专题03中心对称与三角形中位线易错必刷题型专项训练(12大题型共计37道题)2025-2026学年湘教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦中心对称与三角形中位线高频易错点，通过典题特征与易错点提炼，构建从概念辨析到综合应用的系统性训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中心对称|8题型（含对称判定、作图等）|区分中心对称与轴对称，强调对应点连线验证；对称中心确定需双组对应点连线交点|从图形识别到性质应用，再到规律探究，形成完整认知链| |三角形中位线|4题型（含中位线计算、中点四边形等）|中位线定理应用（平行关系、长度关系）；中点四边形形状由原四边形对角线性质决定|从基础计算到证明及实际应用，层层递进，强化空间观念|

专题03中心对称与三角形中位线易错必刷题型专项训练 本专题汇总中心对称与三角形中位线章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.成中心对称 题型02.绘制关于某点的中心对称图形 题型03.画两个图形的对称中心 题型04.利用中心对称的性质求解 题型05.中心对称图形的识别 题型06.判断中心对称图形的对称中心 题型07.方格纸中补画中心对称图形 题型08.中心对称图形规律问题 题型09.三角形中位线求解问题 题型10.三角形中位线证明问题 题型11.三角形中位线实际应用 题型12.中点四边形 易错必刷题型01.成中心对称 典题特征：判断两个图形是否关于某点成中心对称；根据中心对称找对应点/边/角。 易错点：①误将“旋转180°重合”理解为“翻转重合”，混淆中心对称与轴对称的判定标准；②找对应点时，未验证“对应点连线经过对称中心且被对称中心平分”，直接凭视觉判断。 1．如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、绕点旋转后，能够与原图形重合，故成中心对称，符合题意； B、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； C、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； D、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 2．如图，在中，是的中点，与关于点成中心对称，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】此题考查了中心对称图形的性质，直接利用中心对称图形的性质得出四边形是平行四边形，进而即可得出答案，得出四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】解：∵是的中点，与关于点成中心对称， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，再根据中点的坐标特点求出x、y的值，找出循环的规律即可得出点的坐标． 【详解】解：设， 点、、，点关于的对称点为， ，， 解得，， ． 同理可得，，，，，，，， 每个操作循环一次． ∵， 点的坐标与相同． 故选：B． 【点睛】本题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键． 4．如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心对称． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．证明得，，即可得证． 【详解】证明：点与点关于点中心对称， 是线段的中点，即， ， ， 在与中， ， ， ，， 点A与点F关于点E成中心对称． 易错必刷题型02.绘制关于某点的中心对称图形 典题特征：给定图形与对称中心，画出其中心对称图形。 易错点：①画对应点时，未用刻度尺测量，导致对应点到对称中心的距离不相等；②漏画部分顶点的对称点，或连线顺序错误，导致图形形状改变。 5．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是___． 【答案】（0，0） 【分析】画出图形，探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图，由题意，，，， 发现3次一个循环， ∵， ∴的坐标与的坐标相同，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查图形规律及画中心对称图形，解题的关键是根据题意提取出图形规律． 7．如图，正方形网格中已画出了一个四边形和两个三角形，并给定了点．请你画出与这三个图形关于点成中心对称的图形． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 将图形的一个顶点与点连线并延长相同长度找它的对应点；然后依次找到其他各点的对应点，顺次连接得中心对称图形． 【详解】解：如图所示的即为这三个图形关于点成中心对称的图形． 易错必刷题型03.画两个图形的对称中心 典题特征：给定两个成中心对称的图形，画出对称中心。 易错点：①仅连接一组对应点取中点，未连接两组对应点验证中点重合，导致中心找错；②连线时未使用直尺，导致中点位置判断偏差。 8．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于点对称的图形的特点，关于一个点对称的两个图形的对应点连线交于一点，据此求解即可． 【详解】解：∵关于某点对称的两个图形的对应点连线交于一点， ∴若与关于某个点对称，则这个点是点， 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，据此解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图，． 故答案为：． 10．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，与关于点O成中心对称，与的顶点均在格点上． (1)请在图中直接画出点O； (2)将绕点C顺时针旋转得到，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称、旋转作图： （1）连接与的两组对称点，交点即为点O； （2）利用格点找出点A，B绕点C顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，即为所求． 易错必刷.题型04.利用中心对称的性质求解 典题特征：利用中心对称的对应边、对应角、对应线段关系求长度/角度。 易错点：①误用“对应边平行”作为核心性质，忽略中心对称的本质是“对应点连线被对称中心平分”；②未找准对应边/对应角，导致计算时用错数据。 11．如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键． 根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E， ∵直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故选：B 12．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及中心对称的性质是解题的关键． 先求出及的长，进一步得出及的长，据此求出的长，最后用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形，O为的中点，， ∴，． 在中， ． ∵与关于点B中心对称， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 13．如图，在中，，对角线相交于点O，．点P从A点出发沿方向匀速运动，速度为1，连接并延长交于点Q，设点P的运动时间为t（）． (1)当______时，； (2)当四边形的面积为面积的时，求t的值； (3)是否存在某一时刻t，使点O在线段的垂直平分线上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或0.7 (2) (3)存在， 【分析】（1）当时，由中心对称知，，，当时， 由，得 ，当，不平行时，过O作于点H，由的面积可得，得，由，得，可得 （2）过点O作于点H，知，由得，由，得，解得 （3）由线段垂直平分线性质得，由 ，，可得，可得时点O在线段的垂直平分线上． 【详解】（1）解：当时， ∵是中心对称图形， ∴， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 由中心对称知，， ∴， ∵点P匀速运动的速度为1，运动时间为t， ∴， ∵， ∴； 当，不平行时， 过O作于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或0.7 （2）过点O作于点H， 由（1）知，， ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 （3）若点O在线段的垂直平分线上， 则为的垂直平分线， ∴， 由（1）知，，， 在中， ∴， 解得或（舍去） ∴时，点O在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查平行四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形的判定与性质，中心对称性质，勾股定理，三角形面积公式，线段垂直平分线性质，是解题的关键． 易错必刷题型05.中心对称图形的识别 典题特征：判断常见图形（线段、平行四边形、正多边形等）是否为中心对称图形。 易错点：①误将正奇数边形（如正三角形、正五边形）判定为中心对称图形，忽略其旋转180°无法与自身重合；②混淆“中心对称图形”与“两个图形成中心对称”的概念。 14．未来将是一个可以预见的时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，图标是中心对称图形的是（     ） A．豆包 B． C．讯飞星火 D．智谱清言 【答案】B 【详解】解：A、不是中心对称图形； B、是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、不是中心对称图形. 15．如图，已知与关于点对称，过点任意作直线分别交、于点、，下列结论中，正确的有_____________个． （1）点和点；点和点是关于点的对称点； （2）直线必经过点； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和成中心对称 【答案】/五 【分析】本题考查了中心对称的性质、平行四边形的判定与性质，由题意可得，，从而可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得点就是平行四边形的对称中心，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与关于点对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴点就是平行四边形的对称中心， ∴（1）点和点；点和点是关于点的对称点，说法正确； （2）直线必经过点，说法正确； （3）四边形是中心对称图形，说法正确； （4）四边形和四边形的面积相等，说法正确； （5）和成中心对称，说法正确； 综上所述，正确的个数为个， 故答案为：． 16．中国高端装备已从产品出口升级为技术+标准+产能+服务+资本的全链条出海，覆盖轨交、工程机械、能源、航空、船舶、军工、工业母机等核心赛道，是中国制造向中国智造转型的标杆．以下四家中国高端装备企业的品牌图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A．中国中铁 B．中国铁建 C．中国交建 D．中国中车 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 易错必刷题型06.判断中心对称图形的对称中心 典题特征：给定中心对称图形，找出其对称中心。 易错点：①误将图形的顶点、边中点当作对称中心，未通过“两组对应点连线的交点”验证；②对于复合中心对称图形，漏找对称中心或找错位置。 17．函数，关于M中心对称，则M的坐标为 ______． 【答案】 【分析】设，将函数变形为，根据函数的特点求出，找出与的关系即可． 【详解】解：设， ∴ 即， ∴， ， ∴， 即， ∴关于成中心对称， ∴点M的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查成中心对称的函数的对称中心，要求某个函数的对称中心，只要看函数否满足．掌握证明函数图象关于某点中心对称的证明方法即可． 18．如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的图形的对称中心，掌握两组对应点连线的交点即是对称中心是解题的关键． 根据对称中心的确定方法即可解答． 【详解】解：如图，连接，它们的相交点，即为对称中心．    则线段与线段的对称中心为点I． 故选：C． 19．如图，的对角线相交于点O，E，F在直线上，且． (1)四边形是否是中心对称图形？请说明理由； (2)四边形的对称中心是什么？ 【答案】(1)四边形是中心对称图形，理由见解析 (2)对称中心是点O 【分析】本题考查的是中心对称的知识，平行四边形的判定与性质，掌握中心对称图形的概念是解题的关键。 （1）根据平行四边形的性质，证明四边形是平行四边形，即可作答； （2）根据平行四边形的对称中心是对角线的交点得到答案． 【详解】（1）解：四边形是中心对称图形，理由如下： ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是中心对称图形； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， 则四边形的对称中心是点O． 易错必刷题型07.方格纸中补画中心对称图形 典题特征：在方格纸中补全图形，使其成为中心对称图形。 易错点：①数方格时出错，导致对应点位置偏移，破坏中心对称关系；②未先确定对称中心，直接补画图形，导致整体不对称。 20．如图，在的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的三角形有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示：即为所求，      则这样的有个． 故选：B． 21．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 【答案】3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 22．图1和图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，且均有两个小正方形涂上了颜色． (1)请你在图1中选择1个小正方形涂上颜色，使图中的涂色部分为中心对称图形． (2)请你在图2中选择3个小正方形涂上颜色，使图中的涂色部分为中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，中心对称图形，解题的关键是理解中心对称图形的定义． （1）根据题目要求以及中心对称图形的定义画出图形即可； （2）根据题目要求以及中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：图形如图1所示．（答案不唯一） （2）解：图形如图2所示．（答案不唯一） 易错必刷题型08.中心对称图形规律问题 典题特征：根据一组中心对称图形的排列，找第n个图形的特征或数量规律。 易错点：①仅观察图形外观，未从“对称中心位置”“旋转角度”等本质特征找规律；②计算第n个图形时，未验证前几项，导致通项公式错误。 23．已知点与点关于对称，则？指的是（    ） A．1 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【分析】根据中心对称的性质：对称中心是对称点连线的中点即可得到答案； 【详解】解：∵点与点关于对称， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称的性质，解题的关键是对称中心是对称点连线的中点． 24．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出坐标按照，，，四个为一个循环，再利用规律求解即可． 【详解】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 25．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化，图形的旋转，要熟练掌握中心对称的两点坐标变化规律，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【详解】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， ，，，，， 的横坐标是， 当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是． 故答案为：． 易错必刷题型09.三角形中位线求解问题 典题特征：已知三角形两边中点或第三边长度，求中位线长、周长、面积。 易错点：①记错中位线定理，误将中位线长度记为第三边的2倍，而非；②未识别出隐藏的中点条件，无法应用中位线定理。 26．如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．不确定 【答案】A 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 27．如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为、的中点）．若，则此时点距离地面的高度为__________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵E，F分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴此时点距离地面的高度为． 28．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证； （2）首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 又， 是的中位线， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由（1）知，是的中位线，四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：． 易错必刷题型10.三角形中位线证明问题 典题特征：证明某线段是三角形中位线，或利用中位线证平行/数量关系。 易错点：①证明时仅证明“线段平行于第三边”，未证明“线段两端是两边中点”或“线段长度为第三边一半”；②误用“过一边中点且平行于第三边的线段是中位线”时，未说明该线段的另一端点在另一边上。 29．如图，在中，为其中位线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D．条件不足，无法计算 【答案】C 【分析】本题考查求角度，涉及三角形中位线的性质、平行线的性质等知识，先由中位线的性质得到，再由两直线平行同位角相等即可得到答案，熟记三角形中位线的性质、平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在中，为其中位线， , , , 故选：C． 30．在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 【答案】 / 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分得出点为中点，再根据三角形中位线定理求出，的长及，与，的位置关系，进而求出的度数，判定为等边三角形即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ，， 点在边上， ， 同理可得是的中位线， ，， 点在边上， ， ，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 31．如图，在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、，交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连接、，根据题意，是的中位线，则，，进而得到，，因此四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得． 【详解】证明：如图，连接、， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点在的延长线上，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 易错必刷题型11.三角形中位线实际应用 典题特征：利用中位线测量不可直接测量的距离，或求不规则图形边长。 易错点：①无法将实际场景抽象为三角形模型，找不到可用的中点或中位线；②计算时忽略单位换算，或误将中位线长度当作第三边长度直接使用。 32．如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，连接．若测得，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：∵分别取，的中点D，E，连接， ∴是的中位线， ∴． 33．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝20，BC＝32，则线段EF的长为________； 【答案】6 【分析】延长AF交BC于G，证明△ABF≌△GBF，根据全等三角形的性质得到BG＝AB＝20，AF＝FG，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：延长AF交BC于G， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠GBF， 在△ABF和△GBF中， ∵， ∴△ABF≌△GBF（SAS）， ∴BG＝AB＝20，AF＝FG， ∴GC＝BC−BG＝12， ∵D为AB的中点， ∴DF是的中位线， ∴DE∥BC， ∴EF是的中位线， ∴EF＝CG＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 34．（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2），；详见解析；（3）18米 【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可； （2）过点作，与的延长线交于点，证明，再证四边形是平行四边形，即可证明结论； （3）直接利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； （2）求证：，． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点． ∴， 在和中， ． ，． ，． 四边形是平行四边形， ，， 又， ，． 故答案为：，； （3）∵点分别是的中点，米， ∴，即：米 故答案为：18米． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 易错必刷题型12.中点四边形 典题特征：连接四边形各边中点，判断中点四边形的形状；或根据原四边形形状判断中点四边形性质。 易错点：①混淆不同原四边形对应的中点四边形形状（如误将菱形的中点四边形记为菱形，实际是矩形）；②证明中点四边形形状时，未利用中位线定理证明对边平行且相等，直接凭结论判定。 35．如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，在下列条件中，能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理，根据题意可得，，，推出四边形平行四边形；若，则，即，即可求解； 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：分别是的中位线， ∴，，， ∴四边形平行四边形， 若， 则，即， ∴四边形为矩形， 故选：D 36．如图，四边形的两条对角线、互相垂直，将四边形各边中点依次相连，得到四边形，若四边形的面积为15，则四边形的面积为______． 【答案】30 【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形是矩形，从而根据矩形的面积和三角形的每件公式进行计算．此题主要考查中点四边形和三角形的面积，注意三角形中位线定理这一知识点的灵活运用，此题难易程度适中，是一道典型的题目． 【详解】解：，，，是四边形的中点四边形， 四边形的对角线、互相垂直， 四边形为矩形， 设，， 是的中位线， ， 同理可得， 四边形的面积为． ， 四边形的面积， 故答案为：30． 37．【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； (3)根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 (4)如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形，菱形，矩形 (3)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的 (4)四边形是同形中点四边形．见解析 【分析】（1）连接，根据中位线的性质得出，．即可证明四边形是平行四边形． （2）根据平行四边形的判定，菱形、矩形的判定，结合中位线的性质，即可求解． （3）根据（2）的结论，即可求解． （4）连接，，根据正方形的性质结合中位线的性质得出，，即可得出四边形是正方形． 【详解】（1）证明：连接． 、分别是、的中点， 是的中位线． ，． 同理得 ，． ，． 四边形是平行四边形． （2）解：当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是菱形； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是矩形； （3）解：中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的． （4）解：四边形是同形中点四边形． 理由如下：连接，． 点、、、分别为正方形的四边中点， ， ， ，，，， 四边形 是正方形， ，， ， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是正方形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03中心对称与三角形中位线易错必刷题型专项训练 本专题汇总中心对称与三角形中位线章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.成中心对称 题型02.绘制关于某点的中心对称图形 题型03.画两个图形的对称中心 题型04.利用中心对称的性质求解 题型05.中心对称图形的识别 题型06.判断中心对称图形的对称中心 题型07.方格纸中补画中心对称图形 题型08.中心对称图形规律问题 题型09.三角形中位线求解问题 题型10.三角形中位线证明问题 题型11.三角形中位线实际应用 题型12.中点四边形 易错必刷题型01.成中心对称 典题特征：判断两个图形是否关于某点成中心对称；根据中心对称找对应点/边/角。 易错点：①误将“旋转180°重合”理解为“翻转重合”，混淆中心对称与轴对称的判定标准；②找对应点时，未验证“对应点连线经过对称中心且被对称中心平分”，直接凭视觉判断。 1．如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的中点，与关于点成中心对称，若，则的度数为______． 3．在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心对称． 易错必刷题型02.绘制关于某点的中心对称图形 典题特征：给定图形与对称中心，画出其中心对称图形。 易错点：①画对应点时，未用刻度尺测量，导致对应点到对称中心的距离不相等；②漏画部分顶点的对称点，或连线顺序错误，导致图形形状改变。 5．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是___． 7．如图，正方形网格中已画出了一个四边形和两个三角形，并给定了点．请你画出与这三个图形关于点成中心对称的图形． 易错必刷题型03.画两个图形的对称中心 典题特征：给定两个成中心对称的图形，画出对称中心。 易错点：①仅连接一组对应点取中点，未连接两组对应点验证中点重合，导致中心找错；②连线时未使用直尺，导致中点位置判断偏差。 8．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 9．如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 10．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，与关于点O成中心对称，与的顶点均在格点上． (1)请在图中直接画出点O； (2)将绕点C顺时针旋转得到，请画出． 易错必刷.题型04.利用中心对称的性质求解 典题特征：利用中心对称的对应边、对应角、对应线段关系求长度/角度。 易错点：①误用“对应边平行”作为核心性质，忽略中心对称的本质是“对应点连线被对称中心平分”；②未找准对应边/对应角，导致计算时用错数据。 11．如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 12．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 13．如图，在中，，对角线相交于点O，．点P从A点出发沿方向匀速运动，速度为1，连接并延长交于点Q，设点P的运动时间为t（）． (1)当______时，； (2)当四边形的面积为面积的时，求t的值； (3)是否存在某一时刻t，使点O在线段的垂直平分线上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 易错必刷题型05.中心对称图形的识别 典题特征：判断常见图形（线段、平行四边形、正多边形等）是否为中心对称图形。 易错点：①误将正奇数边形（如正三角形、正五边形）判定为中心对称图形，忽略其旋转180°无法与自身重合；②混淆“中心对称图形”与“两个图形成中心对称”的概念。 14．未来将是一个可以预见的时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，图标是中心对称图形的是（     ） A．豆包 B． C．讯飞星火 D．智谱清言 15．如图，已知与关于点对称，过点任意作直线分别交、于点、，下列结论中，正确的有_____________个． （1）点和点；点和点是关于点的对称点； （2）直线必经过点； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和成中心对称 16．中国高端装备已从产品出口升级为技术+标准+产能+服务+资本的全链条出海，覆盖轨交、工程机械、能源、航空、船舶、军工、工业母机等核心赛道，是中国制造向中国智造转型的标杆．以下四家中国高端装备企业的品牌图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A．中国中铁 B．中国铁建 C．中国交建 D．中国中车 易错必刷题型06.判断中心对称图形的对称中心 典题特征：给定中心对称图形，找出其对称中心。 易错点：①误将图形的顶点、边中点当作对称中心，未通过“两组对应点连线的交点”验证；②对于复合中心对称图形，漏找对称中心或找错位置。 17．函数，关于M中心对称，则M的坐标为 ______． 18．如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 19．如图，的对角线相交于点O，E，F在直线上，且． (1)四边形是否是中心对称图形？请说明理由； (2)四边形的对称中心是什么？ 易错必刷题型07.方格纸中补画中心对称图形 典题特征：在方格纸中补全图形，使其成为中心对称图形。 易错点：①数方格时出错，导致对应点位置偏移，破坏中心对称关系；②未先确定对称中心，直接补画图形，导致整体不对称。 20．如图，在的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的三角形有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 21．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 22．图1和图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，且均有两个小正方形涂上了颜色． (1)请你在图1中选择1个小正方形涂上颜色，使图中的涂色部分为中心对称图形． (2)请你在图2中选择3个小正方形涂上颜色，使图中的涂色部分为中心对称图形． 易错必刷题型08.中心对称图形规律问题 典题特征：根据一组中心对称图形的排列，找第n个图形的特征或数量规律。 易错点：①仅观察图形外观，未从“对称中心位置”“旋转角度”等本质特征找规律；②计算第n个图形时，未验证前几项，导致通项公式错误。 23．已知点与点关于对称，则？指的是（    ） A．1 B．3 C．5 D．2 24．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 25．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 易错必刷题型09.三角形中位线求解问题 典题特征：已知三角形两边中点或第三边长度，求中位线长、周长、面积。 易错点：①记错中位线定理，误将中位线长度记为第三边的2倍，而非；②未识别出隐藏的中点条件，无法应用中位线定理。 26．如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．不确定 27．如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为、的中点）．若，则此时点距离地面的高度为__________． 28．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 易错必刷题型10.三角形中位线证明问题 典题特征：证明某线段是三角形中位线，或利用中位线证平行/数量关系。 易错点：①证明时仅证明“线段平行于第三边”，未证明“线段两端是两边中点”或“线段长度为第三边一半”；②误用“过一边中点且平行于第三边的线段是中位线”时，未说明该线段的另一端点在另一边上。 29．如图，在中，为其中位线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D．条件不足，无法计算 30．在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 31．如图，在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、，交于点．求证：． 易错必刷题型11.三角形中位线实际应用 典题特征：利用中位线测量不可直接测量的距离，或求不规则图形边长。 易错点：①无法将实际场景抽象为三角形模型，找不到可用的中点或中位线；②计算时忽略单位换算，或误将中位线长度当作第三边长度直接使用。 32．如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，连接．若测得，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．8 D．10 33．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝20，BC＝32，则线段EF的长为________； 34．（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．   易错必刷题型12.中点四边形 典题特征：连接四边形各边中点，判断中点四边形的形状；或根据原四边形形状判断中点四边形性质。 易错点：①混淆不同原四边形对应的中点四边形形状（如误将菱形的中点四边形记为菱形，实际是矩形）；②证明中点四边形形状时，未利用中位线定理证明对边平行且相等，直接凭结论判定。 35．如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，在下列条件中，能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 36．如图，四边形的两条对角线、互相垂直，将四边形各边中点依次相连，得到四边形，若四边形的面积为15，则四边形的面积为______． 37．【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； (3)根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 (4)如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $