以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形，则PD=BQ.当5<1< 时，AP=tcm,PD=(10-t)cm,BQ=(30-4t)cm,.10-t=30-4t.解得t =20 3当5<1≤10时AP=1cm,PD=(I0-)cm,BQ=(4t-30)cm, 2 -1=-30.解得1=8.综上所述，当1的值为号或8时，以P,D,Q,B为顶 点的四边形是平行四边形. 第2课时平行四边形的判定定理3 知识储备 互相平分 基础练 1.B2.对角线互相平分的四边形是平行四边形3.74.(1)证明：，四边 形ABCD为平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD..E,F分别是OA,OC的中 点OE=2OA,OF=2OC.∴OE-OF又OB=OD,四边形DEBF是 平行四边形.(2)证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB= OD.:E.F,G,H分别是OA,0B,0C,0D的中点0E=20A.0G=号 1 OC,OF=OB,OH=OD.“OE=OG,OF=OH.“四边形EFGH是平 行四边形.5.证明：连结AC交BD于点O,,四边形ABCD是平行四边 形，∴，AO=CO,BO=DO.又BE=DF,.BE-BO=DF-DO,即EO=FO. 又AO=CO,.四边形AECF是平行四边形.6.D7.对角线互相平分的 四边形是平行四边形8.证明：：AO=CO,OE=OF,∠AOE=∠COF, ∴.△AOE≌△COF(SAS)..∠OAE=∠OCF..AD∥BC.∴.∠EDO= /FBO.又OE=OF,/EOD=/FOB,..△EOD≌△FOB(AAS)..OB OD.,OA=OC,.四边形ABCD是平行四边形.9.证明：，四边形AB CD是平行四边形，，∴.AD∥BC,OA=OC...∠OAE=∠OCF,OEA= ∠OFC.∴.△AOE≌△COF(AAS).∴.OE=OF.G是OA的中点，H是 OC的中点，.OG=2OA,OH=2OC..OG=OH.∴.四边形EGFH是平 行四边形.10.证明：延长AC到点N,使CN=CF,连结FN,延长CA到 点M,使AM=AE,连结EM.,PA+AE=CP+CF,∴.PA+AM=PC+ CN.即PM=PN,又PE=PF,∠EPA=∠CPF,∴.△PEM≌△PFN. ∴.∠M=∠N.又EA=MA,CF=CN,∴.∠M=∠MEA,∠N=∠CFN, :'∠EAP=∠M+∠MEA,∠PCF=∠N+∠CFN,∴.∠EAP=∠FCP. 又EP=FP,∠EPA=∠FPC,∴.△PEA≌△PFC.∴.PA=PC,同理可证 △PDA≌△PBC.∴.PD=PB.又PA=PC,∴.四边形ABCD为平行四边形. 第3课时平行四边形的性质与判定的综合运用 基础练 1.A2.D3.D4.2cm5.证明：，□ABCD,∴.AO=CO,BO=DO .AE=CF.BG=DH,..AO-AE=OC-CF,BO-BG=OD-DH.OE =OF,OG=OH.∴.四边形EGFH是平行四边形..GF∥HE. 6.证明：，四边形ABCD为平行四边形，.AD∥BC,∠BAD=∠BCD. :AE,CF分别平分∠BAD和∠BCD,·∠BCG=号∠BCD,∠HAD=号 ∠BAD..∴.∠BCG=∠HAD.又AD∥BC,,'.∠HAD=∠AHB..∠BCG =∠AHB..AE∥CF.又AF∥CE..四边形AECF是 M 平行四边形.7.解：(1)如图所示，直线EF即为所求； (2)证明：四边形ABCD是平行四边形..AD∥BC., ∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO.,EF是BD的垂直 平分线，.OB=OD.在△DEO和△BFO中， ∠DEO=∠BFO ∠EDO=∠FBO,,.△DEO≌△BFO(AAS).,∴.DE=BF.'四边形AB DO-BO. CD是平行四边形，.AD=BC,.AD-DE=BC-BF,.AE=CF.8.(1) 证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴.DC∥AB.∴.MC∥AN.:AM BD,CN⊥BD,∴AM∥CN.∴.四边形CMAN是平行四边形；(2)解：，四边 形CMAN是平行四边形，∴.CM=AN.,四边形ABCD是平行四边形， DC=AB,DC∥AB..DM=BN,∠MDE=∠NBF.在△MDE和△NBF MDE=NBF, 中，∠DEM=∠BFN=90°，∴.△MDE≌△NBF(AAS).∴.DE=BF=4. DM=BN. .∠BFV=90°，.BN2=BF2+NF2=4+32=25.∴.BN =5.9.证明：连结AC交BD于点O.四边形ABCD 是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD,AB=CD,AB∥CD. .∠ABM=∠CDN.,AE⊥BD,CF⊥BD,.∠AEB= ∠CFD=90°.∴.∠ABM+∠BAE=90°，∠CDN+∠DCF =90°..∠BAE=∠DCF.:AM与CN分别是∠BAE与∠DCF的平分 ∠BAM=∠DCN, 线，∴.∠BAM=∠DCN,在△ABM和△CDN中，AB=CD, ∠ABM=∠CDN, ∴.△ABM≌△CDN(ASA)..BM=DN.∴.OM=ON.又OA=OC,∴.四边 形AMCN是平行四边形.10.解：1)6-，(2)在口ABCD中，AD/BC CD=AB=3,∴.∠DPC=∠BCP.CP平分∠BCD,∴.∠BCP=∠DCP. ∠DPC=∠DCP.DP=DC=3.6-=3.t=6;(3):以P,D.Q, B为顶点的四边形是平行四边形，BQ∥PD,∴.PD=BQ.当点Q没有到达点 B时，6-=6-2,1=0（不合题意含去）当点Q到达点B后，返回时， 6-=2-6.∴：=酷：当点Q到达点C后返回时6-号=3×6-2 1=8:当点Q第二次到达点B后，6-4=21一6X3.1想综上所述：d 的值为号或8或 第4课时三角形的中位线 知识储备 1.中点2.平行 -半DE∥BC.DE=号BC 基础练 1.C2.D3.94.25.66.B7.B8.证明：D,E,F分别是△ABC 的边AB,BC,AC的中点EF∥AB,EF=AB,AD=专AB.EF业 AD.∴.四边形ADEF是平行四边形.9.A10.120° 11.证明：连结ME,MF,NE,NF.E,M分别是AD,BD 的中点ME/AB,ME=号AB.同理可得FN/AB,FN =?AB,ME∥FN,ME=FN.“四边形EMFN是平行 四边形..EF与MN互相平分.12.(1)证明：连结BD,取BD的中点O, 连结OE,Or.在△ABD中，E,O分别是AD,BD的中点∴OE=号AB,OE ∥AB.∴∠OEF=∠BMR.同理可证：OF=CD,∠OFN=∠CNF .∠BMF=∠CNF,∴.∠OFN=∠OEF.∴.OE=OF.∴.AB=CD.(2)2.5 微专题三构造三角形的中位线巧解题 1.6.52.613.D 方法技巧专题（四）平行四边形判定方法的选择 1.证明：，DE⊥AC,BF⊥AC,∴.∠DEC=∠AFB=90°.在Rt△DEC和Rt △BFA中，SP=AR,R△DEC≌Rt△BFA(H.∠DCA=∠BAC 19第3课时 平行四边形 01基础练 曼必各如识杭理一 知识点平行四边形性质与判定的综合运用 1.【教材P96例4变式】四边形ABCD中，∠A =∠C,∠B=∠D,则下列结论不一定正确的 是 () A.∠A=∠B B.AD∥BC C.AB=CD D.对角线互相平分 2.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是 边BC,AD上的点，下列条件中，不能得出四 边形AECF一定为平行四边形的是() A.AE∥CF D B.BE=FD C.∠1=∠2 D.AE=CF 3.如图，在□ABCD中，点E,F分别在边BC, AD上，连结AE,CF,AC,EF,AC与EF相 交于点O,则添加下列条件后，不能使四边形 AECF成为平行四边形的是 A.BE=DF B.AE∥CF C.OE=OF D.AF-AE 4.如图，四边形ABCD的面 D 积为8cm,AB∥CD, AB=CD,E是AB的中 点，那么△AEC的面积是 5.【教材P109复习题T14变式】如图，□ABCD 的对角线AC,BD交于点O,E,F在AC上， G,H在BD上，且AE=CF,BG=DH. 求证：GF∥HE. 65八年级数学·下册·HS 的性质与判定的综合运用 6.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD 和∠BCD的平分线AE,CF分别交DC,BA 的延长线于点E,F,交边BC,AD于点H,G. 求证：四边形AECF是平行四边形. 7.如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的 一条对角线， (1)尺规作图：作BD的垂直平分线EF,分别 交AD,BC,BD于点E,F,O(不写作法； 保留作图痕迹)； (2)在(1)的图形中，连结BE,DF,求证： AE=CF. 02综合练 拿关键能力捉升一 8.如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线， 过A,C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别 为E,F,延长AE,CF分别交CD,AB于M,N. (1)求证：四边形CMAN是平行四边形； (2)已知DE=4,FN=3,求BN的长 D M 9.【教材P103习题T2变式】如图，BD是 □ABCD的对角线，AE⊥BD,CF⊥BD,垂 足分别为E,F,AM与CN分别是∠BAE与 ∠DCF的平分线，AM交BE于点M,CN交 DF于点N,连结AN,CM 求证：四边形AMCN是平行四边形. 03素养练 手李科老养给有一 10.如图①，在☐ABCD中，AB=3, AD=6.动点P沿AD边以每秒 号个单位长度的速度从点A向终 点D运动，设点P运动的时间为t(t>0)秒 图① 图② (1)线段PD的长为 (用含t的代 数式表示)； (2)当CP平分∠BCD时，求t的值； (3)如图②，另一动点Q以每秒2个单位长 度的速度从点C出发，在CB上往返运 动，P,Q两点同时出发，当点P停止运 动时，点Q也随之停止运动.当以P,D, Q,B为顶点的四边形是平行四边形时， 求t的值. 解题妙招 动点问题的求解方法： 解决动点问题的基本思路是变“动”为“静”， 用“静”去理解“动”.要在掌握平行四边形判定条 件的基础上，根据已知的一个条件，再找一个合适 的条件，使四边形成为平行四边形，此外还应注意 分类讨论思想的应用，如T10(3) 助学助教优质高数66