专题03 因式分解70道计算题专项训练（7大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（湘教版2024）

专题03 因式分解70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 提公因式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 题型六 十字相乘法 题型七 分组分解法 【经典计算题一 提公因式法分解因式】 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. （1）用提公因式法因式分解即可； （2）用提公因式法和公式法因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，在因式分解中，识别公因式和熟悉各种公式（如完全平方公式）是关键．通过提取公因式和应用适当的公式，可以有效地简化多项式，使其分解为更简单的因式乘积形式． （1）直接提取作为公因式进行因式分解即可； （2）先提取，接着将变成完全平方公式的形式即可． 【详解】（1）解： （2） ． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式； （1）直接提公因式分解因式即可； （2）直接提公因式分解因式即可． 【详解】（1）； （2）． 4．（25-26八年级上·湖南益阳·课前预习）运用提公因式法分解因式，简便计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，原式先提取公因式9，再进行计算即可． 【详解】解： ． 5．（25-26八年级上·湖南湘潭·随堂练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解； （1）先提取公因式分解因式即可； （2）先提取公因式分解因式即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 6．（2025八年级上·湖南益阳·专题练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）利用提取公因式法直接分解因式即可； （2）利用提取公因式法直接分解因式即可； （3）利用提取公因式法直接分解因式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 7．（25-26八年级上·湖南永州·课后作业）把下列多项式因式分解： (1)． (2)（m，n均为大于2的整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法：提公因式法是解题的关键． （1）用提公因式法分解即可； （2）用提公因式法分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 8．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解： （1）采用提公因式法求解； （2）先提公因式，再采用公式法求解； （3）先提公因式，再采用公式法求解． 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ． 9．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）提取公因式； （2）提取公因式； （3）提取公因式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 10．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）先阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是_____，共应用了_______次； (2)若分解因式，则需应用上述方法_____次，结果是________； (3)分解因式：（为正整数）． 【答案】(1)提公因式法，2 (2)2025， (3) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，同底数幂的乘法，熟练的掌握提公因式法以及多次使用提公因式的方法是解本题的关键． （1）观察分解因式的过程可得答案； （2）逐步提取公因式，从而可得答案； （3）逐步提取公因式，从而可得答案． 【详解】（1）解：观察可知，上述分解因式的方法是提公因式法；第一、二步各用了一次提公因式法，共应用了2次； 故答案为：提公因式法，2． （2）解： …… ， 需应用上述方法2025次，结果是． 故答案为：2025，． （3）解： …… 【经典计算题二 平方差公式分解因式】 11．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）计算：991×1009 【答案】 【分析】本题可以把991写成（1000-9），把1009写成（1000+9）的形式，然后运用平方差公式进行简便运算. 【详解】原式= 故答案为 【点睛】本题首先考虑简便的计算方法，选择平方差公式进行简便运算. 12．（24-25八年级上·湖南永州·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查公式法因式分解，掌握平方差公式是关键，运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：． 13．（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了提公因式法与公式法进行因式分解， （1）采用提取公因式法即可； （2）先利用平方差公式分解因式． 【详解】（1）； （2）． 14．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是分式的加减混合运算、因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到答案； （2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时对分母进行因式分解，约分即可得到答案． 【详解】（1）解：原式， ， ． （2）解：原式， ， ． 15．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分解因式． （1）先提取公因式，然后利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（25-26八年级上·湖南株洲·课后作业）将下列多项式因式分解： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平方差公式因式分解； （2）根据平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 17．（24-25八年级上·湖南常德·阶段练习）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握各种因式分解的方法，常用的有提公因式法，乘法公式法，十字相乘法等等． （1）利用平方差公式分解即可； （2）提公因式分解即可； （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可； （4）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可； （5）利用完全平方公式分解即可； （6）利用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 18．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）计算： (1)________，________； (2)观察上面式子：写出的结果，并进行简单推理． 【答案】(1)，； (2)，推理见解析 【分析】本题考查了运用平方差公式因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式计算即可； （2）运用平方差公式，因式分解计算即可． 【详解】（1）解：，． 故答案为：3，； （2）解：． ． 19．（2025·湖南益阳·模拟预测）（1）计算：； （2）因式分解： 小明的解题过程如下： …………………………第一步     …………………………第二步      …………………………第三步 请问小明同学第一步因式分解用到的公式是： （用字母a，b表示该公式）；小红说他的步骤有错误，并指出从第 步开始出现了错误． 请用小明的思路写出这道题正确的解法． 【答案】（1）；（2）；第二步；见解析 【分析】本题考查实数的混合运算及因式分解，熟练掌握零指数幂运算法则及平方差公式是解题关键． （1）根据零指数幂、算术平方根及绝对值的性质化简，再计算加减法即可得答案； （2）根据平方差公式、因式分解的概念及整式混合运算法则计算即可得答案． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴小明同学第一步因式分解用到的公式是：； ∵ ． ∴从第二步开始出现了错误． 20．（24-25八年级上·湖南永州·期末）（1）分解因式： （2）请阅读下列材料并回答问题： 在解分式方程时，小红的解法如下： 解：方程两边都乘，得 解这个方程得 所以，是原方程的根． 请问小红的解法对吗？如果不对，请写出正确完整的分式方程的解法． 【答案】（1）；（2）小红的解法不对，，正确过程见解析 【分析】此题考查了分解因式和解分式方程，熟练掌握方法是解题的关键． （1）利用平方差公式分解即可； （2）根据分式方程的解法判断，再去分母化为整式方程，解整式方程后检验即可． 【详解】解：（1） （2）小红的解法不对，正确过程如下： 方程两边都乘，得 解这个方程得 当时，， 所以，是原方程的根． 【经典计算题三 完全平方公式分解因式】 21．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 22．（24-25八年级上·湖南张家界·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式，掌握提公因式法和公式法分解因式的方法步骤及注意点是解答的关键． （1）先提公因式x，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先整理，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）因式分解： (1). (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（24-25八年级上·湖南湘潭·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查综合运用提公因式法分解因式和公式法分解因式，涉及平方差公式和完全平方公式等知识，熟练掌握分解因式的方法是解决问题的关键． （1）先恒等变形，再提公因式，最后由平方差公式分解因式即可得到答案； （2）先恒等变形，再由平方差公式分解因式，最后由完全平方公式分解因式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．（24-25八年级上·湖南永州·期中）利用因式分解进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)25 (2)76900 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握提取公因式，平方差公式和完全平方公式分解因式是解题的关键． （1）利用差的完全平方公式进行因式分解计算即可； （2）先用平方差公式，再提取公因式进行因式分解计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 26．（25-26八年级上·湖南株洲·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分式的乘除，平方差公式，完全平方公式； （1）根据分式的乘法法则进行约分计算即可； （2）结合平方差公式，再根据分式的乘法法则进行约分计算即可； （3）提出公因式，再根据分式的乘法法则进行约分计算即可； （4）结合平方差公式和完全平方公式，再根据分式的乘法法则进行约分计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 27．（2025八年级上·湖南益阳·专题练习）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法、公式法进行因式分解，多项式乘多项式．熟练掌握换元法、公式法进行因式分解是解题的关键． （1）利用换元法、公式法进行因式分解即可； （2）先换元，然后计算多项式乘多项式，最后利用公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：， 设，则原式， ∴； （2）解：， 设，则原式 ； ∴． 28．（24-25八年级上·湖南永州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，做这样的题目首先要提公因式，提完公因式后再利用公式法进行因式分解，需要注意观察最后是否因式分解彻底，以及符号问题，不要写错了． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式； （2）利用平方差公式分解因式，注意分解彻底； （3）利用整体的思想，运用完全平方公式分解因式即可； （4）利用整体思想，运用平方差公式分解因式即可； 【详解】（1） （2） （3） （4） 29．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题关键． （1）利用提取公因式法因式分解即可； （2）先把前两项利用平方差公式因式分解，再提取公因式分解即可； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （4）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （5）先利用完全平方公式因式分解，再利用平方差公式因式分解即可； （6）利用分组分解法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 30．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或； ③选取一次项和常数项配方： ． 根据上述材料，解决下面的问题： (1)选取一种方法对进行配方； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据配方法的步骤选取二次项和一次项配方即可． （2）根据配方法的步骤把原式变形为，再根据，求出的值，即可得出答案． 本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解题的关键， 【详解】（1）解： （2） ∴ 解得： ∴ 【经典计算题四 综合运用公式法分解因式】 31．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）利用因式分解计算：已知：x+y=3，x﹣y=﹣2，求(x2+y2)2﹣4x2y2的值． 【答案】36. 【分析】本题可利用平方差公式进行因式分解，此时 ，然后再用完全平方公式进行最后的分解，最后把式子的值整体的代入结果中得到答案. 【详解】原式= 把代入得： 故答案为36. 【点睛】本题考查了，已知一个式子的值，求代数式的值，该类试题首先要将代数式进行因式分解，选择合适的因式分解方法是解题关键，最后整体代入求值. 32．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）用平方差公式分解因式即可； （2）先用完全平方公式分解因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）将转化为，然后提出公因式即可； （2）先利用平方差公式分解，然后利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 34．（24-25八年级上·湖南益阳·阶段练习）在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解中的换元法以及十字相乘法、平方差公式的综合运用．将四次多项式转化为二次多项式，随后对二次多项式分别运用十字相乘法分解，解题的关键是对于能继续用平方差公式分解的部分进一步分解，最终完成高次多项式的因式分解． （1）首先使用换元法转化进行分解，然后使用十字相乘法分解二次式，最后使用回代还原，最后运用平方差公式进行求解即可． （2）首先使用换元转化进行分解，然后使用十字相乘法分解二次式，最后使用回代还原进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则原式变为， 所以． 再把代回，得到． 再将分解，得． （2）解：设，则原式变为． 所以． 再把代回，得到． 进一步分解，，， 所以． 35．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答； （2）利用提公因式法解题即可； （3）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式． 本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 36．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）将下列各式因式分解： (1) (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）用平方差公式进行分解即可； （2）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可； （3）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式即可； （4）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 37．（24-25八年级上·湖南株洲·单元测试）因式分解： (1) (2) (3) (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分解因式： （1）根据提取公因法，即可得到答案； （2）先提取公因式，再合并同类项，再提取公因数，即可得到答案； （3）先提取公因式，再利用平方差公式，即可得到答案； （4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式，即可分解因式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 38．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）提取公因式进行分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （4）先去括号，然后合并同类项，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 39．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）给出三个单项式：，，． （1）任选两个单项式相减，并进行因式分解； （2）利用因式分解进行计算：，其中，． 【答案】（1）见解析；（2），． 【分析】（1）直接选取两个单项式相减再分解因式即可； （2）直接分解因式，再把已知代入求出答案． 【详解】解：（1）a2-b2=(a+b) (a-b)；b2-a2=(b+a) (b-a)； a2-2ab=a(a-2b)；2ab-a2=a(2b-a)； b2-2ab=b(b-2a)；2ab-b2=b(2a-b)； （2）， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 40．（2025八年级上·湖南娄底·专题练习）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解配方法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可； （2）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典计算题五 综合提公因式和公式法分解因式】 41．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 42．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，综合提公因式和公式法分解因式即可求解． 【详解】解：原式 43．（24-25八年级上·湖南永州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练应用公式是解题关键． （1）直接提公因式即可分解因式； （2）首先提取公因式，进而利用平方差分解因式得出答案； 【详解】（1）解： （2）解： 44．（24-25八年级上·湖南常德·期中）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，综合利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式，再提公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解决问题的关键． （1）先提公因式，再运用完全平方公式分解即可； （2）先提公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）， ， ， ． 46．（25-26八年级上·湖南株洲·课前预习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式： （1）利用平方差公式分解因式； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 47．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解，熟知各因式分解技巧是解题的关键． （1）先提公因式，再用公式法因式分解即可； （2）先去括号，再利用分组分解法即可解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 48．（24-25八年级上·湖南益阳·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）提取公因式即可分解因式； （2）利用平方差公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 49．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）因式分解 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）提取公因式即可分解； （2）利用十字相乘法分解即可； （3）直接利用完全平方公式分解即可； （4）直接利用平方差公式分解即可； （5）先取公因式，再用完全平方公式继续分解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： （5）解： ． 50．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）先因式分解，然后计算求值： (1)，其中，． (2)，其中，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解以及代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解，再将字母的值代入，即可求解； （2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】（1）解： 当，时， 原式. （2）， . 当，时， 原式. 【经典计算题六 十字相乘法】 51．（24-25八年级上·湖南永州·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：． 52．（2025八年级上·湖南张家界·专题练习）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握各种因式分解的方法是解题的关键．先利用平方差公式，再利用十字相乘法进行分析即可解答． 【详解】解： ． 53．（24-25八年级上·湖南常德·阶段练习）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法进行因式分解，整体思想，本题的关键是把看作一个整体． 根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 54．（24-25八年级上·湖南常德·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，运用了整体思想；把作为一个整体，利用多项式乘多项式展开并整理得，再连续两步利用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ． 55．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，熟练掌握十字乘法分解因式是解决本题的关键． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 56．（25-26八年级上·湖南株洲·课后作业）检验下列因式分解是否正确． (1)． (2)． 【答案】(1) 正确 (2) 不正确 【分析】本题主要考查了因式分解的检验方法，关键是掌握因式分解与整式乘法的互逆关系． （1）根据整式乘法中的单项式乘多项式法则，对进行展开，进行检验即可； （2）根据整式乘法中的多项式乘多项式法则，对进行展开，进行检验即可． 【详解】（1）解：∵， ∴因式分解正确． （2）解：∵， ∴因式分解不正确． 57．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）利用提公因式法解答即可； （2）先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解； （3）先利用完全平方公式展开计算，再提出公因式，然后利用十字相乘法进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 58．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）十字相乘法分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】本题主要考查十字法因式分解的应用： （1），从而运用十字相乘法可分解因式； （2），从而运用十字相乘法可分解因式； （3），从而运用十字相乘法可分解因式； （4），从而运用十字相乘法可分解因式； （5），从而运用十字相乘法可分解因式； （6），从而运用十字相乘法可分解因式； （7），从而运用十字相乘法可分解因式； （8），从而运用十字相乘法可分解因式； （9），从而运用十字相乘法可分解因式； （10），从而运用十字相乘法可分解因式； （11），从而运用十字相乘法可分解因式； （12），从而运用十字相乘法可分解因式 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） （8） ； （9） ； （10） ； （11） （12） ． 59．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）①利用十字相乘法分解因式即可； ②利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2）① ； ② ． 60．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）阅读与思考：我们知道，整式乘法计算：，反过来，即为因式分解．通过观察发现：这个等式可以写成，一般地，可以归纳为：，例如，分解因式：， 请仔细阅读以上内容并完成下面练习：分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可； （2）根据十字相乘法进行因式分解即可； （3）先提取公因式，然后利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是掌握十字相乘法和提公因式法． 【经典计算题七 分组分解法】 61．（2025八年级上·湖南岳阳·专题练习）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和分组分解法分解因式是解题的关键．首先将原式前两项和后两项分组，进而提公因式分解因式即可得出答案． 【详解】解： ． 62．（25-26八年级上·湖南株洲·随堂练习）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是分组分解法分解因式，把原式化为，再进一步分解即可． 【详解】解：原式． 63．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查分组分解法分解因式，解题的关键正确分组，首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可得出答案． 【详解】解： ． 64．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法，提公因式分解因式． （1）先提取公因式，再分组分解，后利用提公因式即可求解； （2）先分组，再提取公因式，再次分组分解，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 65．（2025八年级上·湖南湘潭·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是合理分组，然后运用公式法（平方差公式、完全平方公式等）进行因式分解． （1）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，再提取公因式得出最终结果； （2）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，得出最终结果； （3）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，得出最终结果． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 66．（25-26八年级上·湖南益阳·课后作业）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)一题多解法：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法：提公因式法是解题的关键．注意分解因式要彻底． （1）先提公因式，化简因式后，再提公因式2即可； （2）先变形为，再提公因式即可； （3）用分组分解法分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 67．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解； （2）根据平方差公式计算即可求解； （3）根据十字相乘法分解因式即可求解； （4）分组法和提取公因式法分解因式即可求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 68．（24-25八年级上·湖南常德·阶段练习）把下列各式分解因式或计算： (1)（分解因式） (2)（分解因式） (3)（分解因式） (4)（计算 ） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了因式分解的方法，异分母分式减法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法，分组分解法等． （1）先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提公因式3，再利用十字相乘法分解即可； （3）利用分组分解法，结合提公因式，完全平方公式分解即可； （4）根据异分母分式减法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 69．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式得 解：原式 请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解： 【答案】 【分析】此题考查利用分组分解法分解因式，解题关键是首先把多项式正确的分组，然后利用公式法即可解决问题，注意分解因式要彻底，后三项一组符合完全平方公式特征，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 70．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：   这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）用分组分解法分解即可； （2）用分组分解法分解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 因式分解70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 提公因式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 题型六 十字相乘法 题型七 分组分解法 【经典计算题一 提公因式法分解因式】 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）因式分解： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）分解因式： (1) (2) 4．（25-26八年级上·湖南益阳·课前预习）运用提公因式法分解因式，简便计算：． 5．（25-26八年级上·湖南湘潭·随堂练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 6．（2025八年级上·湖南益阳·专题练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 7．（25-26八年级上·湖南永州·课后作业）把下列多项式因式分解： (1)． (2)（m，n均为大于2的整数）． 8．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）因式分解： (1) (2) (3) 9．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 10．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）先阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是_____，共应用了_______次； (2)若分解因式，则需应用上述方法_____次，结果是________； (3)分解因式：（为正整数）． 【经典计算题二 平方差公式分解因式】 11．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）计算：991×1009 12．（24-25八年级上·湖南永州·期末）分解因式：． 13．（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）因式分解： (1)； (2) 14．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）计算： (1)； (2)． 15．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）因式分解： (1)； (2)． 16．（25-26八年级上·湖南株洲·课后作业）将下列多项式因式分解： (1)． (2) 17．（24-25八年级上·湖南常德·阶段练习）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）计算： (1)________，________； (2)观察上面式子：写出的结果，并进行简单推理． 19．（2025·湖南益阳·模拟预测）（1）计算：； （2）因式分解： 小明的解题过程如下： …………………………第一步     …………………………第二步      …………………………第三步 请问小明同学第一步因式分解用到的公式是： （用字母a，b表示该公式）；小红说他的步骤有错误，并指出从第 步开始出现了错误． 请用小明的思路写出这道题正确的解法． 20．（24-25八年级上·湖南永州·期末）（1）分解因式： （2）请阅读下列材料并回答问题： 在解分式方程时，小红的解法如下： 解：方程两边都乘，得 解这个方程得 所以，是原方程的根． 请问小红的解法对吗？如果不对，请写出正确完整的分式方程的解法． 【经典计算题三 完全平方公式分解因式】 21．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）因式分解：． 22．（24-25八年级上·湖南张家界·期末）分解因式： (1) (2) 23．（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）因式分解： (1). (2). 24．（24-25八年级上·湖南湘潭·期中）因式分解： (1)； (2)． 25．（24-25八年级上·湖南永州·期中）利用因式分解进行简便计算： (1)； (2)． 26．（25-26八年级上·湖南株洲·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 27．（2025八年级上·湖南益阳·专题练习）因式分解： (1)； (2)． 28．（24-25八年级上·湖南永州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 30．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或； ③选取一次项和常数项配方： ． 根据上述材料，解决下面的问题： (1)选取一种方法对进行配方； (2)已知，求的值． 【经典计算题四 综合运用公式法分解因式】 31．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）利用因式分解计算：已知：x+y=3，x﹣y=﹣2，求(x2+y2)2﹣4x2y2的值． 32．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）分解因式． (1) (2) 33．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）因式分解： (1) (2)． 34．（24-25八年级上·湖南益阳·阶段练习）在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 35．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 36．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）将下列各式因式分解： (1) (2)． (3) (4) 37．（24-25八年级上·湖南株洲·单元测试）因式分解： (1) (2) (3) (4) ． 38．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）因式分解： (1) (2) (3) (4) 39．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）给出三个单项式：，，． （1）任选两个单项式相减，并进行因式分解； （2）利用因式分解进行计算：，其中，． 40．（2025八年级上·湖南娄底·专题练习）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解． (1)； (2)． 【经典计算题五 综合提公因式和公式法分解因式】 41．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）因式分解： 42．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）分解因式：． 43．（24-25八年级上·湖南永州·期末）因式分解： (1)； (2)． 44．（24-25八年级上·湖南常德·期中）因式分解 (1) (2) 45．（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）分解因式： (1) (2) 46．（25-26八年级上·湖南株洲·课前预习）分解因式： (1)； (2)． 47．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）分解因式： (1)； (2)． 48．（24-25八年级上·湖南益阳·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 49．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）因式分解 (1) (2) (3) (4) (5) 50．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）先因式分解，然后计算求值： (1)，其中，． (2)，其中，． 【经典计算题六 十字相乘法】 51．（24-25八年级上·湖南永州·期末）因式分解： 52．（2025八年级上·湖南张家界·专题练习）因式分解：． 53．（24-25八年级上·湖南常德·阶段练习）因式分解： 54．（24-25八年级上·湖南常德·期中）因式分解：． 55．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）分解因式： (1)； (2)． 56．（25-26八年级上·湖南株洲·课后作业）检验下列因式分解是否正确． (1)． (2)． 57．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）因式分解： (1)． (2)． (3)． 58．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）十字相乘法分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 59．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 60．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）阅读与思考：我们知道，整式乘法计算：，反过来，即为因式分解．通过观察发现：这个等式可以写成，一般地，可以归纳为：，例如，分解因式：， 请仔细阅读以上内容并完成下面练习：分解因式： (1) (2) (3) 【经典计算题七 分组分解法】 61．（2025八年级上·湖南岳阳·专题练习）因式分解：． 62．（25-26八年级上·湖南株洲·随堂练习）因式分解：． 63．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）因式分解： 64．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 65．（2025八年级上·湖南湘潭·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 66．（25-26八年级上·湖南益阳·课后作业）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)一题多解法：． 67．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 68．（24-25八年级上·湖南常德·阶段练习）把下列各式分解因式或计算： (1)（分解因式） (2)（分解因式） (3)（分解因式） (4)（计算 ） 69．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式得 解：原式 请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解： 70．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：   这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： (1) ； (2) ． 学科网（北京）股份有限公司 $$