精品解析：河南郑州市中牟县2025-2026学年九年级下学期第二次教学质量监测数学试题

2025-2026学年九年级第二次教学质量监测 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 2. 下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载吨的货物，数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，则木条绕点顺时针旋转的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则、，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 以下一元二次方程中有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 8. 按如图所示的规律图案：图①中有4个圆点，图②中有8个圆点，图③中有12个圆点，图④中有16个圆点．按照这一规律，则图⑨中圆点的个数是（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 40 9. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处．若，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使代数式有意义的的值：__________． 12. 分解因式：______ 13. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为__________． 14. 如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．图中阴影部分的面积为__________． 15. 如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则线段的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 陌上春风至，枝头花正开．为感受春日盛景，某校九年级一班计划组织学生春游，初步筛选出两个备选地点：甲地（森林公园），乙地（游乐园）．为了做出合理的选择，班委统计了全班40名同学对这两个地点的意向评分（满分10分，分数越高表示越想去），同时记录了上个月10位同学从学校到两个地点的交通时间（单位：分钟），调查结果整理如下： 意向评分统计表 统计量 平均数 中位数 众数 方差 甲地 7.9 8 8 1.7 乙地 7.6 7 9 2.1 交通时间统计图 根据以上信息，回答下列问题． （1）交通时间更稳定的是__________地（填“甲”或“乙”）． （2）综合意向评分和交通时间，你会推荐哪个春游地点？请说明理由． （3）为了从甲、乙两地中选出更合适的春游地点，你认为还应收集什么信息（写出一条即可）？ 18. 如图，在中，点，分别在边和上，对角线交于点，．若__________则四边形是菱形． 请从①，②平分，③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 19. 如图，直线：与反比例函数的图象交于点． （1）求，的值． （2）将直线向上平移，在轴上方与反比例函数图象交于点，连接，．当时，求直线平移的距离． 20. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．现有甲、乙两种型号的机器人可供选择，每台价格分别为5万元、3万元．调查发现，这两种型号机器人每小时分拣快递量共1800件，甲4小时分拣的快递量与乙5小时分拣的快递量相同． （1）求甲、乙两种型号机器人每小时分拣的快递量． （2）快递公司计划购买这两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8500件，问购买几台甲型号机器人能使所花的总费用最少？ 21. 中牟寿圣寺双塔是两座造型独特的宋代佛塔（如图（1））．某综合实践小组测量双塔的高度，如图（2），东塔和西塔的水平距离是，在处用测角仪测得东塔的顶端的仰角为，沿方向前进到达处．此时，西塔顶端、东塔顶端、测角仪顶端在同一条直线上，且测角仪的读数为．已知测角仪的高度为．点，，，在同一水平线上．求双塔和的高度（结果精确到．参考数据：，，，，，）． 22. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁两钢缆与具有相同的抛物线形状．如图，以桥面水平方向为轴，以两钢缆主塔为轴，建立平面直角坐标系．已知所在抛物线与所在抛物线关于轴对称，钢缆的最低点到桥面的距离是，两钢缆最低点，之间的距离是，． （1）求钢缆所在抛物线的函数表达式． （2）为了提升桥梁的稳定性，现需要在钢缆的处（点右侧）与桥面之间加装一根垂直于桥面的加劲梁．已知加劲梁的长为，求加劲梁与主塔的水平距离． （3）在（2）的条件下，若在主塔上安装一个装饰物，使最小，请在图中画出点． 23. 综合与实践：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆． 【探究】要确定三角形的最小覆盖圆，可以将其转化为线段的最小覆盖圆．比如直角三角形，先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆． （1）请用圆规和无刻度的直尺在图（1）中作出的最小覆盖圆． 应用：如图（2），正方形的边长为6，在边上截取，以为边在上方作正方形． （2）连接，，经过，，三点（是的最小覆盖圆），且与边，分别交于点，，求的直径． （3）将正方形绕点顺时针旋转，分别取，，，的中点，，，，顺次连接各中点，得到四边形（如图（3））．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径的值是否发生变化？如果不变，直接写出的值；如果变化，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第二次教学质量监测 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 整数和分数统称为有理数，无理数是无限不循环小数； ∴ 是整数，属于有理数，故A不符合题意； 是整数，属于有理数，故B不符合题意； 是有限小数，属于分数，是有理数，故C不符合题意； 是无限不循环小数，是无理数． 2. 下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题涉及的知识点是，几何体的三视图，主视图是从物体正面观察得到的视图，俯视图是从物体上面观察得到的视图． 【详解】解：A、圆柱：主视图是长方形，俯视图是圆，两者不相同，此选项不符合题意； B、圆锥：主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，两者不相同，此选项不符合题意； C、球：无论从哪个方向看，视图都是圆，所以主视图和俯视图相同，此选项符合题意； D、四棱柱：主视图是带虚线的长方形，俯视图是四边形，两者不相同，此选项不符合题意． 3. 我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载吨的货物，数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 4. 如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，则木条绕点顺时针旋转的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，即可得出使木条与平行，则木条绕点顺时针旋转的度数是． 【详解】解：当， 则， 故， 即要使木条与平行，则木条绕点顺时针旋转的度数是． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再表示在数轴上即可解答； 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则、，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断比例系数的符号，再根据各点横坐标的范围判断函数值的正负，结合反比例函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵由题可知， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限，且每个象限内y随x的增大而减小， ∵ 点的横坐标， ∴ A在第三象限，可得， ∵，点B，C都在第一象限， ∴， 综上可得． 7. 以下一元二次方程中有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断根的情况，当时，方程有两个相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：A. 方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B. 方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，符合题意； C. 方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D. 方程中，， ， 方程没有实数根，不符合题意． 8. 按如图所示的规律图案：图①中有4个圆点，图②中有8个圆点，图③中有12个圆点，图④中有16个圆点．按照这一规律，则图⑨中圆点的个数是（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑨个图中圆点的个数是个． 9. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，推出，然后结合折叠的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∴ 由折叠得， ∴ 由折叠得， ∴． 10. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形，根据运动轨迹可得的面积先增大，再减小，当点P运动到点时，的面积最大，此时的面积为，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答，得到当点P运动到点时，的面积最大是解题的关键． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中， 的面积先增大，再减小， 当点P运动到点时，的面积最大， 根据函数图象可得此时的面积为， 如图， ， 点D为边的中点，等腰直角三角形, ， 可得， 当点P运动到的中点时，如图， ， 点D为边的中点， ， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使代数式有意义的的值：__________． 【答案】2（即可） 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，先确定的取值范围，再在取值范围内任取一个符合要求的值即可． 【详解】解：代数式有意义，则， 解得， 则的值可以是（答案不唯一）． 12. 分解因式：______ 【答案】． 【解析】 【详解】提取公因式法和应用公式法因式分解． 【分析】． 13. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为， 列表如下： 10 20 30 40 10 30 40 50 20 30 50 60 30 40 50 70 40 50 60 70 ∴共有12种可能结果，其中使天平恢复平衡的有2种， ∴天平恢复平衡的概率为． 14. 如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．图中阴影部分的面积为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得，由勾股定理得出，然后根据求解即可． 【详解】解：由题意得， 由勾股定理得， ∴， 圆的面积为，扇形面积为， ， ∴ 15. 如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则线段的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】过F点作，交的延长线于G点，交于H点，如图，设，易得四边形为矩形，所以，再根据旋转的性质得到，接着证明得到，则，然后在中利用勾股定理得到，于是解方程得到的长． 【详解】解：过F点作，交的延长线于G点，交于H点，如图，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 解得， ∴的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 陌上春风至，枝头花正开．为感受春日盛景，某校九年级一班计划组织学生春游，初步筛选出两个备选地点：甲地（森林公园），乙地（游乐园）．为了做出合理的选择，班委统计了全班40名同学对这两个地点的意向评分（满分10分，分数越高表示越想去），同时记录了上个月10位同学从学校到两个地点的交通时间（单位：分钟），调查结果整理如下： 意向评分统计表 统计量 平均数 中位数 众数 方差 甲地 7.9 8 8 1.7 乙地 7.6 7 9 2.1 交通时间统计图 根据以上信息，回答下列问题． （1）交通时间更稳定的是__________地（填“甲”或“乙”）． （2）综合意向评分和交通时间，你会推荐哪个春游地点？请说明理由． （3）为了从甲、乙两地中选出更合适的春游地点，你认为还应收集什么信息（写出一条即可）？ 【答案】（1）甲 （2）方法一：选甲地，理由见解析；方法二：选乙地，理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据折线统计图直接求解即可； （2）根据平均数，中位数，众数及方差进行求解即可； （3）由题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知：甲的交通时间波动比乙的交通时间波动要小，所以交通时间更稳定的是甲地； 【小问2详解】 解：方法一：选甲地，理由如下： 同学们对甲地意向评分的平均数、中位数均比乙地高，且方差小，意见更一致； 且甲地交通时间更稳定，波动小，便于统一安排． 方法二：选乙地，理由如下： 乙地虽然平均数、中位数比甲低，但众数高；乙地交通时间存在极端值， 但大部分比甲地用时短．（答案不唯一） 【小问3详解】 解：收集每个地点的门票费用、园内餐饮情况等．（答案不唯一） 18. 如图，在中，点，分别在边和上，对角线交于点，．若__________则四边形是菱形． 请从①，②平分，③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】选择条件①：先证四边形是平行四边形，再结合即可证明；选择条件②：同理先证四边形是平行四边形，再结合角平分线的性质及平行四边形的性质可得，继而得证． 【详解】解：选择条件①．理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 选择条件②．理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵平分． ∴． 又， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是菱形． 19. 如图，直线：与反比例函数的图象交于点． （1）求，的值． （2）将直线向上平移，在轴上方与反比例函数图象交于点，连接，．当时，求直线平移的距离． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）先根据反比例函数解析式得出，然后再代入一次函数解析式求解即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，由题意易得，则有，然后可得．设，，点，则有，进而可得平移后的解析式为，最后问题可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将代入，得． ∵直线：经过点， ∴将代入，得， ∴． 【小问2详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 由（1）可知，则有， ∴． ∴设，，点． ∴将代入，得， ∴或（不符合题意，舍去）． ∴． 设平移后的直线：， 将代入，得， ∴． ∴直线平移的距离：． 20. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．现有甲、乙两种型号的机器人可供选择，每台价格分别为5万元、3万元．调查发现，这两种型号机器人每小时分拣快递量共1800件，甲4小时分拣的快递量与乙5小时分拣的快递量相同． （1）求甲、乙两种型号机器人每小时分拣的快递量． （2）快递公司计划购买这两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8500件，问购买几台甲型号机器人能使所花的总费用最少？ 【答案】（1）甲型号机器人每小时分拣的快递量是1000件，乙型号机器人每小时分拣的快递量是800件． （2）购买3台甲型号机器人能使所花的总费用最少． 【解析】 【分析】（1）设甲型号机器人每小时分拣的快递量是件，乙型号机器人每小时分拣的快递量是件，再根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买台甲型号机器人，则购买乙机器人台，先列不等式求出的取值范围，再设购买两种型号机器人总费用为万元，得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲型号机器人每小时分拣的快递量是件，乙型号机器人每小时分拣的快递量是件． 根据题意，得， 解得， 答：甲型号机器人每小时分拣的快递量是1000件，乙型号机器人每小时分拣的快递量是800件． 【小问2详解】 解：设购买台甲型号机器人，则购买乙机器人台． 根据题意，得， ． 设购买两种型号机器人总费用为万元，则 ． ， 随的增大而增大， 当时，最小． 答：购买3台甲型号机器人能使所花的总费用最少． 21. 中牟寿圣寺双塔是两座造型独特的宋代佛塔（如图（1））．某综合实践小组测量双塔的高度，如图（2），东塔和西塔的水平距离是，在处用测角仪测得东塔的顶端的仰角为，沿方向前进到达处．此时，西塔顶端、东塔顶端、测角仪顶端在同一条直线上，且测角仪的读数为．已知测角仪的高度为．点，，，在同一水平线上．求双塔和的高度（结果精确到．参考数据：，，，，，）． 【答案】东塔的高度约为，西塔的高度约为． 【解析】 【分析】延长交于点，交于点，易得四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，得到，再设，分别在、、中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：延长交于点，交于点， 则，， 所以四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形． ，，，． 设，在中，， ． 在中，， , ， ． ． 在中，，， ， ． 答：东塔的高度约为，西塔的高度约为． 22. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁两钢缆与具有相同的抛物线形状．如图，以桥面水平方向为轴，以两钢缆主塔为轴，建立平面直角坐标系．已知所在抛物线与所在抛物线关于轴对称，钢缆的最低点到桥面的距离是，两钢缆最低点，之间的距离是，． （1）求钢缆所在抛物线的函数表达式． （2）为了提升桥梁的稳定性，现需要在钢缆的处（点右侧）与桥面之间加装一根垂直于桥面的加劲梁．已知加劲梁的长为，求加劲梁与主塔的水平距离． （3）在（2）的条件下，若在主塔上安装一个装饰物，使最小，请在图中画出点． 【答案】（1）． （2）． （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，拱桥问题，解题的关键是理解题意，将实际问题抽象成二次函数模型来求解． （1）根据题意可得所在抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，再将代入求解即可； （2）所在抛物线与所在抛物线关于轴对称可得所在抛物线的函数解析式，再将代入求解即可； （3）根据题意轴对称的性质可得，，则，即当三点共线时，最小． 【小问1详解】 解：由题意可得，所在抛物线的顶点坐标为， 设所在抛物线的函数表达式为． ， ， 将代入得，． 所在抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：所在抛物线与所在抛物线关于轴对称， 所在抛物线的函数表达式为． ， 令，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 加劲梁与主塔的水平距离是． 【小问3详解】 解：点如图所示． 23. 综合与实践：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆． 【探究】要确定三角形的最小覆盖圆，可以将其转化为线段的最小覆盖圆．比如直角三角形，先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆． （1）请用圆规和无刻度的直尺在图（1）中作出的最小覆盖圆． 应用：如图（2），正方形的边长为6，在边上截取，以为边在上方作正方形． （2）连接，，经过，，三点（是的最小覆盖圆），且与边，分别交于点，，求的直径． （3）将正方形绕点顺时针旋转，分别取，，，的中点，，，，顺次连接各中点，得到四边形（如图（3））．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径的值是否发生变化？如果不变，直接写出的值；如果变化，直接写出的取值范围． 【答案】（1）见详解 （2） （3）变化，． 【解析】 【分析】（1）作的中垂线，再以中垂线与的交点为圆心，交点与点之间的距离为半径画圆即可； （2）连接，根据四边形是正方形，四边形是正方形，得出点在一条直线上，且，则，在中，勾股定理求出．解直角三角形求出，即可得的直径． （3）连接，交于点交于点，连接，根据三角形的中位线定理，证明四边形为平行四边形，证明，推出四边形为正方形，进而得到四边形的最小覆盖圆的直径为的长，根据正方形的性质得到，根据，求出的范围，即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：连接． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴点在一条直线上， ∴， ， ， ， ∴在中，，得． ， ， ∴的直径是． 【小问3详解】 解：变化； 连接，交于点交于点，连接， ∵分别取的中点，顺次连接各中点，得到四边形， ， ， ∴四边形为平行四边形， ∵正方形，正方形， ， ， ， ， ， ∴四边形为菱形， ， ， ， ， ∴四边形为正方形， ∴，四边形的最小覆盖圆的直径为， ∴随着的变化而变化， ，即， ， ，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $