阶段测评2(1.4-1.7)-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

阶段测评2 （时间：40分钟 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.(中考·德阳)如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，需要增加的一个条件可以是() 0) A.AB∥CD B.AB=BC C.∠B=∠D D.AC=BD 2.（中考·成都)下列命题中，假命题是() A.矩形的对角线相等 B.菱形的对角线互相垂直 C.正方形的对角线相等且互相垂直 D.平行四边形的对角线相等 3.（中考·河南)如图所示的网格中，每个小正方 形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格 线的交点上，点D,E分别是边BA,CA与网 格线的交点，连接DE,则DE的长为() 1 A.2 B.1 C.√2 D.√5 第3题图 第4题图 4.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,点M为OD的中点，连接AM,若AB=4, BC=6,则△AOM的面积为 () A.3 B.6 C.1.5 D.2 5.用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼成 一个图案，下列拼成的图案中，不含菱形的是 B. 37探究在线八年级数学（下）· 1.41.7) 满分：100分) 6.如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交 BC于点E,过点D作DF⊥AE交AE于点 H,交AB于点F,连接DE.下列结论：①AF= BE;②∠CDF=67.5°；③△DHE≌△DCE.其 中正确的结论是 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ B B E 第6题图 第7题图 二、填空题（每小题5分，共30分） 7.(长沙期中)如图，小美用钉子将四根木棍钉成 了一个平行四边形框架，现固定AB,转动 AD.当∠ABC= °时，四边形ABCD的 面积最大，此时四边形是 形 8.(湘潭期中)如图，已知正方形ABCD,CD=6, 则OD= 第8题图 第10题图 9.已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交 于点O,AC⊥BD,∠ABO=∠CBO,请再添加 一个条件，使四边形ABCD是菱形，可以添加 的条件是 .（只添加 一个条件) 10.如图，E是矩形ABCD的对角线AC的延长 线上一点，若AC=2BE,∠ACB=65°，则∠E 11.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC =90°，AD=CD,DP⊥AB,垂足为P.若四边 形ABCD的面积是20，则BP的长是 第11题图 第12题图 12.(中考·凉山)如图，四边形ABCD是菱形， 对角线AC,BD相交于点O,点E是边CD 的中点，过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC 于点G,若AC=12,BD=16,则FG的长为 三、解答题（共40分） 13.(12分)如图，已知四边形ABCD是正方形， G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E,BF⊥ AG于点F.求证：AE=BF. 14.(14分)（娄底期中）如图，在四边形ABCD 中，∠ADC=140°，点E,F分别是AB,AD 的中点，且∠AFE=50°，连接BD. (1)求∠BDC的度数； (2)取BC的中点G,连接DG.若CD=6,DG =5,求EF的长. 15.(14分)（中考·青岛）如图，在☐ABCD中， 点E为AB的中点，F为ED延长线上一点， 连接AF,BF,过点B作BG∥AF,交FE的 延长线于点G,连接AG (1)求证：△AEF≌△BEG; (2)已知（从以下两个条件中选择一个 作为已知，填写序号)，请判断四边形AGBF 的形状，并证明你的结论 条件①：EF=2CD;条件②：EF⊥CD, 第1章385.(1)证明：四边形ABCD是矩形，点O是对角线BD的 :∠C=90°，∠FBC+∠BFC=90. 中点， ∴.∠BNH-∠BFC..△ABN≌△BCF(AAS). ∴.AB∥CD,BO=DO ..AN=BF. ∴.∠EBO=∠FDO,∠BEO=∠DFO. .AN=EG,..GE=BF .△BOE≌△DOF(AAS)..BE=DF. 2.在AB上截取BM=BE,连接ME, BE∥DF,.四边形DEBF是平行四边形， .AB-BC,..AM-EC. (2)四边形DEBF是平行四边形， ∠B=90°， 当DE=DF时，四边形DEBF是菱形.DE=BE. ∴.∠BME=∠BEM=45° 设DE=BE=x,则AE=8-x, CF平分∠DCG,.∠FCG=45°. AD+AE=DE,62+(8-x)2=2,解得x=25 .∠AME=∠ECF=180°-45°=135°. 41 ∠AEF=∠B=90°， 即DE的长为空。 .∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠MAE=9O°. 6.(1)证明：，四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形， .∠CEF=∠MAE..∴.△AME≌△ECF(ASA). .AB∥CD,EF∥BG,EB=EF,BC=CD. .AE=EF」 ,点G在边AB的延长线上，EB=CH, 3.①②③④ .EF∥CD,EF=CH. 4.(1)MN=DM+BN '.∠E=∠C,HE=BC..HE=DC (2)MN=BN一DM.理由如下： ∴.△HEF≌△DCH(SAS). 如图②，在BC上取点E,使BE=MD,连接AE, (2)如图，作FM⊥BG于点M,则 AB=AD,∠B=∠ADM=90°， ∠CMF-90°. .△ABE≌△ADM(SAS). .EH⊥BC, .AE=AM,∠BAE=∠DAM ∴.EH∥FM,∠EHM=90°. :∠DAM+∠DAN=45°， .EF∥BG,.∠FEH=90° ∠BAE+∠DAN=45. ∴.四边形FMHE是矩形..EH=FM. ∴.∠EAN=45°=∠MAN. .EF=BE,∠FEB=60°， .'AE-AM,AN-AN, .△BFE是等边三角形..BE=BF .△EAN≌△MAN(SAS).∴.EN=MN. ∠EHB=∠FMB=90°， .EN=BN-BE,.MN-BN-DM. R△EHB≌R△FMB(HL.BH=BM=号EE (3)MN=DM+BN.理由如下： 如图③，将△ABN绕点A逆时针旋转120°，得△ADE, .EB-CH,AB-BC-4, ∴∠B=∠ADE,AN=AE,BN=DE. BM=BH=号BC=专，BF=2BM= 3,CM=16 :∠B+∠ADC=180°，∠ADE+∠ADC=180° ∴.E,D,C三点共线. ..FMP=BF2-BMP-48. 9,CM=256 91 由(1)同理可得△EAM≌△NAM(SAS), :CF=√Ff+CM=√g+g /48+256_4w19 .MN-ME-DM+DE-DM+BN. 3 微专题3与正方形有关的几个常考模型 1.(1)= (2)GE=BF.证明如下： 如图，过点A作AN∥GE,交BF于点H,交 BC于点N, 微专题4四边形中的动点问题 ∴.∠EMB=∠NHB=9o°. 1.D2.223.A4.A ∠FBC+∠BNH=90°. 5.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， :四边形ABCD是正方形， .CF∥ED.∴.∠FCG=∠EDG. ∴.AD∥BC,AB=BC,∠BAD=∠ABC=∠C=90°. 点G是CD的中点，CG=DG. AD∥BC,AN∥GE, 在△FCG和△EDG中， .四边形ANEG是平行四边形..AN=GE. :∠FCG=∠EDG,CG=DG,∠CGF=∠DGE, 探究在线·八 .△FCG≌△EDG(ASA)..∴.FG=EG (2):正方形纸片ABCD的边长为4，则AE=DE=EG=2, ,四边形CEDF是平行四边形. 设BH=x,则EH=EG+GH=2+x,AH=4-x, (2)①7②4 在Rt△AEH中，根据勾股定理，得AE十AH=EH, 微专题5与四边形有关的折叠和最值问题 2+(4-=(2+,解得x=号 1.D 2.【猜想】MN=CN. 线段HB的长度为号 【证明】：矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠， 6.5 .∠CMD=∠CMD'. 7.(1)证明：连接CF, :四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC. :FG垂直平分CE,CF=EF ∴∠CMD=∠MCN.∴.∠CMD'=∠MCN.∴.MN=CN. ,四边形ABCD为菱形， 【应用】(1)EC=2MN.证明如下： ∴点A和点C关于对角线BD对称。 ,由四边形ABEM折叠得到四边形A'B'EM, ..CF=AF..'.AF=EF. .∠AME=∠A'ME (2)连接AC,交BD于点O, :四边形ABCD是矩形，.AD∥BC :点M和点N分别是AE和EF的中点，点G为CE的中点， .∠AME=∠MEN..∠A'ME=∠MEN. .MN-EN. MN=合AF,NG=2CF,即MN+NG=(AF+CR. .'MN=CN,∴.MN=EN=NC,即EC=2MN. 当点F与菱形ABCD对角线的交点O重合时，AF+CF (2):矩形ABCD沿MC所在直线折叠， 最小，即此时MN+NG最小， ∴.∠D=∠D'=90°，DC=D'C=2,MD=MD'=4. :菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°， 设MW=NC=x, △ABC为等边三角形.∴.AC=AB=1. ∴.ND'=MD'-MN=4-x, 即MN+NG的最小值为2 在Rt△NDC中，∠D=90°. 8.(1)如图，连接DE,交AC于点P',连接 .ND'2+D'C2 NCR BP',当点P在点P'处时，△BPE的周长 (4-+2=父，解得x=多 最小. MN=号.∴EC=2MN=5. 理由：在正方形ABCD中，AB=AD, ∠BAC=∠DAC, 3.D AP'=AP',.△ABP≌△ADP'(SAS). 4.设DC交AB于点F, ..BP'=DP'...BP+PE=DP+PE>DE. DC是AB的垂直平分线， 即当点P位于点P时，△BPE的周长PB十EP+BE最小. .∠AFD=90° (2)由(1)得BP'=DP',.P'B+PE=DE ,四边形ABCD是菱形，∠A=60°， BE=2,AE=3BE,..AE=6,AD=AB=8. .CD∥AB,∠C=∠A=60°，∠ADF=90°-∠A=30° .DE=√62+82=10.PB+PE的最小值是10. .∠ADC=180°-∠A=120°. ∴.△BPE周长的最小值为10+2=12. ∠CDC=∠ADC-∠ADF=120°-30°=90. 阶段测评2(1.4~1.7) 由折叠，得∠CDE=∠CDE=分∠CDC=45, 1.D2.D3.B4.A5.A6.A .∠DEC=180°-∠C-∠CDE=180°-60°-45°=75. 7.90矩8.3√29.OB=OD(答案不唯一) 5.(1)四边形ABCD是正方形， 10.50°11.2√512.5 .BC=CD=AB=AD,∠B=∠D=∠BCD=∠A=90° 13.,ABCD是正方形，.AB=AD,∠BAD=90° 由翻折的性质可知，∠D=∠CGE=90°，CD=CG,EG= .∠BAF+∠DAE=90. ED,∠ECD=∠ECG,∴.CB=CG. DE⊥AG,BF⊥AG,∴∠DEA=∠AFB=90. 又，∠B=∠CGE=∠CGH=90°，CH=CH, .∠DAE+∠ADE=90°.∴.∠BAF=∠ADE: '.Rt△CHG≌Rt△CHB(HL). (∠BAF=∠ADE, .HB=HG,∠HCG=∠HCB. 在△ABF和△DAE中，∠AFB=∠DEA, AB=DA, ∴∠BCH=∠E0G+∠CCH=号（∠DCG+∠BCG)=46. .△ABF≌△DAE(AAS)..BF=AE. 年级数学（下）·X灯 17 14.(1)点E,F分别是AB,AD的中点， 11.D ,EF是△ABD的中位线.∴.EF∥BD. 12.(1)证明：，菱形AECF的对角线AC和EF交于点O, .∠ADB=∠AFE=50° .AC⊥EF,OA=OC,OE=OF. .∠BDC=∠ADC-∠ADB=140°-50°=90°. .BE=DF,.'BO=DO. (2),∠BDC=90°，点G是BC的中点， .四边形ABCD是平行四边形 .BC=2DG=10. 又，AC⊥BD,四边形ABCD是菱形. 在Rt△BDC中，BD=√BC-CD=√102-62=8， (2),四边形ABCD是菱形，BD=8,S菱形ACD=16, 点E,F分别是AB,AD的中点， ∴AC1BD,OB=2BD=号×8=4，AC=16X2÷8=4 ∴EF=号BD=合×8=4 0A=合AC=2. 15.(1)证明：，BG∥AF, .BE=3,∴.OE=OB-BE=4-3=1. ∴·∠AFE=∠BGE,∠FAE=∠GBE. .AE=√OA2+OE区=√22+1F=√5. :点E为AB的中点，.EA=EB. 13.22.5° .△AEF≌△BEG(AAS). 14.由题意，∠AFG=∠FGH=∠AHG=90°， (2)选择条件①，四边形AGBF为矩形.证明如下： .四边形AFGH是矩形. .'△AEF≌△BEG,.EF=EG. 四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠BAD=90° EA=EB,∴.四边形AGBF为平行四边形. :∠DAF+∠FAE=90°，∠HAB+∠FAE=90°， :四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD. ∴.∠DAF=∠BAH. EF-CD.EF-AB. í∠DAF=∠BAH, :EF-EG,EF-号FPG 在△AFD和△AHB中，〈∠AFD=∠AHB, LAD-AB, ,AB=FG..四边形AGBF为矩形， .△AFD≌△AHB(AAS).∴.AF=AH. 选择条件②，四边形AGBF为菱形.证明略， 四边形AFGH是正方形 单元综合复习（一）四边形 核心素养提升 热门考点突破 15.C 1.A2.183.24.D5.D 综合与实践将多边形剪拼成“方”形 6.如图，连接AF,CE, 1.C2.D ,四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD. 3.号(a+bc .BE=DF, (2)如图③、图④所示. .AB-BE=CD-DF,即AE=CF (3)能.如图⑤，过点B作VZ∥AE, ∴四边形AECF是平行四边形 点Q,T分别是AB,BC中点， ∴.OE=OF..点O是线段EF的中点. ∴.△AWQ≌△BSQ,△SBT≌△GCT. 7.D8.39.D .能像上面剪切方法一样沿一条直线剪切，拼成一个平行 10.(1)在□ABCD中，AB∥CD且AB=CD, 四边形 .AF=CE,..AB-AF=CD-CE,BF=DE. 又，AB∥CD,即BF∥DE, .四边形BFDE是平行四边形， 'BE⊥CD,∴.∠BED=∠BEC=90°. 图③ 图⑤ .四边形BFDE是矩形 图④ (2)由(1)知，四边形BFDE是矩形， 第2章图形与坐标 .∠DFB=90°..∠AFD=∠BEC=90°. 2.1平面直角坐标系 在□ABCD中，AD=CB, 第1课时平面直角坐标系 (AD=CB, 基础在线 在Rt△AFD和Rt△CEB中， AF-CE, 1.D2.B433.C .Rt△AFD≌Rt△CEB(HL) 4.(1)所求各点的坐标为M(2,4),N(-2,2),L(0,-2.5), 18 探究在线·八年 O(0,0),P(2,-2.5). 10.(1)建立直角坐标系如图所示 (2)A,B,C,D各点的位置如图所示. C同学家y B同学家 北 A同学家 (2)由题意，得B(200,150).C同学家如图所示. D (3)(50,0) 拓展在线 5.C6.B7.B8.A9.A10.B 11.(1)630 能力在线 (2)①8 11.A12.C13.B14.A15.B ②如图③，B(m,85), 16.(1):MN平行于y轴，3-2m=2,解得m=号 .∠XOB=85°，OB=m. ∠X0A=40°，0A=5,AB=5, 则3m+2=名M(2,2）: ∴∠AOB=85°-40°=45°，0A=AB. ∴△OAB是等腰直角三角形. (2)点M在x轴上方，3m十2>0.即m>- 3 .m=√52+5=5√2 ∴.点M到x轴的距离是3m十2，点M到y轴的距离是 ③130°或310 |3-2m. 2.2简单图形的坐标表示 :点M到x轴的距离是到y轴距离的两倍， 基础在线 ∴3m+2=2引3-2ml.解得m=8或m= 1.C 2.如图，像帆船 M(-13,26)或M(9,29）), 拓展在线 17.(1)(-3,-9) (2)设点F(2m-1,3-4m)的T变换点为(x',y), 、D .x'=(2m-1)+2(3-4m)=-6m十5， 8 y'=(3-4m)-2(2m-1)=5-8m. 第2题答图 第3题答图 变换点在第四象限，x>0,y<0. 3.(答案不唯一)以点A为坐标原点，以AB边所在直线为x 即-6m+5>0,5-8m<0,解得8<m<名 轴，AE边所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标 ∴号<3-2m<子 7 系，则图中各顶点的坐标分别为A(0,0),B(8,0),C(8,3), D(3,3),E(0,6) 第2课时利用坐标或方位确定位置 能力在线 基础在线 4.A5.(5,4) 1.A2.A3.C 6.如图①所示，当AC=6时，A(-3,0),C(3,0), 4.(答案不唯一)(1)建立平面直角坐标系如图： 又内角比为1：2， y .B(0,-√3)，D(0W3) 动物园 如图②所示，当BD=6时，B(0,-3),D(0,3), 湖心 To 又内角比为12， 光岳楼 山峡会馆 .C(3,0),A(-3,0) 金凤广场 故四个顶点坐标分别为A(-3,0),B(0,一√3)，C(3,0), (2)湖心岛的坐标为（一1,2），动物园的坐标为(4,4)，山峡 D(0W3)或A(-√3,0)，B(0,-3),C(W5,0),D(0,3). 会管的坐标为(2，一1)，金凤广场的坐标为（一1，一2）. 5.C6.D 能力在线 7.C8.C9.D 级数学（下）·X灯