四川安岳中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 聚焦立体几何与解三角形核心内容，融入黄河大桥测量、费马点等真实情境，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查空间观念、运算能力与模型意识，适配高二年级期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直观图面积、棱台高、解三角形形状判断|第4题以黄河大桥测量为背景，考查几何直观与运算求解| |多选题|3/18|复数性质、圆锥侧面展开、三角形外接圆|第10题结合圆锥动态动点，考查空间想象与逻辑推理| |填空题|3/15|向量模范围、三角函数图像变换|第13题正方形动点向量问题，体现数学抽象与几何直观| |解答题|5/77|向量垂直、长方体体积、费马点应用|第19题费马点综合问题，融合解三角形与创新应用，考查数学思维与模型意识|

安岳中学高2025级第二学期半期考试 数 学 试 卷 考试时间：120分钟； 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1． 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A． B． C． D． 2． 已知向量，，且，则等于（ ） A． B． C．10 D． 3． 下列说法正确的是（ ） A．棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体 B．圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的 C．用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台 D．棱台的所有侧棱所在直线交于同一点 4． 数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（ ） A． B． C． D． 5． 如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（ ）    A． B． C． D． 6． 已知为锐角，，，则=（   ） A． B． C． D．或 7． 在中的角的对应边分别为，且则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 8． 在中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（    ） A．若满足，的有两解，则a的取值范围为 B．若 为锐角三角形，且，则的取值范围是 C．若则是的外心 D．若点O为内一点，且，则 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9． 下列说法正确的是（   ） A． B．若是关于的方程的根，则 C．若复数满足，则的最大值和最小值的和为 D．若，则 10． 如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 D．三棱锥的体积的最大值为 11． 满足，且，则（   ） A．的周长为 B．三个内角满足关系 C．若的角平分线与交于，则的长为 D．设为外接圆上任意一点，则的最大值为 三、填空题（共15分） 12．若复数，则______. 13．边长为1的正方形ABCD上有一动点，则向量的范围是___________． 14．已知函数的图象如图所示，点在的图象上，且，若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则m的取值范围是___________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知向量=(-1,2)，=(m,1)，且与垂直． （1）求； （2）若与互相垂直，求实数的值． 16．（本题15分）如图，长方体的三条棱的长分别为． （1）将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，求剩下的几何体的体积； （2）求长方体外接球的体积和表面积． 17．（本题15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，的中点为M. （1）求B； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 18．（本题17分）． （1）求的值； （2）求在上的值域； （3） 将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数a的最大值． 19．（本题17分）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在锐角中，角的对边分别为，且．若是锐角的“费马点”，． （1）求角； （2）若；求的面积； （3）若，且． ①求的周长； ②求的值． 安岳中学高2025级第二学期半期考试 数学答案 一、单选题 CDDB DABC 二、多选题 9.BCD 10.ACD 11.ABD 三、填空题 12. 13. 14. 四、解答题 15.(1) 5 (2)-2 16. 【答案】(1) (2)体积为，表面积为 【详解】（1）在长方体中，． 则． ， 所以剩余部分的体积为． （2）长方体的体对角线长为， 设长方体的外接球的半径为，可得，即， 所以外接球的体积为， 表面积为． 17. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由，得， 又，所以， 所以，. （2）在中，由正弦定理得， 所以，. 由的中点为M，得， 所以 . 因为为锐角三角形，所以，得， 则，所以，， 则， 故的取值范围是. 18. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2） 时，，故． 即在上的值域为． （3）将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数， 则 ， 令，因为，所以. 则不等式对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 整理得，因为，所以， 则； 令，，，， 由于，故，则， 因此， 当且仅当，即时取到等号， 所以.所以， 即实数的取值范围是. 19.【答案】 ①； 【详解】（）由结合正弦定理可得， ， ， 为锐角三角形， ． （）中，且， 为正三角形，边长， 费马点满足，且等边三角形费马点与重心、垂心重合， 设，由余弦定理，， 即，故，解得， 的面积． （）①设，由费马点性质，，故 ． ， 由得： ，即， 由余弦定理得，， 即，即， 又，联立，解得， 的周长为； ②由在中，由余弦定理得， 联立可得， 则， 即， ． 高一（下）半期考试 数学试卷 第4页，共5页 试卷第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $