第七章 条件概率与全概率公式单元复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学讲义以“条件概率与全概率公式”为核心，通过层级化知识梳理构建体系，先阐述条件概率的概念、推导及乘法公式，再延伸至全概率公式与贝叶斯公式，结合性质归纳与方法提炼，用目录和题型分类呈现知识脉络，突出公式间的逻辑联系与应用重点。 讲义亮点在于“方法引领+情境化题型”设计，如求条件概率的定义法与古典概型法，全概率公式“分解事件-求概率-代入计算”三步应用，例题“家庭孩子血型概率”“两次取球模型”培养数学思维与模型观念，基础选择填空与综合解答题兼顾不同层次学生，助力教师实施精准复习教学。

第七章 条件概率与全概率公式 目录 题型1：求条件概率 3 题型2：全概率公式的应用 8 1. 条件概率 (1) 条件概率的概念 一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率. 推导 根据古典概型知识可知，. (2) 概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则. 提醒 只有在事件，相互独立时，. (3) 条件概率的性质 ①条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即. ②若事件与互斥，即不可能同时发生，则. ③如果与互斥，则. ④设和互为对立事件，则. 2. 全概率公式与贝叶斯公式 (1) 全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，此公式为全概率公式. (2) 贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意事件，，有 题型1：求条件概率 方法提炼 求条件概率的常用方法 (1) 利用定义，分别求和，得. 借助古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，即，得. 【例1.1.】 设为两个随机事件，已知，则__________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】计算条件概率 【分析】条件概率公式计算即可得. 【详解】根据条件概率公式 ，代入已知， 得：. 由条件概率公式 ，变形得， 代入， 得：. 【例1.2.】 一个家庭有两个孩子，其血型为、、、型之一（假设等可能）．已知其中一个孩子是型血，则另一个孩子也是型血的概率为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】先计算出样本空间数，然后计算出至少有一个型血孩子的概率，再计算出两个孩子为型血的概率，最后使用条件概率得出结果. 【详解】由题意可得总样本空间为种， 令E事件为至少一个型血孩子， F事件为两个孩子都为型血，则F事件只有1种，故 E事件有，共7种情况，故 因此. 【例1.3.】 已知，，且A，B相互独立，则（     ） A．0.3 B．0.9 C．0.18 D．0.6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【详解】A，B相互独立，， ， ， ． 【例1.4.】 已知事件与相互独立，且，，以下四个命题中正确的个数是（    ） ①；②互斥；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】概率的基本性质、判断所给事件是否是互斥关系、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】对于独立事件与，，判断与是否互斥，只需判断是否为，由条件概率公式可得，. 【详解】因为事件与相互独立，且，， ，①正确； 若互斥，则，不符，②错误； ， ，③正确； ，④正确. 【例1.5.】 （多选）已知随机事件，均包含于必然事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、条件概率性质的应用 【分析】根据条件概率公式，变形求解，可判断A、D的正误；根据概率加法公式，可判断B的正误，根据概率的范围，结合二次函数的性质，可判断C的正误； 【详解】选项A：由条件概率公式得，故A错误； 选项B：由概率加法公式得， 因为，所以， 则，故B正确； 选项C：， 所以，则， 令，， 则， 因为，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当或时，才有， 但，， 无法确定是否为0及是否等于，故D错误. 【例1.6.】 某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试．应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)估计此次测试分数的平均值； (2)试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？ (3)从成绩在与范围内的两组中，按比例分层抽取7人．现从此7人中随机抽取两人，已知抽取的两人中至少有1人的成绩在的范围内，求这两人的成绩都在范围内的概率． （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）． 【答案】(1)55 (2)160，63分应聘者成绩进入范围内，72分应聘者成绩没有进入范围内 (3) 【难度】0.68 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图估计平均数、计算条件概率、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】（1）利用给定的频率分布直方图估计平均数. （2）利用频率分布直方图及方差的定义估计方差，再进行判断. （3）利用条件概率公式求解. 【详解】（1）各组的频率依次为0.15，0.2，0.3，0.2，0.15， 所以此次测试分数的平均值. （2）依题意， 因此，，而， 所以63分应聘者成绩进入范围内，72分应聘者成绩没有进入范围内. （3）在内抽人，在内抽人， 设“抽取的两人成绩均在内”为事件A，则“抽取的两人成绩至少一人在内” 为事件，设“抽取的两人成绩均在范围内”为事件B，， 则，，， 所以. 题型2：全概率公式的应用 方法提炼 (1) 利用全概率公式的思路 ①按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件()； ②求和所求事件在各个互斥事件发生条件下的概率； ③代入全概率公式计算. (2) 利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用； 第三步：代入求解. 【例2.1.】 盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】先计算第一次分别抽出红球、黑球、白球的概率，对应三种互斥的事件，针对第一次抽球的每种结果，计算对应情况下第二次抽出红球的条件概率，结合全概率公式求得最终结果. 【详解】从盒中任取1球，是红球记为，黑球记为，白球记为， 则，，彼此互斥，设第二次抽出的是红球记为事件B， 则，，，，，， . 【例2.2.】 设，，，则_____． 【答案】/ 【难度】0.82 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据对立事件及全概率公式求解． 【详解】，， 则． 【例2.3.】 已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球.小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球.小明第二次摸到白球的概率为________；当小明第二次摸到白球时，第一次摸到黑球的概率为_________. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式以及贝叶斯公式即可解答. 【详解】设为“第一次摸到黑球”，为“第一次摸到白球”，为“第二次摸到白球”， 则, 若第一次摸到黑球（放回），第二次摸到白球的概率为， 若第一次摸到白球（不放回），第二次摸到白球的概率为， 由全概率公式，可得. 小明第二次摸到白球时，第一次摸到黑球的概率为 . 【例2.4.】 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件． (1)求的值： (2)求（用表示）． 【答案】(1) (2) 【难度】0.45 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，结合全概率公式可得，进而构造等比数列求解即可. 【详解】（1）因为，， ， 所以由全概率公式得： ． （2）设，依题意可知：，则 ， 即， 构造等比数列，设，解得， 则， 又，，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，． 所以 【例2.5.】 已知事件和满足，，，则______． 【答案】/ 【难度】0.75 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率、利用对立事件的概率公式求概率 【详解】由，所以，得. 所以， 又， 所以. 【例2.6.】 （多选）甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】利用事件概率判定A；设取黑球事件求出对应概率，借助条件概率公式分别算出两种情况下的条件概率，用全概率公式求得判断C；算出判定B；,最后由贝叶斯公式算出确定D正确. 【详解】对于选项A，由题意可知：，故选项A正确； 对于选项C，因为表示事件“从甲罐取出的球是红球”，设表示事件“从甲罐取出的球是黑球”，可得，， 当事件发生时，乙罐中有个红球，个黑球，故； 当事件发生时，乙罐中有个红球，个黑球，故 所以，故选项C错误； 对于选项B，结合上述分析可得，，故选项B错误； 对于选项D，结合选项C可得，，故选项D正确． 【例2.7.】 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第i次命中目标”（）．已知，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】分析第二次命中的两种情况，利用全概率公式，结合已知条件求出；再利用全概率公式，结合已知条件求出． 【详解】由全概率公式，第二次命中的概率由“第一次命中”和“第一次未命中”两种情况决定： ， ，， 由，当时，， 由，当时，， ， 第三次命中的概率由“第二次命中”和“第二次未命中”两种情况决定： ， ，， 由，当时，， 由，当时，， ． 【例2.8.】 芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”，根据题意，第一个空，利用全概率公式，由求解，第二个空，利用贝叶斯公式求解； 【详解】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的， 所以， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，不合格率分别为， 所以不合格率分别为， 现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为： ， ； 由贝叶斯公式得：， 故答案为：， 【例2.9.】 某潮玩店推出了“数学家盲盒”，分为典藏盒和经典盒两种：典藏盒中有6个玩偶，其中2个隐藏款，4个常规款；经典盒中有8个玩偶，其中1个隐藏款，7个常规款．已知店里进货时，典藏盒占总量的，经典盒占总量的． (1)若随机挑选一个盒子，顾客从中任取2个玩偶，求恰好抽到1个隐藏款的概率； (2)顾客随机购买两个盲盒，从每个盒子中各抽取1个玩偶． （i）求恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，且抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率； （ii）如果顾客抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款，求他购买的是一个典藏盒、一个经典盒的概率． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【难度】0.6 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）分别求出选到典藏盒和选到经典盒任取2个玩偶恰好抽到1个隐藏款的概率，利用全概率公式求解； （2）（i）先求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒的概率，然后求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒的条件下，抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，最后计算求解；（ii）分别求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，购买到两个典藏盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，购买到两个经典盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，然后利用贝叶斯公式求解. 【详解】（1）设事件分别为选到典藏盒、经典盒，事件为任取2个玩偶恰好抽到1个隐藏款， ，， 所以. （2）（i）设事件为恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，事件为两个玩偶中只有1个隐藏款， ， ， 所以. （ii）设事件为购买到两个典藏盒，事件为购买到两个经典盒， ， ， 所以. ， ， 所以. ， . 【例2.10.】 某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7与0.9．已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9． (1)求仪器的不合格率； (2)如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大． 【答案】(1) (2)一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大 【难度】0.56 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）首先确定事件构成完备事件组，计算出各的值，再根据已知的条件概率，应用全概率公式求和得到； （2）基于（1）中求得的和各，应用贝叶斯公式分别计算出，对比后得出不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大. 【详解】（1）记事件“仪器不合格”，“仪器上有个部件不是优质品”，. 显然，，，构成一个完备事件组，且，， ，，， ， ，． 应用全概率公式，有 ． （2）应用贝叶斯公式，有. ， ， ． 从计算结果可知，一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大． 【例2.11.】 ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权.设甲，乙发出ACE球的概率均为，记事件表示“第n次发球的人是甲”． (1)若，， （i）求； （ii）已知第三次发球的人是甲，求第二次发球的人是甲的概率； (2)若，证明： 【答案】(1)（i）（ii） (2)证明见解析 【难度】0.48 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）（i）由第一次发球是甲得第二次发球是乙的情况列方程求解， （ii）根据条件概率求出及，再由全概率公式求出，代入贝叶斯公式求解； （2）根据全概率公式得到和的关系式，结合已知条件证得. 【详解】（1）（i）因为，， 所以. （ii）第二次发球的人是甲的条件下，第三次发球的人是甲的概率为， 第二次发球的人是乙的条件下，第三次发球的人是甲的概率为， 第三次发球的人是甲的概率是， 第三次发球的人是甲，第二次发球的人是甲的概率为. （2）， 因为，， 所以， 因为，， 所以，. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 条件概率与全概率公式 目录 题型1：求条件概率 3 题型2：全概率公式的应用 4 1. 条件概率 (1) 条件概率的概念 一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率. 推导 根据古典概型知识可知，. (2) 概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则. 提醒 只有在事件，相互独立时，. (3) 条件概率的性质 ①条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即. ②若事件与互斥，即不可能同时发生，则. ③如果与互斥，则. ④设和互为对立事件，则. 2. 全概率公式与贝叶斯公式 (1) 全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，此公式为全概率公式. (2) 贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意事件，，有 题型1：求条件概率 方法提炼 求条件概率的常用方法 (1) 利用定义，分别求和，得. 借助古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，即，得. 【例1.1.】 设为两个随机事件，已知，则__________. 【例1.2.】 一个家庭有两个孩子，其血型为、、、型之一（假设等可能）．已知其中一个孩子是型血，则另一个孩子也是型血的概率为__________． 【例1.3.】 已知，，且A，B相互独立，则（     ） A．0.3 B．0.9 C．0.18 D．0.6 【例1.4.】 已知事件与相互独立，且，，以下四个命题中正确的个数是（    ） ①；②互斥；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【例1.5.】 （多选）已知随机事件，均包含于必然事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.6.】 某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试．应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)估计此次测试分数的平均值； (2)试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？ (3)从成绩在与范围内的两组中，按比例分层抽取7人．现从此7人中随机抽取两人，已知抽取的两人中至少有1人的成绩在的范围内，求这两人的成绩都在范围内的概率． （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）． 题型2：全概率公式的应用 方法提炼 (1) 利用全概率公式的思路 ①按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件()； ②求和所求事件在各个互斥事件发生条件下的概率； ③代入全概率公式计算. (2) 利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用； 第三步：代入求解. 【例2.1.】 盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是_____． 【例2.2.】 设，，，则_____． 【例2.3.】 已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球.小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球.小明第二次摸到白球的概率为________；当小明第二次摸到白球时，第一次摸到黑球的概率为_________. 【例2.4.】 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件． (1)求的值： (2)求（用表示）． 【例2.5.】 已知事件和满足，，，则______． 【例2.6.】 （多选）甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（    ） A． B． C． D． 【例2.7.】 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第i次命中目标”（）．已知，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例2.8.】 芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 【例2.9.】 某潮玩店推出了“数学家盲盒”，分为典藏盒和经典盒两种：典藏盒中有6个玩偶，其中2个隐藏款，4个常规款；经典盒中有8个玩偶，其中1个隐藏款，7个常规款．已知店里进货时，典藏盒占总量的，经典盒占总量的． (1)若随机挑选一个盒子，顾客从中任取2个玩偶，求恰好抽到1个隐藏款的概率； (2)顾客随机购买两个盲盒，从每个盒子中各抽取1个玩偶． （i）求恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，且抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率； （ii）如果顾客抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款，求他购买的是一个典藏盒、一个经典盒的概率． 【例2.10.】 某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7与0.9．已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9． (1)求仪器的不合格率； (2)如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大． 【例2.11.】 ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权.设甲，乙发出ACE球的概率均为，记事件表示“第n次发球的人是甲”． (1)若，， （i）求； （ii）已知第三次发球的人是甲，求第二次发球的人是甲的概率； (2)若，证明： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $