专题02平行四边形易错必刷题型专项训练(18大题型共计54道题)2025-2026学年湘教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形高频易错点，通过18类题型系统梳理定义辨析、性质应用、判定推理及综合问题，提炼易错关键与解题方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形专项|18类题型，每类含3道典题|定义辨析强调前提条件，性质应用突出对边对角关系，判定推理明确定理条件，综合问题结合动态与几何直观|从定义到性质判定，再到综合应用，形成概念-原理-拓展的逻辑链条|

专题02平行四边形易错必刷题型专项训练 本专题汇总平行四边形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.等腰梯形的定义 题型02.直角梯形的定义 题型03.平行四边形性质求解 题型04.平行四边形性质证明 题型05.判断能否构成平行四边形 题型06.补充条件判定平行四边形 题型07.数图形中平行四边形的个数 题型08.已知三点构平行四边形的点个数 题型09.证明四边形是平行四边形 题型10.全等三角形拼平行四边形 题型11.平行四边形判定与性质求解 题型12.平行四边形判定与性质证明 题型13.平行四边形中最值问题 题型14.平行四边形中折叠问题 题型15,平行四边形中动点问题 题型16.平行四边形多结论判断 题型17.平行四边形与坐标系综合 题型18.平行四边形与角平分线综合 易错必刷题型01.等腰梯形的定义 典题特征：以概念辨析类题型为主，包含命题判断、图形识别，常与梯形、平行四边形的定义进行对比考查。 易错点：①忽略“梯形只有一组对边平行”的前提，误将平行四边形判定为等腰梯形；②混淆“两腰相等”与“同一底上的两个角相等”的定义核心条件。 1．如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 2．在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 3．如图，在梯形中，，，与相交于点O，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求梯形的面积． 易错必刷题型02.直角梯形的定义 典题特征：以图形识别、命题辨析为主，常与矩形、等腰梯形的定义进行区分考查。 易错点：①错误认为直角梯形需存在两个直角才符合定义；②忽略“一组对边平行”的梯形前提条件。 4．如图，在直角梯形中，，，，，，则梯形的面积为________． 5．下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（   ） A．3，4，5，12 B．4，4，4，8 C．4，4，5，7 D．4，5，5，10 6．如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 易错必刷题型03.平行四边形性质求解 典题特征：利用平行四边形对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分的性质，计算边长、周长、角度、对角线长度，或结合三角形全等进行证明。 易错点：① 记错“对角相等、邻角互补”的角度性质，搞混对角、邻角的关系；② 计算对角线问题时，遗忘“对角线互相平分”，不会用半段长度推对角线总长；③ 周长计算时，忘记乘2，直接把一组邻边的和当作周长；④ 误用不存在的性质，误以为普通平行四边形的对角线相等或互相垂直；⑤ 分不清平行四边形性质和判定的用法，解题时用错条件。 7．如图，在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是______． 8．如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．4.5 C．6 D．3.5 9．在中，． (1)如图1，，连接和交于点，，求的面积； (2)如图2，，点为上一点，连接，点为上一点，连接交于点，连接，若点为的中点，连接，且，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，已知，，点与点分别为线段与上的动点，满足，连接和，当最小时，直接写出此时的面积． 易错必刷题型04.平行四边形性质证明 典题特征：以证明线段相等、角相等、两直线平行为主，常结合三角形全等进行考查。 易错点：①误用不存在的性质（如“平行四边形对角线相等”）；②证明过程逻辑跳步，缺少必要的推导步骤。 10．如图，平行四边形是某公园的观赏水池的平面图，经过测量，，，，则该水池的面积是______.    11．如图，在中，，要在平行四边形的边所在直线上找点E，F，使四边形为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是（   ） A．方案1 B．方案2 C．两种都正确 D．两种都不正确 12．如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 易错必刷题型05.判断能否构成平行四边形 典题特征：给定边长、角度或对角线长度，判断这些条件能否组成平行四边形。 易错点：①忽略“平行四边形对边相等”的边长要求；②忽略“对角线互相平分且两对角线半段之和大于边长”的隐含条件。 13．下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边也平行 B．一组对角相等，另一组对角也相等 C．一组对边平行，一组对角相等 D．一组对边平行，另一组对边相等 14．在四边形中,,为两条对角线,若,,则在下列结论中,不正确的是______． 15．如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型06.补充条件判定平行四边形 典题特征：已知四边形的部分边、角或对角线条件，补充一个条件使该四边形成为平行四边形。 易错点：①误将“一组对边平行，另一组对边相等”作为判定依据；②混淆判定定理，误用“对角线相等”判定平行四边形。 16．如图是嘉淇不完整的推理过程． 小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是(   ) A． B． C． D． 17．如图，在四边形中，点，在上，，，请你添加一个条件___________．使四边形是平行四边形． 18．某小区有一个四边形花园，对角线与相交于点．物业人员测量了以下四组数据，其中哪一组可以确定四边形一定是平行四边形．（    ） A．测得平行于，且等于 B．测得，且 C．测得，且平行于 D．测得，且 易错必刷题型07.数图形中平行四边形的个数 典题特征：在网格或由多个小平行四边形组成的组合图形中，统计所有平行四边形的数量。 易错点：①漏数由多个小图形组合而成的大平行四边形；②计数时分类混乱，出现重复计数或漏计数的情况。 19．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 20．如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有______个平行四边形．    21．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（    ） A．9个 B．8个 C．6个 D．4个 易错必刷题型08.已知三点构平行四边形的点个数 典题特征：给定平面内不共线的三个点，找出能与这三点构成平行四边形的第四个点的个数或坐标。 易错点：①未分类讨论不同的对角线情况，漏算部分点；②忽略三点共线时无法构成平行四边形的特殊情况。 22．在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是______个． 23．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 24．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 易错必刷题型09.证明四边形是平行四边形 典题特征：给出四边形的边、角、对角线的相关条件，证明该四边形为平行四边形。 易错点：①证明时条件不充分（如仅证明一组对边平行就判定为平行四边形）；②误用“一组对边平行且另一组对边相等”作为判定定理。 25．如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（　　） A． B． C． D． 26．如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求直线，之间的距离； (3)求直线，之间的距离． 27．如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 易错必刷题型10.全等三角形拼平行四边形 典题特征：用两个全等三角形拼接，判断能拼成的平行四边形的数量或形状。 易错点：①未考虑不同对应边重合的拼接方式，漏算拼法数量；②混淆三角形的边与平行四边形边的对应关系。 28．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 29．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 30．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 易错必刷题型11.平行四边形判定与性质求解 典题特征：先通过判定定理证明四边形为平行四边形，再利用其性质计算边长、角度、周长等。 易错点：①判定平行四边形时条件不足，导致后续计算的基础错误；②计算时混淆对边、对角的对应关系。 31．如图，将同等宽度的两张纸条重叠在一起，使，则的度数为______． 32．如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 33．在中，连接，，的角平分线与交于点E，与交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的面积． 易错必刷题型12.平行四边形判定与性质证明 典题特征：先证明四边形为平行四边形，再利用其性质证明线段或角的数量/位置关系。 易错点：①证明平行四边形时误用判定定理；②后续证明中遗忘平行四边形的已有性质，进行重复证明。 34．如图，在四边形中，，，平分，则下列结论．①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．如图，在平行四边形中，、的平分线、分别与相交点、，与相交于点，若，，，则的为______．    36．如图，的对角线、相交于点，延长至点E，延长至点，连接、、、，若，求证：四边形是平行四边形． 易错必刷题型13.平行四边形中最值问题 典题特征：结合动点、垂线段最短等知识，求平行四边形内线段长度、周长的最值。 易错点：①无法确定最值对应的几何位置；②忽略平行四边形对边平行的隐含条件，无法转化问题。 37．如图，在中,为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，则的最小值为__________． 38．如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D．4 39．在平行四边形中，． (1)如图1，若，，求四边形的面积； (2)如图2，若，点为边上一点，连接．点为上一点，连接交于点，连接，若点为边的中点，连接，且．求证：； (3)如图3，已知，，点P与点Q分别为线段与上的动点，满足，连接，，直接写出的最小值． 易错必刷题型14.平行四边形中折叠问题 典题特征：平行四边形沿某条直线折叠，求折叠后线段长度、角度大小。 易错点：①忽略折叠前后对应边、对应角相等的性质；②未结合平行四边形本身的边、角关系，导致角度或线段计算错误。 40．如图，已知平行四边形中，，，将三角形沿着翻折，点落在点处，若，那么的长为__________． 41．如图，将沿对角线折叠，使点C落在处，若，则为（    ） A． B． C． D． 42．如图1，在中，为边上的一个动点，连接，过点作交于点，点A、P关于直线对称，连接、、． (1)证明：平分； (2)当时，求的长； (3)当等腰三角形时，求的长． 易错必刷题型15,平行四边形中动点问题 典题特征：平行四边形边上或内部有动点，求线段长度、角度或特殊位置的情况。 易错点：①未分析动点的运动范围，漏解特殊位置；②忽略平行四边形的边、角性质，无法建立等量关系。 43．如图，在平行四边形中，，点为射线上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，若的最小值为，则______． 44．如图，在中，，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将其绕点逆时针旋转至直线，使得，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 45．如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示）． (2)当四边形是平行四边形时，求的值． (3)当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值． 易错必刷题型16.平行四边形多结论判断 典题特征：给出平行四边形相关的多个命题或结论，判断正确结论的个数。 易错点：①忽略特殊情况（如矩形是特殊的平行四边形）；②混淆性质与判定的条件，误判结论的正确性。 46．如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 47．在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，连接，，，，，有以下结论：①四边形的周长是定值；②四边形的面积是定值；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．上述结论正确的个数是（   ） A． B． C． D． 48．如图，折叠平行四边形，使折痕经过点B，交边于点E，点C落在延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形．若平行四边形的面积是8，则下列结论中正确的是（    ） A．四边形不是平行四边形 B． C．设四边形的面积为y，四边形的面积为x，则y与x的函数关系式是 D．若，则点E到的距离为1 易错必刷题型17.平行四边形与坐标系综合 典题特征：在平面直角坐标系中，已知部分顶点坐标，求平行四边形未知顶点的坐标。 易错点：①未分类讨论不同的对角线情况，漏算坐标；②计算坐标时符号错误，忽略点所在的象限位置。 49．如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，则点B的坐标为______． 50．如图所示，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 51．如图，直角坐标系中，平行四边形的边，，，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t． (1)求出点C，B的坐标； (2)当t为何值时，？ (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得点以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标；若不存在． 易错必刷题型18.平行四边形与角平分线综合 典题特征：平行四边形内角平分线与边相交，求线段长度、角度大小或图形形状。 易错点：①未发现“角平分线+平行线”构成等腰三角形的隐含结论；②计算线段长度时，未考虑不同位置的多解情况。 52．如图，在平行四边形中，的平分线交于E，，，则的长等于________． 53．如图，在中，点在上，，平分，，则的面积为（   ） A．32 B．24 C．18 D．16 54．在平行四边形中，点是的中点，连接，将沿直线翻折，得到．如图，延长交于点，求证：； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02平行四边形易错必刷题型专项训练 本专题汇总平行四边形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.等腰梯形的定义 题型02.直角梯形的定义 题型03.平行四边形性质求解 题型04.平行四边形性质证明 题型05.判断能否构成平行四边形 题型06.补充条件判定平行四边形 题型07.数图形中平行四边形的个数 题型08.已知三点构平行四边形的点个数 题型09.证明四边形是平行四边形 题型10.全等三角形拼平行四边形 题型11.平行四边形判定与性质求解 题型12.平行四边形判定与性质证明 题型13.平行四边形中最值问题 题型14.平行四边形中折叠问题 题型15,平行四边形中动点问题 题型16.平行四边形多结论判断 题型17.平行四边形与坐标系综合 题型18.平行四边形与角平分线综合 易错必刷题型01.等腰梯形的定义 典题特征：以概念辨析类题型为主，包含命题判断、图形识别，常与梯形、平行四边形的定义进行对比考查。 易错点：①忽略“梯形只有一组对边平行”的前提，误将平行四边形判定为等腰梯形；②混淆“两腰相等”与“同一底上的两个角相等”的定义核心条件。 1．如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 【答案】5 【分析】本题考查平行线之间的距离相等，涉及梯形面积公式、三角形面积公式等知识，过点作，过点作，如图所示，根据题意，表示出梯形面积与，数形结合即可得到的面积．熟记平行线之间的距离相等，数形结合表示出相关面积之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 在梯形中，，则， 梯形的面积为17， , 的面积为12， , ， 解得， 故答案为：5． 2．在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，梯形的性质，平行公理的推理，根据平行四边形和梯形的性质可得，，，进而由平行公理的推理可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵几何体的上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴图形中与平行的线段有，，，共条， 故选：． 3．如图，在梯形中，，，与相交于点O，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求梯形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，即可证明； （2）根据等腰梯形的定义可知四边形是等腰梯形，得到，进而得到，根据平行四边形的性质得到，，根据等腰三角形三线合一及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， 过点D作于点F， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型02.直角梯形的定义 典题特征：以图形识别、命题辨析为主，常与矩形、等腰梯形的定义进行区分考查。 易错点：①错误认为直角梯形需存在两个直角才符合定义；②忽略“一组对边平行”的梯形前提条件。 4．如图，在直角梯形中，，，，，，则梯形的面积为________． 【答案】12 【分析】根据梯形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在直角梯形中，，，，， ∴梯形的面积为： ． 5．下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（   ） A．3，4，5，12 B．4，4，4，8 C．4，4，5，7 D．4，5，5，10 【答案】C 【分析】根据直角梯形的性质，平移斜腰可将直角梯形分为一个矩形和一个直角三角形，利用勾股定理验证三边关系即可判断． 【详解】解：∵直角梯形平移斜腰后，可得到一个直角三角形，直角三角形的两条直角边分别为梯形的高和两底的差，斜边为梯形的斜腰，满足勾股定理， 对选项C，取梯形两底为和，则两底差为，垂直于两底的腰长为，斜腰长为， ∵，符合勾股定理， ∴能构成直角三角形，即原四条线段能组成直角梯形， 其余选项均不满足该关系． 6．如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． （1）由当时，四边形为平行四边形，可得方程，解方程即可； （2）当时，四边形是直角梯形，可得方程，解方程即可； （3）首先过D作于E，可求得的长，又由当时，四边形为等腰梯形，可求得当，即时，四边形为等腰梯形，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意得：，，则． ∵， 即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 易错必刷题型03.平行四边形性质求解 典题特征：利用平行四边形对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分的性质，计算边长、周长、角度、对角线长度，或结合三角形全等进行证明。 易错点：① 记错“对角相等、邻角互补”的角度性质，搞混对角、邻角的关系；② 计算对角线问题时，遗忘“对角线互相平分”，不会用半段长度推对角线总长；③ 周长计算时，忘记乘2，直接把一组邻边的和当作周长；④ 误用不存在的性质，误以为普通平行四边形的对角线相等或互相垂直；⑤ 分不清平行四边形性质和判定的用法，解题时用错条件。 7．如图，在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是______． 【答案】10 【分析】由平行四边形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质可得，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 由线段垂直平分线的性质可得：， ∴的周长是． 8．如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．4.5 C．6 D．3.5 【答案】A 【分析】过点作平行四边形边的垂线段，因为，所以该垂线段同时也是边上的高，可据此将两个阴影三角形的面积用底和对应的高表示．根据平行四边形的高是两个阴影三角形分别以、为底时的高之和，结合三角形面积公式与平行四边形面积公式，可推出阴影部分面积和平行四边形总面积的数量关系． 【详解】如图，过点作平行四边形边的垂线， 根据平行四边形的性质：，且， 设点到的距离为，点到的距离为， 则平行四边形中，与之间的总高为， 平行四边形面积满足： ， 阴影部分为和，面积和为 ， 因此阴影部分面积为4． 9．在中，． (1)如图1，，连接和交于点，，求的面积； (2)如图2，，点为上一点，连接，点为上一点，连接交于点，连接，若点为的中点，连接，且，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，已知，，点与点分别为线段与上的动点，满足，连接和，当最小时，直接写出此时的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）中由平行四边形性质及判定为等边三角形，为菱形，利用菱形对角线性质求面积; （2）中连接交于点，由对顶角及得平分，证，再证，得，由直角三角形斜边中线性质得; （3）中过点作,由角得，作点关于的对称点，证为等边三角形，当共线时取最小值，为等边三角形的高，再求，得,根据的面积等于与边高的积的一半即可解题． 【详解】（1）解：, 为等边三角形， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为菱形， ， 在中，， ∴， ∵，即 解得， ， ； （2）解：猜想，． 证明：连接交于点，连接， ，四边形为平行四边形， ， 又 ， 为等腰直角三角形，， 为中点， 平分，即，而（是等腰直角三角形）， ， ，， ，即平分， 在和中， ， ， 又， 为等腰直角三角形， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ，即为直角三角形， 又为中点， ， ∵为等腰直角三角形，， ． （3）解：四边形为平行四边形，， ， ， 过点作于点， 在中， ， ， ， ， 作点关于的对称点， 连接， ， ， 为等边三角形， 由对称性，， ， 当三点共线且时，取得最小值， 为等边三角形，边长为6， 由三线合一，为等边三角形的高， ， 即的最小值为， 此时为的中点（三线合一），， 中，， ， ∴， ， ∵的边的高 ， 当最小时，的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、将军饮马模型（最短路径问题）及三角形面积的计算．解题的关键是利用角构造垂直关系将转化为，再通过对称构造将军饮马模型求最值． 易错必刷题型04.平行四边形性质证明 典题特征：以证明线段相等、角相等、两直线平行为主，常结合三角形全等进行考查。 易错点：①误用不存在的性质（如“平行四边形对角线相等”）；②证明过程逻辑跳步，缺少必要的推导步骤。 10．如图，平行四边形是某公园的观赏水池的平面图，经过测量，，，，则该水池的面积是______.    【答案】24 【分析】根据平行四边形的性质知，根据平行线的性质知，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出，根据平行四边形的面积公式求其面积． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，       四边形是平行四边形， ，， ， ， 在中， ，， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质的知识，解题关键是熟练掌握平行四边形和平行线的性质等知识． 11．如图，在中，，要在平行四边形的边所在直线上找点E，F，使四边形为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是（   ） A．方案1 B．方案2 C．两种都正确 D．两种都不正确 【答案】C 【详解】解：方案一：∵在四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形BEDF是平行四边形． 方案二：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，两个方案都正确． 12．如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 又 即 四边形为平行四边形． 易错必刷题型05.判断能否构成平行四边形 典题特征：给定边长、角度或对角线长度，判断这些条件能否组成平行四边形。 易错点：①忽略“平行四边形对边相等”的边长要求；②忽略“对角线互相平分且两对角线半段之和大于边长”的隐含条件。 13．下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边也平行 B．一组对角相等，另一组对角也相等 C．一组对边平行，一组对角相等 D．一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，注意平行四边形的判定方法有①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤)对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可判断A；根据有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，即可判断B；根据平行线推出，，推出，根据有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，即可判断C；根据等腰梯形的判定即可判断D． 【详解】解： A、， 四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； C、， ，， ，， 四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； D、根据，，可以得出四边形可能是等腰梯形，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 14．在四边形中,,为两条对角线,若,,则在下列结论中,不正确的是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行四边形的性质及判定．通过证明,根据得到,根据已知条件即可判定三角形全等,继而根据全等三角形性质得出结论． 【详解】解:∵, ∴, 在和中, , ∴, ∴,故正确； ∴,故正确； ∴,故错误； ∴四边形是平行四边形,,故正确． 故答案为:． 15．如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意． 易错必刷题型06.补充条件判定平行四边形 典题特征：已知四边形的部分边、角或对角线条件，补充一个条件使该四边形成为平行四边形。 易错点：①误将“一组对边平行，另一组对边相等”作为判定依据；②混淆判定定理，误用“对角线相等”判定平行四边形。 16．如图是嘉淇不完整的推理过程． 小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的5条判定定理可得到，在有一组对边平行的情况下，只能添加另一组对边平行或这一组对边相等，查看选项可得到答案． 【详解】选项A中，，得到，无法证明平行四边形，选项A错误； 选项B中，，得到与平行且相等，可证明平行四边形，选项B正确； 选项C中，，选项C错误； 选项D中，一组对边平行，另一组对边相等，可能为等腰梯形，不能判定平行四边形，选项D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，需要严格按照判定定理进行推理论证，熟悉5条平行四边形的判定是解题的关键． 17．如图，在四边形中，点，在上，，，请你添加一个条件___________．使四边形是平行四边形． 【答案】（符合题意即可） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．先判定四边形是平行四边形，求得，，当添加时，得到，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：添加， 如图，连接，，，与交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 当添加时， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 18．某小区有一个四边形花园，对角线与相交于点．物业人员测量了以下四组数据，其中哪一组可以确定四边形一定是平行四边形．（    ） A．测得平行于，且等于 B．测得，且 C．测得，且平行于 D．测得，且 【答案】B 【详解】解：选项A，且时，四边形可以是等腰梯形，不一定是平行四边形，不符合要求； 选项B，∵，且，∴四边形一定是平行四边形． 选项C，且时，四边形也可以是等腰梯形，不一定是平行四边形，不符合要求； 选项D，由且，仅能得到三个角相等，无法推出两组对边分别平行或相等，四边形不一定是平行四边形，不符合要求． 易错必刷题型07.数图形中平行四边形的个数 典题特征：在网格或由多个小平行四边形组成的组合图形中，统计所有平行四边形的数量。 易错点：①漏数由多个小图形组合而成的大平行四边形；②计数时分类混乱，出现重复计数或漏计数的情况。 19．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 20．如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有______个平行四边形．    【答案】3 【分析】根据平移的性质，三角形的三条边与平移后的三条边分别相等，平行，进而根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：依题意，，则四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ∴有个平行四边形 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 21．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（    ） A．9个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案． 【详解】解：设EF与NH交于点O， ∵在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB， ∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD， 则图中的四边形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共8个． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题时可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复． 易错必刷题型08.已知三点构平行四边形的点个数 典题特征：给定平面内不共线的三个点，找出能与这三点构成平行四边形的第四个点的个数或坐标。 易错点：①未分类讨论不同的对角线情况，漏算部分点；②忽略三点共线时无法构成平行四边形的特殊情况。 22．在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是______个． 【答案】3/三 【分析】在同一直线上的三点为，连接，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：设已知三点为，连接， 分别以为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及分类讨论的数学思想，熟练掌握判定定理是解题的关键． 23．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 24．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格特点，利用平移的性质即可求解． 【详解】解：点B与点M，N，P，Q共线， ， 的长等于三个单位长度， 的对边长也应为三个单位长度， 由图可知，点M，N，P，Q中，只有的长等于三个单位长度， 能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是点N． 易错必刷题型09.证明四边形是平行四边形 典题特征：给出四边形的边、角、对角线的相关条件，证明该四边形为平行四边形。 易错点：①证明时条件不充分（如仅证明一组对边平行就判定为平行四边形）；②误用“一组对边平行且另一组对边相等”作为判定定理。 25．如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定得到，再由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】解：要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形． 26．如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求直线，之间的距离； (3)求直线，之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由勾股定理解答即可． （3）过点作于点，进而根据等面积法即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即之间的距离为． （3）解：如图，过点作于点， ∵ ∴ 即，之间的距离为． 27．如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质证明，得到，根据勾股定理求出，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：平行四边形， ， ， ， ， ， 即， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 易错必刷题型10.全等三角形拼平行四边形 典题特征：用两个全等三角形拼接，判断能拼成的平行四边形的数量或形状。 易错点：①未考虑不同对应边重合的拼接方式，漏算拼法数量；②混淆三角形的边与平行四边形边的对应关系。 28．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 29．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 【答案】14或16或18 【分析】如图，过点作于点D，由三线合一得到，然后利用勾股定理求出，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点D， ∵，， ∴， ∴，    如图①所示：可得四边形 是矩形，则其四边形的周长为：， 如图②所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：， 如图③所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：． 30．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 易错必刷题型11.平行四边形判定与性质求解 典题特征：先通过判定定理证明四边形为平行四边形，再利用其性质计算边长、角度、周长等。 易错点：①判定平行四边形时条件不足，导致后续计算的基础错误；②计算时混淆对边、对角的对应关系。 31．如图，将同等宽度的两张纸条重叠在一起，使，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，根据题意可知，，进而可得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得出． 【详解】解：根据题意可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 32．如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)2 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意得即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 33．在中，连接，，的角平分线与交于点E，与交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，所以，则，所以，由，得，因为，所以，即可根据“角边角”证明； （2）作于点G，于点H，设，由，得， ，则，所以，则，可证明，，则四边形是平行四边形，，， ，因为，所以 ，则，，由，求得，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的角平分线与交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：作于点G，于点H，设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 易错必刷题型12.平行四边形判定与性质证明 典题特征：先证明四边形为平行四边形，再利用其性质证明线段或角的数量/位置关系。 易错点：①证明平行四边形时误用判定定理；②后续证明中遗忘平行四边形的已有性质，进行重复证明。 34．如图，在四边形中，，，平分，则下列结论．①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出可判断①正确；根据等腰三角形性质求出，即可推出，故②正确；由三角形内角和定理易得，结合，可证明，故③错误．过点E作，则，根据平行线的性质即可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴，又， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 故选：C． 35．如图，在平行四边形中，、的平分线、分别与相交点、，与相交于点，若，，，则的为______．    【答案】 【分析】由题中条件证出，则，同理，则，进而得出的长，过作交延长线于，如图所示，由平行四边形的判定与性质，得到，利用勾股定理求出，即可得结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，如图所示：   ，，， ， 平分， ， ， ， 同理， ，即， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 过作交延长线于，如图所示：   ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出是解此题的关键． 36．如图，的对角线、相交于点，延长至点E，延长至点，连接、、、，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】由平行四边形的性质可得，，进而可证，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 易错必刷题型13.平行四边形中最值问题 典题特征：结合动点、垂线段最短等知识，求平行四边形内线段长度、周长的最值。 易错点：①无法确定最值对应的几何位置；②忽略平行四边形对边平行的隐含条件，无法转化问题。 37．如图，在中,为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．作辅助线构造全等三角形是解题的关键； 过点D作，且，分别连接；证明，则有，故，当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，且，分别连接； 则， ∴； 在▱中，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长； 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为． 故答案为：． 38．如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，求出，可得，，证明四边形为矩形，可得，由等边三角形的性质可得，，证明，得出，即可得出当最小时，也最小，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当最小时，也最小， ∵当点与点重合时，最小，此时， ∴的最小值为， 故选：C． 39．在平行四边形中，． (1)如图1，若，，求四边形的面积； (2)如图2，若，点为边上一点，连接．点为上一点，连接交于点，连接，若点为边的中点，连接，且．求证：； (3)如图3，已知，，点P与点Q分别为线段与上的动点，满足，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，先求出的长，再求出的长即可； （2）延长，交于点，先得出，再证出，则，进而可得，然后求出，，据此即可得证； （3）过点作，且使得，连接，先证出，则，可得，进而可得当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，再求出的长，的值，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴平行四边形的面积为． （2）证明：如图，延长，交于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵点为边的中点， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作，且使得，连接， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，即的最小值为的长， 又∵，，，， ∴，， ∴在中，， ∴在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形． 易错必刷题型14.平行四边形中折叠问题 典题特征：平行四边形沿某条直线折叠，求折叠后线段长度、角度大小。 易错点：①忽略折叠前后对应边、对应角相等的性质；②未结合平行四边形本身的边、角关系，导致角度或线段计算错误。 40．如图，已知平行四边形中，，，将三角形沿着翻折，点落在点处，若，那么的长为__________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得出，，由折叠可得，，设与相交于点O，证明，，根据勾股定理求出，进而求出，，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 由折叠可得，， 设与相交于点O， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，． 41．如图，将沿对角线折叠，使点C落在处，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质求出，再根据折叠的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，, ∴， ∴． 根据折叠的性质得， 在中，， ∴． 42．如图1，在中，为边上的一个动点，连接，过点作交于点，点A、P关于直线对称，连接、、． (1)证明：平分； (2)当时，求的长； (3)当等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【分析】（1）根据折叠的性质，以及同角的余角相等证明即可； （2）令与的交点为，利用平行四边形的性质和勾股定理，先求出，再结合折叠的性质，推出，进而证明，设，利用等面积法列方程求解即可． （3）当等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，过点作于点，证明，得到，即可得解；②当时，得出，结合垂线段最短，可得出不符合题意；③当时，结合斜边大于直角边，可得出不符合题意． 【详解】（1）证明：， ，， 由折叠的性质可得，， ， 平分； （2）解：如图，令与的交点为， 在中，， ，，， ， ，， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：，即的长为； （3）解：分三种情况讨论： ①当时，如图，过点作于点， ，， 由折叠的性质可知，， 由（1）可知，平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②当时， ， ， ， ， ，不符合题意； ③当时， ，， ，不符合题意， 综上可知，的长为2． 易错必刷题型15,平行四边形中动点问题 典题特征：平行四边形边上或内部有动点，求线段长度、角度或特殊位置的情况。 易错点：①未分析动点的运动范围，漏解特殊位置；②忽略平行四边形的边、角性质，无法建立等量关系。 43．如图，在平行四边形中，，点为射线上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，若的最小值为，则______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质和垂线段最短．过点作于点，在上截取，连接，如图，先根据旋转的性质得到，，再证明得到，接着根据垂线段最短得到时，最小，此时最小，利用平行线之间的距离相等得到，然后在中利用含30度角的直角三角形三边的关系求出 【详解】解：过点作于点，在上截取，连接，如图， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 时，最小，此时最小， 而的最小值为， 点到的距离为， 四边形为平行四边形， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 44．如图，在中，，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将其绕点逆时针旋转至直线，使得，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据，得到，从而得到四点共圆，结合，，得到，继而得到，得到，故平分，作于点M，根据为边上的一个动点，得到当F与点C重合时，最小，解答即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴四点共圆， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 作于点M， ∵为边上的一个动点， ∴当F与点C重合时，此时最小，如图 在上截取，连接，过点作， 则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质，对角互补的四边形内接于圆，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，含30度的直角三角形的有关计算等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，判定四点共圆是解决问题的关键． 45．如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示）． (2)当四边形是平行四边形时，求的值． (3)当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平行四边形对角线平分、对边平行的性质，证明与全等，得出，再结合的长度，用减去表示出； （2）根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合的条件，列的方程求解； （3）由垂直平分线的性质得，先通过勾股定理算出的长度，再结合的长度，用勾股定理列方程求 ． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 由题意得， ． ， ． （2）解：， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 故当四边形是平行四边形时，的值为． （3）解：如图，过点作垂直平分分别交，于点，． ，， ， ． ， ， 易得． 是的垂直平分线， ，． 由勾股定理，得， 即， （负值已舍去）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、垂直平分线的性质与勾股定理的应用，掌握平行四边形的边与对角线性质、全等三角形的判定方法，及垂直平分线和勾股定理的综合应用是解题的关键． 易错必刷题型16.平行四边形多结论判断 典题特征：给出平行四边形相关的多个命题或结论，判断正确结论的个数。 易错点：①忽略特殊情况（如矩形是特殊的平行四边形）；②混淆性质与判定的条件，误判结论的正确性。 46．如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 【详解】解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 47．在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，连接，，，，，有以下结论：①四边形的周长是定值；②四边形的面积是定值；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．上述结论正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形的性质可证，，得到四边形是平行四边形，即可判定④；分别证明和，可得，，得到四边形是平行四边形，即可判定③；利用平行线间的距离相等可得，，即得，即可判定②；由点在上移动时，的长度发生变化，在中，的长度随之变化，同理的长度也变化，可知四边形的周长不是定值，即可判定①，综上即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，，，，， 分别为的中点， ， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故④正确； ∵，，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ，即， 同理可证， ， ∴四边形是平行四边形，故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点到的距离等于点到的距离， 设距离为， ∵ ， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 同理可得，， ∴， ∴四边形的面积是定值，故②正确； 当点在上移动时，的长度发生变化，在中，的长度随之变化，同理的长度也变化，所以四边形的周长不是定值，故①错误； 综上所述，正确的结论有②③④，共个． 48．如图，折叠平行四边形，使折痕经过点B，交边于点E，点C落在延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形．若平行四边形的面积是8，则下列结论中正确的是（    ） A．四边形不是平行四边形 B． C．设四边形的面积为y，四边形的面积为x，则y与x的函数关系式是 D．若，则点E到的距离为1 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，得，，结合四边形是平行四边形，得到，，，继而得到，得到得到，得到；，继而得到，可判定四边形是平行四边形；根据平行四边形的面积是8，四边形的面积为y，四边形的面积为x，得到，根据折叠的性质，得到，从而得到；根据，结合平行四边形的面积是8，得到四边形等于，设点E到的距离为h，则，解得，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质、折叠的性质以及图形面积表示等知识． 【详解】根据折叠的性质，得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴ ∴， ∴；， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故A，B都错误； ∵平行四边形的面积是8，四边形的面积为y，四边形的面积为x， ∴，根据折叠的性质，得到， ∴； 故C正确； ∴，平行四边形的面积是8， ∴四边形等于， 设点E到的距离为h， 则 ， 解得， 故D错误． 故选C． 易错必刷题型17.平行四边形与坐标系综合 典题特征：在平面直角坐标系中，已知部分顶点坐标，求平行四边形未知顶点的坐标。 易错点：①未分类讨论不同的对角线情况，漏算坐标；②计算坐标时符号错误，忽略点所在的象限位置。 49．如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，则点B的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，过C作轴于M，过B作轴于N，由A、C的坐标得到，，，判定，推出，，求出，即可得到点B的坐标． 【详解】解：过C作轴于M，过B作轴于N， ∵A，C的坐标分别是，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 50．如图所示，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，平行四边形的性质，准确分析计算是解题的关键． 利用平行四边形的性质得出，，可看作将平移到，转化成点的平移计算即可． 【详解】四边形是平行四边形， ，，故可看作将平移到，即到，到． ，， 将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 故将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到点． ， ． 故选． 51．如图，直角坐标系中，平行四边形的边，，，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t． (1)求出点C，B的坐标； (2)当t为何值时，？ (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得点以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标；若不存在． 【答案】(1) (2) (3)存在，点M的坐标为或 【分析】（1）作于点D，则是等腰直角三角形，可求出点C的坐标，再根据平行四边形的性质求点B的坐标； （2）当时，则，可求出此时t的值； （3）根据（2）所求得t的值，再求出的长，以A、P、Q、M为顶点的平行四边形可以为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点M的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，作于点D， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ； （2）解：如图，当时，， ， ， ， ， 解得； （3）解：存在，理由如下： 当平行四边形以为对角线，设交x轴于点E， ∵， ， ∵点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动， 由（2）得：时， ∴， ∵， ，即， ， 由（2）得：， ， ； 当平行四边形以为对角线，则， ， ； 当平行四边形以为对角线，作交的延长线于点G， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点M的坐标为，或； 【点睛】此题重点考查平面直角坐标系的有关知识、平行四边形的判定与性质、求动点问题中的函数关系式、数形结合、分类讨论等数学思想的运用等知识与方法，解第（2）小题涉及用转化法表示图形的面积，解第（3）小题时应注意求出所有符合条件的结果，此题综合性强，属于压轴题． 易错必刷题型18.平行四边形与角平分线综合 典题特征：平行四边形内角平分线与边相交，求线段长度、角度大小或图形形状。 易错点：①未发现“角平分线+平行线”构成等腰三角形的隐含结论；②计算线段长度时，未考虑不同位置的多解情况。 52．如图，在平行四边形中，的平分线交于E，，，则的长等于________． 【答案】4 【分析】利用平行四边形性质得出，，，利用平行结合角平分线可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 53．如图，在中，点在上，，平分，，则的面积为（   ） A．32 B．24 C．18 D．16 【答案】D 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，从而推出，再结合角平分线的定义得到，进而证得是等腰三角形，求出的长．最后过点作边上的高，利用含角的直角三角形性质求出高，即可计算面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， ． ， ． 如图，过点作于点， 在中，，， ． ． 54．在平行四边形中，点是的中点，连接，将沿直线翻折，得到．如图，延长交于点，求证：； 【答案】见解析 【分析】延长交的延长线于点，证出，得到，再由角平分线的性质及面积关系得，从而得出，即可得出结论． 【详解】证明：如图，延长交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ； ∵点是的中点， ； 在和中， ， ， ， 即为的中点； ∴； 由折叠的性质可得， ∴点E到的距离等于点E到的距离， 设E点到的距离分别为，则；. ∴， ； ， ， 即， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $