7.1条件概率与全概率公式讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

选择性必修第三册第七章 随机变量及其分布 条件概率与全概率公式 1、 知识构建 知识点一　条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 知识点二　概率乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则为概率的乘法公式． 知识点三　条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1. (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 知识点四．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n， 则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，我们称这个公式为全概率公式． 二、类型归纳 类型一 条件概率的定义及计算 类型二 条件概率的性质及应用 类型三 利用全概率公式求概率 类型四 条件概率和全概率公式的综合问题 2、 类型应用 【例1】（23-24高二下·天津北辰·期中）已知，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】因为, 所以. 故选：C. 【跟踪训练1-1】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算条件概率 【分析】直接根据条件概率公式求解可得结果. 【详解】由， 故选：B 【例2】（24-25高二下·全国·课后作业）若，，则 ． 【答案】/ 【知识点】计算条件概率 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以． 故答案为： 【跟踪训练2-1】（24-25高二下·天津·阶段练习）已知，，则 . 【答案】/ 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 【跟踪训练2-2】（24-25高二下·湖南娄底·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】由， 则. 故选：A. 【跟踪训练2-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，且相互独立，则（    ） A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解 【答案】A 【知识点】条件概率性质的应用、独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的定义可得. 【详解】相互独立，， ． 故选：A. 【跟踪训练2-4】（24-25高二下·江西吉安·阶段练习）某学校办公室数学教师和英语教师的人数之比为5:3，其中数学教师中女教师占0.75，从中任选一位教师代表本办公室参加会议，则女数学教师被选到的概率是 ． 【答案】 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】设表示选到的教师是数学教师，用表示选到的是女教师， 则，，而设女数学教师被选到的概率是， 由条件概率公式得． 故答案为：. 【例3】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】根据条件概率公式进行计算. 【详解】设第一次取到白球为事件，则， 设第二次取到白球为事件，则， 所以. 故选：B 【跟踪训练3-1】（22-23高二下·北京延庆·期中）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式直接求解即可. 【详解】记事件A为“甲地下雨”，事件B为“乙地下雨”， 则， 所以. 故选：A. 【跟踪训练3-2】（23-24高二下·山东泰安·期末）已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为 ． 【答案】/0.5 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题，求得，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回， 设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题， 则，， 所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为. 故答案为：. 【跟踪训练3-3】（24-25高二下·天津·阶段练习）已知在10件产品中有2件次品，现从中任取两次，每次取一件，取后不放回.已知第一次取到的是正品，则第二次取到次品的概率为 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】设“第一次取到的是正品”，“第二次取到的是次品”，由已知根据条件概率的计算公式求解即可. 【详解】设“第一次取到的是正品”，“第二次取到的是次品”， 因为，， 所以. 故答案为：. 【例4】（23-24高二下·北京·期中）投掷一枚质地均匀的骰子两次，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】分别写出事件和事件包含的基本事件，由条件概率计算公式得到. 【详解】记事件，包含的基本事件数是，，，共3个基本事件， 事件，包含的基本事件数是，，共2个基本事件， 所以． 故选：D. 【跟踪训练4-1】（23-24高二下·天津河东·期中）某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示： 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【分析】运用条件概率公式求解即可. 【详解】设事件表示选到团员，事件表示选到男生，则． 故选：A. 【跟踪训练4-2】（24-25高二上·广西桂林·阶段练习）某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中有男生的条件下，另一人恰好是女生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】运用条件概率公式，结合古典概型，组合和组合数公式计算即可. 【详解】记“派出的2人中有男生”为事件A，“另一人恰好是女生”为事件. 则. 故选：C. 【跟踪训练4-3】（23-24高二下·天津滨海新·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】由条件概率公式、古典概型概率公式求解即可. 【详解】由条件概率公式、古典概型概率公式可知，所求为. 故选：B. 【跟踪训练4-4】（23-24高二下·天津·期中）为了组建一支志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，设事件为“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件为“抽取的3人中至少有一名女志愿者”，则 . 【答案】 【知识点】计算条件概率 【分析】利用条件概率公式即可求解. 【详解】，， 所以. 故答案为：. 【跟踪训练4-5】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知某班级中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜欢长跑的有10人，男生中喜欢长跑的有8人.现从这个班级中随机抽出一名学生，思考如下问题： (1)求所抽到的学生喜欢长跑的概率； (2)若已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】（1）根据古典概型的概率公式可得； （2）根据条件概率公式可得. 【详解】（1）由题意共有30个学生，喜欢长跑的有18人， 设“所抽到的学生喜欢长跑”为事件，则. 故所抽到的学生喜欢长跑的概率为 （2）设“所抽到的学生为男生”为事件，则由题意，, 故， 即已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率为 【例5】（24-25高二下·陕西渭南·开学考试）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球. (1)求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率. (2)求第二次才取到红球的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用条件概率的定义并结合古典概型即可得到答案； （2）利用条件概率公式即可. 【详解】（1）若第一次取出红球，此时袋中有3个红球，5个白球， 则第二次取出红球的概率为. （2）用表示第次取到红球， 则第二次才取到红球的概率为. 【跟踪训练5-1】（24-25高二下·全国·课后作业）若，，，则 ； . 【答案】 /0.22 /0.55 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】由对立事件、条件概率计算公式即可求解； 【详解】因为，所以， 所以， ， 所以. 故答案为：0.22； 【跟踪训练5-2】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知随机事件，则 . . 【答案】 / / 【知识点】计算条件概率、条件概率性质的应用 【分析】求出和，由概率的乘法公式和条件概率公式，可得结果. 【详解】由概率的乘法公式得， 因为，，则， 所以由条件概率公式得， 故答案为：； 【跟踪训练5-3】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）对于随机事件，若，，，则 . 【答案】 【知识点】计算条件概率、条件概率性质的应用 【分析】利用条件概率公式得到，从而. 【详解】，又， 所以， 因为，所以. 故答案为： 【跟踪训练5-4】（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用 【分析】根据可得，再根据可得，结合求解即可. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 故选：A 【例6】（2025·湖北·模拟预测）小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（   ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.21 【答案】A 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式计算即可得到结果. 【详解】由全概率公式可得，小孟一家去游乐园的概率为， 故选：A. 【跟踪训练6-1】假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为 ． 【答案】0.85/ 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式求解． 【详解】由题意可知，这个灯泡是合格品的概率为． 故答案为：0.85． 【跟踪训练6-2】（24-25高二上·江西赣州·期末）某工厂有甲，乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为0.9，乙车间生产的产品合格率为0.85，若将两车间的产品混合堆放在一起且甲、乙车间的产品数量比例为，现从中随机取出一件产品，则取出的产品是合格品的概率为（   ） A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式求解. 【详解】设“从甲车间中随机取出一件产品”，“从乙车间中随机取出一件产品”， “从车间中随机取出一件产品是合格品”， 则， 所以， 故选：C 【跟踪训练6-3】（23-24高二下·天津滨海新·期末）天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为2∶1∶1，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为 ． 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】直接由全概率公式即可求解. 【详解】由全概率公式可知，所求概率为. 故答案为：. 【跟踪训练6-4】（23-24高二下·天津·期中）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，丙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据条件，利用对立事件的概率公式及全概率公式，即可求出结果. 【详解】由题知，产品是次品的概率是， 故选：D. 【跟踪训练6-5】（23-24高二下·北京顺义·期中）从甲地到乙地共有、、三条路线可选择，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，若李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵车的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.9 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式计算可得. 【详解】依题意李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，即选择、、路线的概率均为， 又选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为， 所以堵车的概率. 故选：B 【例7】（24-25高二上·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（   ） A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12 【答案】A 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件“第1天去甲餐厅用餐”，“第1天去乙餐厅用餐”， “第2天去甲餐厅用餐”，与互斥． 依题意得，，． 由全概率公式，得 ， 故选：A 【跟踪训练7-1】（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（   ） A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0.25 【答案】A 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】应用全概率公式求答对题目的概率. 【详解】由题意，令表示会做，表示选对，则，且， 所以. 故选：A 【跟踪训练7-2】（23-24高二下·天津·期中）为丰富学生的课余活动，学校举办“书香临夏、悦享阅读”的读书朗诵比赛．已知参加比赛的男同学与女同学人数比是3∶2，其中有的男同学和的女同学擅长中华诗词朗诵，现随机选一位同学，这位同学恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（    ） A．0.28 B．0.24 C．0.26 D．0.30 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由题意转化为全概率公式，即可求解. 【详解】设事件为选到一位男同学，事件为选到一位女同学， 事件位擅长中华诗词朗诵， 则，，，, 所以， . 故选：B 【跟踪训练7-3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率是（    ） A．0.08 B．0.15 C．0.1 D．0.9 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式，即可求解. 【详解】设电动车为甲厂生产为事件，电动车为乙厂生产为事件，电动车为丙厂生产为事件，电动车为次品为事件， 则，，且，， 则 . 故选：C 【跟踪训练7-4】（23-24高二下·天津·期末）甲､乙两个箱子中各装有8个球，其中甲箱中有4个红球，4个白球，乙箱中有6个红球，2个白球.A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是 .同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子中随机摸出1个球，如果点数为，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么B同学摸到红球的概率为 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】分析可知3个球颜色不全相同，则有2红1白或1红2白两种情况，根据古典概型分析求解；设相应事件，根据题意可知相应的概率，利用全概率公式运算求解. 【详解】若A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同，则有2红1白或1红2白两种情况， 所以3个球颜色不全相同的概率为； 记“一枚质地均匀的骰子，点数为1或2”为事件，“B同学摸到红球”为事件， 则， 所以. 故答案为：；. 【例8】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，，则（    ） A．0.25 B．0.37 C．0.33 D．0.47 【答案】D 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由全概率公式即可求解； 【详解】由，可得 所以：． 故选：D 【跟踪训练8-1】（23-24高二下·天津河西·期中）某公司有甲、乙两家餐厅，小李第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，则小李第二天去乙家餐厅的概率为 ． 【答案】/0.3 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】先将事件用字母表示出来，再利用条件概率和全概率公式即可解决. 【详解】解：设A1＝“第1天去甲餐厅用餐“，B1＝“第1天去乙餐厅用餐”，A2＝“第2天去甲餐厅用餐”，B 2＝“第2天去乙餐厅用餐”， 根据题意得，,. 则，，则， 则，则. 由全概率公式得：， 即 ∴小李第二天去乙家餐厅的概率为． 故答案为：． 【跟踪训练8-2】（24-25高二下·全国·课后作业）设某仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，，. (1)现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率； (2)若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是甲厂生产的概率为 . 【跟踪训练8-3】（24-25高二下·湖北荆门·阶段练习）现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.第一次先从Ⅰ号袋内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)求第二次取1号球的概率； (2)若第二次取到1号球，求它取自编号为Ⅰ口袋的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）由古典概型的概率计算，利用全概率公式，可得答案； （2）利用条件概率，可得答案. 【详解】（1）记事件表示第一次取到i号球，，表示第二次取到1号球， 依题意，，两两互斥，其和为Ω，并且 ，，，，， 应用全概率公式，有. （2）依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上号码相同. 则. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修第三册第七章 随机变量及其分布 条件概率与全概率公式 1、 知识构建 知识点一　条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 知识点二　概率乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则为概率的乘法公式． 知识点三　条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1. (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 知识点四．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n， 则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，我们称这个公式为全概率公式． 二、类型归纳 类型一 条件概率的定义及计算 类型二 条件概率的性质及应用 类型三 利用全概率公式求概率 类型四 条件概率和全概率公式的综合问题 2、 类型应用 【例1】（23-24高二下·天津北辰·期中）已知，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1-1】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二下·全国·课后作业）若，，则 ． 【跟踪训练2-1】（24-25高二下·天津·阶段练习）已知，，则 . 【跟踪训练2-2】（24-25高二下·湖南娄底·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，且相互独立，则（    ） A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解 【跟踪训练2-4】（24-25高二下·江西吉安·阶段练习）某学校办公室数学教师和英语教师的人数之比为5:3，其中数学教师中女教师占0.75，从中任选一位教师代表本办公室参加会议，则女数学教师被选到的概率是 ． 【例3】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3-1】（22-23高二下·北京延庆·期中）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练3-2】（23-24高二下·山东泰安·期末）已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为 ． 【跟踪训练3-3】（24-25高二下·天津·阶段练习）已知在10件产品中有2件次品，现从中任取两次，每次取一件，取后不放回.已知第一次取到的是正品，则第二次取到次品的概率为 . 【例4】（23-24高二下·北京·期中）投掷一枚质地均匀的骰子两次，记，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4-1】（23-24高二下·天津河东·期中）某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示： 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4-2】（24-25高二上·广西桂林·阶段练习）某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中有男生的条件下，另一人恰好是女生的概率是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练4-3】（23-24高二下·天津滨海新·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4-4】（23-24高二下·天津·期中）为了组建一支志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，设事件为“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件为“抽取的3人中至少有一名女志愿者”，则 . 【跟踪训练4-5】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知某班级中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜欢长跑的有10人，男生中喜欢长跑的有8人.现从这个班级中随机抽出一名学生，思考如下问题： (1)求所抽到的学生喜欢长跑的概率； (2)若已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率. 【例5】（24-25高二下·陕西渭南·开学考试）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球. (1)求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率. (2)求第二次才取到红球的概率. 【跟踪训练5-1】（24-25高二下·全国·课后作业）若，，，则 ； . 【跟踪训练5-2】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知随机事件，则 . . 【跟踪训练5-3】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）对于随机事件，若，，，则 . 【跟踪训练5-4】（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【例6】（2025·湖北·模拟预测）小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（   ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.21 【跟踪训练6-1】假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为 ． 【跟踪训练6-2】（24-25高二上·江西赣州·期末）某工厂有甲，乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为0.9，乙车间生产的产品合格率为0.85，若将两车间的产品混合堆放在一起且甲、乙车间的产品数量比例为，现从中随机取出一件产品，则取出的产品是合格品的概率为（   ） A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88 【跟踪训练6-3】（23-24高二下·天津滨海新·期末）天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为2∶1∶1，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为 ． 【跟踪训练6-4】（23-24高二下·天津·期中）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，丙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练6-5】（23-24高二下·北京顺义·期中）从甲地到乙地共有、、三条路线可选择，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，若李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵车的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.9 【例7】（24-25高二上·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（   ） A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12 【跟踪训练7-1】（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（   ） A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0.25 【跟踪训练7-2】（23-24高二下·天津·期中）为丰富学生的课余活动，学校举办“书香临夏、悦享阅读”的读书朗诵比赛．已知参加比赛的男同学与女同学人数比是3∶2，其中有的男同学和的女同学擅长中华诗词朗诵，现随机选一位同学，这位同学恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（    ） A．0.28 B．0.24 C．0.26 D．0.30 【跟踪训练7-3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率是（    ） A．0.08 B．0.15 C．0.1 D．0.9 【跟踪训练7-4】（23-24高二下·天津·期末）甲､乙两个箱子中各装有8个球，其中甲箱中有4个红球，4个白球，乙箱中有6个红球，2个白球.A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是 .同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子中随机摸出1个球，如果点数为，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么B同学摸到红球的概率为 . 【例8】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，，则（    ） A．0.25 B．0.37 C．0.33 D．0.47 【跟踪训练8-1】（23-24高二下·天津河西·期中）某公司有甲、乙两家餐厅，小李第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，则小李第二天去乙家餐厅的概率为 ． 【跟踪训练8-2】（24-25高二下·全国·课后作业）设某仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，，. (1)现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率； (2)若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率. 【跟踪训练8-3】（24-25高二下·湖北荆门·阶段练习）现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.第一次先从Ⅰ号袋内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)求第二次取1号球的概率； (2)若第二次取到1号球，求它取自编号为Ⅰ口袋的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$