专题01 数列综合（5大题型45题）（期末真题汇编，河南专用）高二数学下学期

**基本信息** 数列综合专题汇编，涵盖5大核心题型，精选河南多地高二期末真题，注重基础巩固与综合应用，如解答题融合证明、通项及求和，情景题融入古代环权、生态旅游等真实情境。 **题型特征** |题型|知识覆盖|命题特色| |----|----------|----------| |等差数列与等比数列的证明|定义法证明、递推关系转化|解答题多问递进，如结合通项求法与求和| |数列通项|观察法、累加法、构造法|选择填空注重递推公式应用，解答题综合等差等比性质| |数列求和|错位相减、裂项相消、分组求和|结合函数背景，考查运算能力| |数列中的最值与范围问题|单调性分析、不等式恒成立|多选形式考查等差数列前n项和最值判断| |数列情景题与新定义问题|文化传承（环权）、实际应用（旅游投入）、新定义（S数列）|融入数学史与现实问题，如冰雹猜想、等积数列|

专题01 数列综合 5大题型概览 题型01等差数列与等比数列的证明 题型02数列通项 题型03数列求和 题型04数列中的最值与范围问题 题型05数列情景题与数列新定义问题 ( 题型 01 等差数列与等比数列的证明 ) 一、解答题 1．（24-25高二下·周口市商水县·期末）已知数列满足,,． (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若,求数列的前n项和． 【解析】（1）由题设,可得,即, 又,故是首项、公比均为的等比数列,得证； （2）由（1）,则； （3）由（2）知,故,则, 所以, 所以. 2．（24-25高二下·河南省南阳市六校·期末）数列满足,.正项等比数列满足,. (1)证明数列为等差数列,并求数列的通项公式； (2)令,求数列的前项和. 【解析】（1）由题意得,,即,且, 所以是以2为首项,为公差的等差数列, ,. （2）设的公比为,,, 则,解得或（舍去）, ,. ,① ,② ①-②,得 , 所以. 3．（24-25高二下·河南省商丘市·期末）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 【解析】（1）证明：若为奇数,则是偶数,是奇数, 所以,即, 所以的奇数项是首项为,公差为3的等差数列． （2）当时, . 因为, 所以当时, . 综上所述,. 4．（24-25高二下·河南省南阳市·期末）已知数列满足,,,. (1)数列满足：,试判断是否为等比数列,请说明理由； (2)数列满足：,当时,求数列的前n项和 【解析】（1）当时不是等比数列；当时是等比数列. 理由如下： 因为,,故, 又,故, 当时,,故不是等比数列； 当时,,故是以为首项,3为公比的等比数列. （2）当时,由（1）可知,所以, 所以, 当为偶数时,； 当为奇数时,. 综上所述, 5．（24-25高二下·河南省鹤壁市·期末）已知函数,,（,且）,记. (1)求、； (2)证明是等差数列,并求的通项公式； (3)令,求数列的前项和. 【解析】（1）因为,,, 所以,. （2）因为,所以, 即,即,且, 又,所以是以为首项,为公差的等差数列, 所以. （3）, 设数列、的前项和分别为、,则, , ①, 则②, ①②,得 ,则. 因此,数列的前项和. ( 题型 0 2 数列通项 ) 一、选择题 1.（24-25高二下·河南省平顶山市·期末）数列0,,4,,…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】数列0,,4,,…,即数列,,,,…,所以该数列的一个通项公式为,故选B. 2.（24-25高二下·河南省驻马店市·期末）在数列中,已知,,,则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【解析】数列中,由,,,得,,所以,所以,因此数列是周期数列,周期为6,所以.故选B 3.（24-25高二下·河南省新未来·期末）在数列中,,且,则（   ） A．1026 B．1029 C．1032 D．1035 【答案】A 【解析】由题意可得：,,,,, 各式相加可得,因为,所以. 故选A 4.（24-25高二下·河南省焦作市·期末）已知数列,的通项公式分别为,,由,的公共项从小到大排列得到的数列为,则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 【答案】C 【解析】由题可知是首项为1,公差为4的等差数列,是首项为1,公差为5的等差数列, 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1,公差为20的等差数列,故.故选C. 5.（24-25高二下·河南省济源市·期末）已知数列满足,,,则数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】所以 , 累加得,故选C. 6.（多选）（24-25高二下·河南省南阳市·期末）已知数列满足,,,设,记数列的前项和为,数列的前n项和为,则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A,由,因,可得,,故A正确； 对于B,当,时,（*）, 因,则,故由（*）可得,则,即数列为公差为1的等差数列,则有,可得,故B正确；对于C,由,可得,上面两式相减可得,可得,故C错误； 对于D,由,,可得：, 则 ,故D正确.故选ABD. 二、填空题 7.（24-25高二下·河南省新乡市·期末）若数列满足,则__________. 【答案】 【解析】因为,,所以,,, 所以是周期为3的数列,故. 三、解答题 8.（24-25高二下·河南省焦作市·期末）已知,,都是正项数列,且满足,,的前项和. (1)若是等比数列,求的公比； (2)若是等差数列,求的通项公式； (3)在（2）的条件下,若,证明是等比数列,并求. 【解析】（1）由题意知, 设的公比为,则上式等价于, 整理得,解得（舍去）. （2）因为,所以, 因为,即,所以, 所以的公差, 所以. （3）由（2）得, 所以,两式作差得, 整理得,所以, 即,所以, 所以是首项为2,公比为2的等比数列. 所以,则, 则. 9.（24-25高二下·河南省周口市·期末）记为正项数列的前项和,且. (1)求,； (2)求的通项公式； (3)求数列的前项和. 【解析】（1）当时,,又,故, 当时,,将代入,得. （2）因为,所以, 两式相减,得,即, 故,于是是常数列, 所以,故. （3）, 故, , 两式相减,得. ( 题型 0 3 数列 求和 ) 一、选择题 1.（24-25高二下·河南省洛阳市·期末）记等差数列的前n项和为,且,,则（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】B 【解析】等差数列,且,则,所以. 故选B. 2．（24-25高二下·河南省信阳市·期末）已知数列的前n项和为,若,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知,当时,,即,当时,,则,即,,故是以为首项,3为公比的等比数列,故,故选C. 3．（24-25高二下·河南省新未来·期末）设的整数部分为,则数列的前36项的和为（   ） A．705 B．702 C．699 D．703 【答案】D 【解析】,当时,,故,当时,,故的整数部分为,所以,故数列的前36项的和为. 故选D 4．（24-25高二下·河南省南阳市九师联盟·期末）已知等比数列的前项和为,若,则（    ） A．56 B．105 C．112 D．189 【答案】B 【解析】因为成等比数列,即成等比数列,所以,解得,又,所以,解得. 故选B. 5．（多选）（24-25高二下·河南省南阳市六校·期末）已知数列则下列说法错误的是（    ） A．数列为等差数列 B．是单调递减数列 C．数列的前20项和为-698860 D．若,则 【答案】ABD 【解析】对于选项A：,易得不是等差数列,A错误；对于选项B：并非单调递减数列,B错误；对于选项C：令, 是以1为首项,4为公差的等差数列,, 是以-2为首项,4为公比的等比数列,, ,C正确；对于选项D：①若为奇数, 则, ②若为偶数,则,,∴,故,,,D错误.故选ABD 二、填空题 6.（24-25高二下·南阳市·期末）记为等比数列的前项和,若,,则______. 【答案】 【解析】因为,,又数列为等比数列,由等比数列的性质知,成等比数列,则,得到,所以 7.（24-25高二下·河南省焦作市·期末）在数列中,,且,则_____. 【答案】 【解析】由题意得,则,所以数列为常数列, 因此,即,则, 所以 . 8.（24-25高二下·河南省信阳市固始县·期末）已知数列满足．且,若,则________． 【答案】2024 【解析】因为,所以,又,则, 所以, 故,则,所以,则的各项分别为, 所以. 三、解答题 9.（24-25高二下·河南省濮阳市·期末）已知为等差数列,,,令. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前n项和. 【解析】（1）设为等差数列的公差为,则由, 又由, 所以,, （2）由于, 所以 . 10.（24-25高二下·河南驻马店市·期末）已知数列的前n项和为,且． (1)求的通项公式； (2)设,记数列的前n项和为,证明：． 【解析】（1）因为①,所以,解得, 对任意的,②, ②①得,即, 所以数列是以3为首项,2为公比的等比数列, 所以． （2）因为, 所以, 因为,数列为单调递增数列,所以, 即． 11.（24-25高二下·河南省鹿邑县·期末）已知数列满足点在直线上,且. (1)求的通项公式； (2)若,求数列的前项和. 【解析】（1）由题意得, 因为,所以, 所以是首项为3,公比为3的等比数列, 所以的通项公式是. （2）由（1）知,, 则,, 两式相减,得, 所以. ( 题型 0 4 数列中的最值与范围问题 ) 一、选择题 1.（24-25高二下·南阳市九师联盟·期末）若是等差数列,表示的前项和,,则中最大的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为,所以,因为,所以, 所以公差,故当时,,当时,,所以当时,取得最大值,即中最大的项是.故选C. 2.（24-25高二下·河南省周口市·期末）已知在数列中,,,,则中的最大项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记,由题意得,整理可得, 得,即,又,,所以,则是以为首项,为公差的等差数列,所以,当时,,即,当时,,即,所以,故中的最大项为.故选B. 3.（多选）（24-25高二下·河南省信阳市·期末）设等差数列的前n项和为,若,则（   ） A． B． C．最大时, D．的整数的最大值为 【答案】ABD 【解析】因为,所以,从而,因为,所以,A正确；,B正确；因为,所以,所以为的最大值,C错误； ,令,解得,所以整数的最大值为,D正确.故选ABD. 4.（多选）（24-25高二下·河南省驻马店市·期末）设是等差数列的前n项和,若,,则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时,最大 D．使的n的最大值为13 【答案】AC 【解析】对于AB,由题意,即,又,所以,且,则,故为递减数列,即,故A正确,B错误；由于时,,时,, 则时,最大,故C正确；由,所以使的的最大值为14,故D错误.故选AC． 5.（多选）（24-25高二下·河南省郑州市·期末）已知是公差为的等差数列的前项和,且,下列说法正确的是（    ） A． B．数列的最小项为 C． D．能使时的最大值为15 【答案】BC 【解析】在等差数列中,由,得, 对于A,,A错误；对于B,数列是递增数列,前8项均为负,从第9项起为正,则数列的最小项为,B正确；对于C,由,得,因此,C正确；对于D,由,得,D错误.故选BC. 二、填空题 6.（24-25高二下·河南省开封市·期末）已知数列的前n项和,若,则的最小值为___________． 【答案】 【解析】当时,；当时,根据.当时,上式也满足,故,若,则,当且仅当时取等号.所以的最小值为. 7.（24-25高二下·河南省三门峡市·期末）已知公比为的等比数列满足,且,,则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】由,得时,；时,,由,得,所以, 若,可得,可得,则,此时,；若,则,此时,,矛盾.综上所述,的取值范围是. 8.（24-25高二下·河南省洛阳市·期末）已知数列的前项的积为,且,则满足的最小正整数的值为______． 【答案】 【解析】当时,有,所以；当时,由,得,即,则有数列是等差数列,其中公差为,首项为,可得,即,所以, 若,则,即,因为数列是单调递增数列,且当时,；当时,,所以满足的最小正整数的值为． 9.（24-25高二下·部分名校·期末）．已知数列的通项公式为,其前项和为,不等式对任意的恒成立,则的最小值为__________. 【答案】 【解析】由题意可得,当为奇数时,,随着值的增大而减小,所以,当为偶数时,,随着值的增大而增大, 所以,所以,又因为函数在上单调递增, 所以当,时,,所以,所以的最小值为. 三、解答题 10.（24-25高二下·河南省新未来·期末）设同时满足条件：①；②（是常数）的无穷数列叫敞数列．已知数列的前项和满足． (1)证明：是数列； (2)若,数列的前项和为,求使得的最小正整数的值． 【解析】（1）当时,,解得, 当时,,整理得, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列,即, 因为, 所以数列满足条件①, 因为数列公比,所以数列单调递减,即, 故数列满足条件②, 所以是数列得证； （2）由（1）可知, , , 两式相减得, 所以,化简得 很显然数列单调递增, 当时,, 当时,, 当时,, 所以要使得成立的最小正整数的值为. ( 题型 0 5 数列情景题与数列新定义问题 ) 一、选择题 1．（24-25高二下·河南省商丘市·期末）权是中国古代度量衡器具之一,“权”（秤锤）与“衡”（秤杆）配合使用,用于测量物体的重量．古代楚国的权通常是环形秤锤,这些权通常由铜或铁制成,并且常常由十个组成一套（如图所示）．已知十枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为10的数列,该数列的前3项成等差数列,后8项成等比数列,且,则（   ） A．25 B．24 C．16 D．8 【答案】A 【解析】因为的后8项成等比数列,且,设其公比为,则,解得（－2舍去）,所以,.又因为的前3项成等差数列,所以, 解得,所以.故选A. 2．（24-25高二下·河南省南阳市六校联考·期末）通常情况下,海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是,崎角尖的气温是,则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【解析】由题知崎角尖相对于山脚的高度是米,故选C. 3．（24-25高二下·河南省安阳市·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库,被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”,分为6层,对每一层来说,上一层的数量是该层的2倍,则从下往上数,第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【解析】由题意,从下往上“浮雕像”的数量成等比数列,设为,则,公比,所以,所以,所以第4层“浮雕像”的数量为.故选C. 4．（24-25高二下·河南省洛阳市·期末）任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1；若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数,根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数）,,当时,（   ） A．92 B．106 C．113 D．120 【答案】A 【解析】依题意,,故, 又,所以．所以．故选A. 5．（24-25高二下·河南省南阳市六校联考·期末）记无穷数列的前项和为.若对任意的正整数,总存在某一项,使得,则称是“S数列”.下列说法正确的是（   ） A．若,则是“S数列” B．若,则是“S数列” C．若,则是“S数列” D．若是首项,公差的等差数列,且是“S数列”,则 【答案】ABC 【解析】A选项,,故,故对任意的正整数,总存在某一项,使得,故是“S数列”,A正确；B选项,,则,故此时为等差数列, ,由于,故对任意的正整数,总存在当时,使得,B正确；C选项,若,当时,,当时,, 显然不满足,故,对任意的正整数,总存在,使得,C正确； D选项,是首项,公差的等差数列,故,, 对任意的正整数,总存在某一项,使得,即,整理得,需要满足,显然,故, 所以,D错误.故选ABC. 6．（24-25高二下·河南省濮阳市·期末）已知是公差为d的等差数列,,,其中表示不小于x的最小整数,则下列结论正确的是（    ） A．若,,则 B．若,则, C．若,,则d的取值范围是 D．若,,则d的取值范围是 【答案】ABD 【解析】对于A,因,,则,,则,故A正确；对于B,因,则恒为整数,因,故得,,即B正确；对于C,因,则,因, 则,又,则,①若,即,则,,,不满足题意, ②若,即,此时,, ,满足题意.③若时,,, ,不满足题意．综上分析,可得,故C错误．对于D,因,则,则,则,因,,则,又,故,故在且上恒成立,即对于且恒成立,而单调递增,故,故得,即D正确. 故选ABD. 二、填空题 7．（24-25高二下·河南省许昌市·期末）在数列中,如果,都有（为常数）,那么这个数列叫做等积数列,叫做这个数列的公积．已知是等积数列,,公积为4,则______． 【答案】3375 【解析】由,且,则,同理解得,, 由题意可得下表： 数列的最小正周期,由,则． 三、解答题 8.（24-25高二下·河南省周口市沈丘县·期末）总书记说：“绿水青山就是金山银山.”某地积极响应号召,投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,2019年投入1000万元,以后每年投入将比上一年减少,本年度当地旅游业收入估计为500万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加. (1)设n年内（2019年为第一年）总投入为万元,旅游业总收入为万元,写出,的表达式. (2)至少到哪一年,旅游业的总收入才能超过总投入？ 参考数据：,,. 【解析】（1）由题可知2019年的投入为1000万元,第n年的投入为万元, 所以n年内的总投入为 . 2019年旅游业收入为500万元,第n年旅游业收入为万元, 所以n年内的旅游业总收入为 . （2）设至少经过n年,旅游业的总收入才能超过总投入, 则,即, 令,则. 将代入上式并化简得,即, 解得或（舍去）,即, 不等式两边同时取常用对数得, 所以, 所以,故至少到2023年,旅游业的总收入才能超过总投入. 9.（24-25高二下·河南省TOP二十名校·期末）若数列对于任意的,满足（为非零常数）,称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”,数列是“型数列”,且. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项的和,求数列的前项的和； (3)若,是否存在实数,使得数列为“型数列”？若存在,求出的值；若不存在,说明理由. 【解析】（1）因为为“型数列”,所以, 即,所以数列是等差数列, 又,所以的公差为, 故数列的通项公式为. 因为数列是“型数列”,所以, 则,两式相减,得, 当时,,所以, 由得,, 当时,,所以, 综上可得, 故数列是以1为首项,2为公比的等比数列,因此. （2）由（1）可得,, 设, 当为正奇数时,, 故数列的前项的和为 . （3）由,得,① 所以,② 由①－②,得, 所以, 则, 假设存在实数,使得数列为“型数列”,则, 即, 整理得, 所以解得,不满足为非零常数, 因此不存在实数,使得数列为“型数列” 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列综合 5大题型概览 题型01等差数列与等比数列的证明 题型02数列通项 题型03数列求和 题型04数列中的最值与范围问题 题型05数列情景题与数列新定义问题 ( 题型 01 等差数列与等比数列的证明 ) 1.【解析】（1）由题设,可得,即, 又,故是首项、公比均为的等比数列,得证； （2）由（1）,则； （3）由（2）知,故,则, 所以, 所以. 2.【解析】（1）由题意得,,即,且, 所以是以2为首项,为公差的等差数列, ,. （2）设的公比为,,, 则,解得或（舍去）, ,. ,① ,② ①-②,得 , 所以. 3.【解析】（1）证明：若为奇数,则是偶数,是奇数, 所以,即, 所以的奇数项是首项为,公差为3的等差数列． （2）当时, . 因为, 所以当时, . 综上所述,. 4.【解析】（1）当时不是等比数列；当时是等比数列. 理由如下： 因为,,故, 又,故, 当时,,故不是等比数列； 当时,,故是以为首项,3为公比的等比数列. （2）当时,由（1）可知,所以, 所以, 当为偶数时,； 当为奇数时,. 综上所述, 5.【解析】（1）因为,,, 所以,. （2）因为,所以, 即,即,且, 又,所以是以为首项,为公差的等差数列, 所以. （3）, 设数列、的前项和分别为、,则, , ①, 则②, ①②,得 ,则. 因此,数列的前项和. ( 题型 0 2 数列通项 ) 1 2 3 4 5 6 B B A C C ABD 7. 8.【解析】（1）由题意知, 设的公比为,则上式等价于, 整理得,解得（舍去）. （2）因为,所以, 因为,即,所以, 所以的公差, 所以. （3）由（2）得, 所以,两式作差得, 整理得,所以, 即,所以, 所以是首项为2,公比为2的等比数列. 所以,则, 则. 9.【解析】（1）当时,,又,故, 当时,,将代入,得. （2）因为,所以, 两式相减,得,即, 故,于是是常数列, 所以,故. （3）, 故, , 两式相减,得. ( 题型 0 3 数列 求和 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 B C D B ABD 6. 7. 8.2024 9.【解析】（1）设为等差数列的公差为,则由, 又由, 所以,, （2）由于, 所以 . 10.【解析】（1）因为①,所以,解得, 对任意的,②, ②①得,即, 所以数列是以3为首项,2为公比的等比数列, 所以． （2）因为, 所以, 因为,数列为单调递增数列,所以, 即． 11.【解析】（1）由题意得, 因为,所以, 所以是首项为3,公比为3的等比数列, 所以的通项公式是. （2）由（1）知,, 则,, 两式相减,得, 所以. ( 题型 0 4 数列中的最值与范围问题 ) 1 2 3 4 5 C B ABD AC BC 6. 7. 8. 9. 10.【解析】（1）当时,,解得, 当时,,整理得, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列,即, 因为, 所以数列满足条件①, 因为数列公比,所以数列单调递减,即, 故数列满足条件②, 所以是数列得证； （2）由（1）可知, , , 两式相减得, 所以,化简得 很显然数列单调递增, 当时,, 当时,, 当时,, 所以要使得成立的最小正整数的值为. ( 题型 0 5 数列情景题与数列新定义问题 ) 1 2 3 4 5 6 A C C A ABC ABD 7． 3375 8.【解析】（1）由题可知2019年的投入为1000万元,第n年的投入为万元, 所以n年内的总投入为 . 2019年旅游业收入为500万元,第n年旅游业收入为万元, 所以n年内的旅游业总收入为 . （2）设至少经过n年,旅游业的总收入才能超过总投入, 则,即, 令,则. 将代入上式并化简得,即, 解得或（舍去）,即, 不等式两边同时取常用对数得, 所以, 所以,故至少到2023年,旅游业的总收入才能超过总投入. 9.【解析】（1）因为为“型数列”,所以, 即,所以数列是等差数列, 又,所以的公差为, 故数列的通项公式为. 因为数列是“型数列”,所以, 则,两式相减,得, 当时,,所以, 由得,, 当时,,所以, 综上可得, 故数列是以1为首项,2为公比的等比数列,因此. （2）由（1）可得,, 设, 当为正奇数时,, 故数列的前项的和为 . （3）由,得,① 所以,② 由①－②,得, 所以, 则, 假设存在实数,使得数列为“型数列”,则, 即, 整理得, 所以解得,不满足为非零常数, 因此不存在实数,使得数列为“型数列” 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列综合 5大题型概览 题型01等差数列与等比数列的证明 题型02数列通项 题型03数列求和 题型04数列中的最值与范围问题 题型05数列情景题与数列新定义问题 ( 题型 01 等差数列与等比数列的证明 ) 一、解答题 1．（24-25高二下·周口市商水县·期末）已知数列满足,,． (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若,求数列的前n项和． 2．（24-25高二下·河南省南阳市六校·期末）数列满足,.正项等比数列满足,. (1)证明数列为等差数列,并求数列的通项公式； (2)令,求数列的前项和. 3．（24-25高二下·河南省商丘市·期末）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 4．（24-25高二下·河南省南阳市·期末）已知数列满足,,,. (1)数列满足：,试判断是否为等比数列,请说明理由； (2)数列满足：,当时,求数列的前n项和 5．（24-25高二下·河南省鹤壁市·期末）已知函数,,（,且）,记. (1)求、； (2)证明是等差数列,并求的通项公式； (3)令,求数列的前项和. ( 题型 0 2 数列通项 ) 一、选择题 1.（24-25高二下·河南省平顶山市·期末）数列0,,4,,…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二下·河南省驻马店市·期末）在数列中,已知,,,则（    ） A．3 B． C．6 D． 3.（24-25高二下·河南省新未来·期末）在数列中,,且,则（   ） A．1026 B．1029 C．1032 D．1035 4.（24-25高二下·河南省焦作市·期末）已知数列,的通项公式分别为,,由,的公共项从小到大排列得到的数列为,则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 5.（24-25高二下·河南省济源市·期末）已知数列满足,,,则数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 6.（多选）（24-25高二下·河南省南阳市·期末）已知数列满足,,,设,记数列的前项和为,数列的前n项和为,则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7.（24-25高二下·河南省新乡市·期末）若数列满足,则__________. 三、解答题 8.（24-25高二下·河南省焦作市·期末）已知,,都是正项数列,且满足,,的前项和. (1)若是等比数列,求的公比； (2)若是等差数列,求的通项公式； (3)在（2）的条件下,若,证明是等比数列,并求. 9.（24-25高二下·河南省周口市·期末）记为正项数列的前项和,且. (1)求,； (2)求的通项公式； (3)求数列的前项和. ( 题型 0 3 数列 求和 ) 一、选择题 1.（24-25高二下·河南省洛阳市·期末）记等差数列的前n项和为,且,,则（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 2．（24-25高二下·河南省信阳市·期末）已知数列的前n项和为,若,则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南省新未来·期末）设的整数部分为,则数列的前36项的和为（   ） A．705 B．702 C．699 D．703 4．（24-25高二下·河南省南阳市九师联盟·期末）已知等比数列的前项和为,若,则（    ） A．56 B．105 C．112 D．189 5．（多选）（24-25高二下·河南省南阳市六校·期末）已知数列则下列说法错误的是（    ） A．数列为等差数列 B．是单调递减数列 C．数列的前20项和为-698860 D．若,则 二、填空题 6.（24-25高二下·南阳市·期末）记为等比数列的前项和,若,,则______. 7.（24-25高二下·河南省焦作市·期末）在数列中,,且,则_____. 8.（24-25高二下·河南省信阳市固始县·期末）已知数列满足．且,若,则________． 三、解答题 9.（24-25高二下·河南省濮阳市·期末）已知为等差数列,,,令. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前n项和. 10.（24-25高二下·河南驻马店市·期末）已知数列的前n项和为,且． (1)求的通项公式； (2)设,记数列的前n项和为,证明：． 11.（24-25高二下·河南省鹿邑县·期末）已知数列满足点在直线上,且. (1)求的通项公式； (2)若,求数列的前项和. ( 题型 0 4 数列中的最值与范围问题 ) 一、选择题 1.（24-25高二下·南阳市九师联盟·期末）若是等差数列,表示的前项和,,则中最大的项是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二下·河南省周口市·期末）已知在数列中,,,,则中的最大项是（   ） A． B． C． D． 3.（多选）（24-25高二下·河南省信阳市·期末）设等差数列的前n项和为,若,则（   ） A． B． C．最大时, D．的整数的最大值为 4.（多选）（24-25高二下·河南省驻马店市·期末）设是等差数列的前n项和,若,,则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时,最大 D．使的n的最大值为13 5.（多选）（24-25高二下·河南省郑州市·期末）已知是公差为的等差数列的前项和,且,下列说法正确的是（    ） A． B．数列的最小项为 C． D．能使时的最大值为15 二、填空题 6.（24-25高二下·河南省开封市·期末）已知数列的前n项和,若,则的最小值为___________． 7.（24-25高二下·河南省三门峡市·期末）已知公比为的等比数列满足,且,,则的取值范围为_______． 8.（24-25高二下·河南省洛阳市·期末）已知数列的前项的积为,且,则满足的最小正整数的值为______． 9.（24-25高二下·部分名校·期末）．已知数列的通项公式为,其前项和为,不等式对任意的恒成立,则的最小值为__________. 三、解答题 10.（24-25高二下·河南省新未来·期末）设同时满足条件：①；②（是常数）的无穷数列叫敞数列．已知数列的前项和满足． (1)证明：是数列； (2)若,数列的前项和为,求使得的最小正整数的值． ( 题型 0 5 数列情景题与数列新定义问题 ) 一、选择题 1．（24-25高二下·河南省商丘市·期末）权是中国古代度量衡器具之一,“权”（秤锤）与“衡”（秤杆）配合使用,用于测量物体的重量．古代楚国的权通常是环形秤锤,这些权通常由铜或铁制成,并且常常由十个组成一套（如图所示）．已知十枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为10的数列,该数列的前3项成等差数列,后8项成等比数列,且,则（   ） A．25 B．24 C．16 D．8 2．（24-25高二下·河南省南阳市六校联考·期末）通常情况下,海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是,崎角尖的气温是,则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（24-25高二下·河南省安阳市·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库,被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”,分为6层,对每一层来说,上一层的数量是该层的2倍,则从下往上数,第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 4．（24-25高二下·河南省洛阳市·期末）任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1；若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数,根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数）,,当时,（   ） A．92 B．106 C．113 D．120 5．（24-25高二下·河南省南阳市六校联考·期末）记无穷数列的前项和为.若对任意的正整数,总存在某一项,使得,则称是“S数列”.下列说法正确的是（   ） A．若,则是“S数列” B．若,则是“S数列” C．若,则是“S数列” D．若是首项,公差的等差数列,且是“S数列”,则 6．（24-25高二下·河南省濮阳市·期末）已知是公差为d的等差数列,,,其中表示不小于x的最小整数,则下列结论正确的是（    ） A．若,,则 B．若,则, C．若,,则d的取值范围是 D．若,,则d的取值范围是 二、填空题 7．（24-25高二下·河南省许昌市·期末）在数列中,如果,都有（为常数）,那么这个数列叫做等积数列,叫做这个数列的公积．已知是等积数列,,公积为4,则______． 三、解答题 8.（24-25高二下·河南省周口市沈丘县·期末）总书记说：“绿水青山就是金山银山.”某地积极响应号召,投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,2019年投入1000万元,以后每年投入将比上一年减少,本年度当地旅游业收入估计为500万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加. (1)设n年内（2019年为第一年）总投入为万元,旅游业总收入为万元,写出,的表达式. (2)至少到哪一年,旅游业的总收入才能超过总投入？ 参考数据：,,. 9.（24-25高二下·河南省TOP二十名校·期末）若数列对于任意的,满足（为非零常数）,称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”,数列是“型数列”,且. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项的和,求数列的前项的和； (3)若,是否存在实数,使得数列为“型数列”？若存在,求出的值；若不存在,说明理由. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $