精品解析：河南省郑州市中牟县 2024-2025学年下学期第二次质量监测数学试题

中牟县2024-2025学年第二次质量监测试题 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. -4的相反数是（ ） A. B. C. 4 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数）即可求解． 【详解】-4的相反数是4， 故选：C． 【点晴】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义． 2. 塞罕坝机械林场是目前世界上最大的人工林场．半个多世纪以来，经过三代塞罕坝务林人的接续奋斗，林木总蓄积由增加到．数据10368000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 3. 如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从乙地测得公路的走向是南偏西．甲、乙两地同时开工，若干天后公路准时接通．从甲地测所修公路的走向是（ ） A. 北偏东 B. 北偏西 C. 南偏西 D. 南偏东 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了方向角问题，根据平行线的性质求角度，方向角一般以观测者的位置为中心，所以观测者不同，方向就正好相反，但角度不变．据此进行解答即可． 【详解】解：从乙地测得公路的走向是南偏西．甲、乙两地同时开工，若干天后公路准时接通．根据平行线的性质可知，从甲地测所修公路的走向是北偏东． 故选A 4. 李莉学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“中牟幻乐之城”六个字，还原正方体后，“幻”的对面是（ ） A. 中 B. 牟 C. 之 D. 城 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的平面展开图找相对面的方法是解题的关键．根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，结合展开图很容易找到与“幻”字所在面相对的面上的汉字． 【详解】解：根据图示知：“幻”与“城”相对； “中”与“之”相对； “牟”与“乐”相对． 故选：D． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则． 先处理分母的符号，再根据分式的加减法则“同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减”即可得． 【详解】解： ， 故选：C． 6. 若关于的一元二次方程 有实数根，则的值不可能是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出，解之即可得出m的取值范围，再比照四个选项即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根， ∴， 解得：， ∴的值可能是、、1，不可能是， 故选：D． 7. 不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查不等式的表示，解题的关键是熟知不等式的表示方法． 根据不等式组的解集表示方法即可求解． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示出来为 故选B． 8. 在四边形中，点，，，分别是边，，， 的中点，， 交于点．若四边形的对角线相等，则线段与 一定满足的关系为(　　) A. 互相垂直平分 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中点四边形、菱形的判定与性质及三角形的中位线定理，根据题意画出示意图，得出中点四边形的形状与原四边形对角线之间的关系即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 连接，， 点和点分别是和的中点， 是 的中位线， ． 同理可得， ， ，， 四边形是平行四边形． ， ，且 ， ， 平行四边形是菱形， 与 互相垂直平分． 故选：A． 9. 如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的弧上，扇形的圆心是弧的中点，且扇形绕着点旋转，半径， 交于点，半径，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了扇形的面积求法以及三角形的面积等知识，得出四边形的面积正方形的面积，是解决问题的关键． 根据扇形的面积公式求出面积，再过过点作，作，垂足分别为，然后证明，从而得到中间空白区域的面积等于以 1 为对角线的正方形的面积，从而得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接 两扇形的面积和为：， 过点作，作，垂足分别为， 则四边形是矩形， ∵点是弧的中点， ∴平分， ∴， ∴矩形是正方形， ∵， ∴， 在与中， ， ， ∴中间空白区域面积相当于对角线是 1 的正方形面积， ∴空白区域的面积为：， ∴图中阴影部分的面积两个扇形面积 个空白区域面积， 故选：D． 10. 测浮力实验，他们将一长方体石块从玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，如图①，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图②所示（提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，）．则以下说法正确的是（ ） A. 当石块下降时，石块在水里 B. 当 时，与之间的函数关系式为 C. 石块下降 时，石块所受的浮力是 D. 当弹簧测力计的示数为 时，石块距离水底 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，由图象可判断①；利用待定系数法求出函数解析式可判断②；把 和代入所得函数解析式计算可判断③和④，综上即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：、由函数图象可知，当石块下降时，石块不在水里，该选项说法错误； 、当 时，设与之间的函数关系式为， 把和代入得， ， 解得， ∴，该选项说法错误； 、当 时，， ∴，该选项说法正确； 、当时，， 解得， ∴石块距离水底，该选项说法错误； 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个的值，使二次根式有意义：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数列出不等式解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴的值可以是， 故答案为：． 12. 墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是：______． 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键．根据直线的性质，即可解答． 【详解】解：墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．木工师傅这样做的道理是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 13. 中牟县凭借深厚的文化底蕴和农业资源，精心打造了众多主题公园，从而赢得了“中国主题公园第一县”的美誉．正面印有景点大门的四张卡片如图所示，它们除正面完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“方特欢乐世界”和“只有河南”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设“方特欢乐世界”、“电影小镇”、“海昌海洋公园”、 “只有河南”分别用表示，则由题意可画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片正面图案恰好是“方特欢乐世界”和“只有河南”的结果数有2种， ∴两张卡片正面图案恰好是“方特欢乐世界”和“只有河南”的概率是， 故答案为：． 14. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，圆内接四边形的顶点，都在格点上，点在劣弧上，点在优弧上，的度数为______． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据勾股定理的逆定理得到 ，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：设四边形的外接圆的圆心为，连接、， ，， ， ， 由圆周角定理得：， 四边形是圆的内接四边形， ， ， 故答案为： ． 15. 如图，在矩形中，， ，是上一个动点，是上一个动点（点不与点重合），连接，把沿折叠，使点的对应点总落在边上．若 是以 为腰的等腰三角形，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，一是，连接交于点， 即可得到四边形是平行四边形，然后根据正切，可得，根据勾股定理得，求得；二是，作于点H，则，四边形是矩形， 所以则 由勾股定理得 求得 ，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图， ， 连接交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴， ，，， ∵把 沿折叠，点的对应点落在边上， ∴， 点与点关于直线对称， ∴， 且， 垂直平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ，且，， ， ， ， 解得或， ∵当时， 则 ， ∴， 则点与点重合， ∴不符合题意，舍去； 如图，， 作于点， 则， ∴ ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 解得 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，完全平方公式． （1）先根据负整数指数幂，算术平方根，零指数幂的运算法则化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 2025年郑州市深入实施学生体质健康、心理健康、美育浸润、劳动习惯养成计划，推进义务教育阶段学校落实课间10分钟变15分钟，确保中小学每天综合活动时间不少于2小时．某中学充分利用综合活动时间举行铅球比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示． 信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3． 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下． 选手 统计量 甲 乙 丙 平均数 8.9 9.1 中位数 9.2 9.0 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中 ______， ______； （2）从甲、乙两位选手的得分折线图可知，选手______成绩的稳定性更好（填“甲”或“乙”）； （3）该校准备推荐一名选手参加市教育局举办的春季运动会，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 【答案】（1）9.1，9.1 （2）乙 （3）应该推荐乙选手， 理由如下： 乙的中位数最高，乙的平均数和丙一样都比甲高， ∴应该推荐乙选手． 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，方差与稳定性之间的关系，读懂折线统计图是解题的关键． （1）根据平均数与中位数的定义求解即可； （2）根据统计图可知，乙的成绩的波动比甲的成绩的波动小，即可判断； （3）从平均成绩，中位数和稳定性等角度出发进行描述即可． 【小问1详解】 解：甲得分排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4， ∴中位数为9.1， ∴ ； ， 故答案为：9.1，9.1； 【小问2详解】 解：由统计图可知，乙的成绩的波动比甲的成绩的波动小，则选手乙发挥的稳定性更好， 故答案为：乙； 【小问3详解】 略 18. 在综合与实践活动中，某小组用测角仪测量“郑北高架桥”的桥塔的高度（如图①）．他们的方案是：如图②，他们在点处仰望桥塔顶，测得仰角是；再往桥的方向前进91m至处，测得桥塔顶的仰角是，桥塔底的俯角是．已知点，，在一条直线上， ，求桥塔的高度（结果精确到）． （参考数据，，，） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．证明是等腰直角三角形，，设，则，解得，得到，得到即可． 【详解】解：在 中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设 在中，， ， ∴， 解得， 在中，， ∴ ∴ 答：桥塔的高度约为． 19. 如图，直线与直线相交于点，直线与反比例函数在第一象限内交于点． （1）求，的值和反比例函数的表达式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作 ，使射线与反比例函数在第一象限交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）连接，求证：四边形 是平行四边形． 【答案】（1） ，， （2） 点P为所求点； （3） 证明：由（2）知 轴，则点P的纵坐标为4， 将 代入得：，则， 即点， 则 ，且 ， ∴四边形 是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）把代入可求出m的值，把代入可求出b的值，把代入 可求出b的值，把代入可求出反比例函数的表达式； （2）用同位角相等两直线平行的方法作图即可； （3）先求出点P坐标，得出 ，结合 ，即可解答． 【小问1详解】 解：将代入，则 ，即点， 将代入，则 ，则，则一次函数表达式为： ， 把代入 ，得 ，则 ，即点， 当时， ，即点，即 ， 将代入得： ， 则反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：连接，以点B为圆心，以大于0的长度为半径r作弧，以点A为圆心，以r长度为半径作弧 ， 以R为圆心长度为半径作弧交弧 于点T，延长 交反比例函数于点P，则点P为所求点； 【小问3详解】 略 【点睛】本题为反比例函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、函数作图、平行四边形的判定等，熟悉函数的图象和性质是解题的关键． 20. 如图，是的直径且 ，（不与，重合）是上的一个动点，连接并延长至点，使 ，是上的一点， ，的延长线与的延长线交于点． （1）求证： ； （2）当点移动到的中点时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到 ，然后证明四边形 是矩形，再由证明全等即可； （2）过点作于点，先证明四边形 是平行四边形，则 ，当点移动到的中点时，，则 ，而，由等腰三角形的性质以及直角三角形的性质的得到，再根据 即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵矩形 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， 当点移动到的中点时， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵， ∴点H为中点， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及圆周角定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 21. 2025年贺岁片《哪吒2・魔童闹海》通过一个热血激昂的神话故事，向观众传递出积极向上、永不言败的价值观，是中国动画电影走向世界的标杆．某商店销售，两款哪吒变脸摆件，每件款摆件的利润比每件款摆件的利润多2元，销售20件款摆件和销售30件款摆件的利润是440元． （1）求，两款摆件每个的利润分别是多少？ （2）若该商店计划购进，两款摆件共200个进行销售，且款摆件的数量不超过款摆件数量的，商店购进，两款摆件各多少个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件款摆件的利润为8元，每件款摆件的利润10元 （2）商店购进款摆件80个，购进款摆件120个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润，最大利润是1760元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，一元一次方程，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每件款摆件的利润为元，则每件款摆件的利润元，根据“销售20件款摆件和销售30件款摆件的利润是440元”建立一元一次方程求解； （2）设商店购进款摆件个，则购进款摆件个，由“款摆件的数量不超过款摆件数量的”建立不等式求出的取值范围，再设利润为元，求出关于的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件款摆件的利润为元，则每件款摆件的利润元， 由题意得：， 解得： ， 则， 答：每件款摆件的利润为8元，每件款摆件的利润10元； 【小问2详解】 解：设商店购进款摆件个，则购进款摆件个， 由题意得：， 解得：， 设利润为元，则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当 时，利润最大为：（元）， 此时（个）， 答：商店购进款摆件80个，购进款摆件120个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润，最大利润是1760元． 22. 在学校进行的“五一”篮球比赛中，张凯在距离篮筐中心 （水平距离）处跳起投篮，他在点处跳起，篮球出手时距离地面，篮球在空中的运行路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为时，达到离地面的最大高度． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球在空中运行路线的函数表达式； （2）若篮筐的高度为 ，张凯投出的此球能否命中篮筐中心，为什么？ （3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为“盖帽”．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守队员李明前来盖帽，已知李明的最大摸球高度为，则李明应该在张凯面前多少米范围内跳起拦截才能“盖帽”成功？ 【答案】（1）抛物线的函数表达式为； （2）张凯投出的此球能命中篮圈中心； （3）李明应该在张凯前面米范围内跳起拦截才能盖帽成功． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，然后把代入求解即可； （）当时，求出的值，然后与比较即可； （）当时，，求出的值，然后检验即可． 【小问1详解】 解：∵篮球运行的水平距离为时，达到离地面的最大高度， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为，且过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（）得，抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴张凯投出的此球能命中篮圈中心； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：（不合题意，舍去），， ∴李明应该在张凯前面米范围内跳起拦截才能盖帽成功． 23. 初中数学“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证研究图形：“图形的变化”强调从运动变化的观点研究图形．为提升学生数学核心素养，李老师在社团活动时出示了一个探究活动、在中，，，点在直线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交直线于点． （1）初步探究 当点在线段上时（如图①），求证：： 李浩同学是这样分析的：证明线段和（差），可以利用构造全等三角形，他尝试在上截取，连接，通过证明，最终证出结论．请你根据李浩的分析思路，写出图①的证明过程． （2）类比探究 如图②，点在线段的延长线上；如图③，点在线段的延长线上，请分别写出线段，，之间的数量关系（无需证明）； （3）延伸探究 在（1）（2）的条件下，若，，则______． 【答案】（1） 证明：如图①，在上截取，连接， 由旋转性质得，， ∵，， ∴， ∴，， 在 和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）点在线段的延长线上时：；点在线段的延长线上时： （3）5或7 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、旋转性质、解直角三角形等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）在上截取，连接，通过证明，最终证出结论； （2）如图②，在上截取，连接，，证明得到，，再证明是等边三角形得到，由可得结论；如图③，在上截取，连接，证明是等边三角形得到 ，，证明得到，，由可得结论； （3）利用锐角三角函数求得 ，，分三种情况求得，进而利用（1）（2）中结论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当点在线段的延长线上时：． 证明：如图②，在上截取，连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， 在 和中， ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 当点在线段的延长线上时，． 证明：如图③，在上截取，连接， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ，，则， 由旋转性质得，， ∵ ∴， 在 和中， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵在中，，，， ∴，， 当点在线段上时， ∵， ∴， 由得； 当点在线段的延长线上时，，不满足，故舍去； 当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， 由得， 综上，或7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中牟县2024-2025学年第二次质量监测试题 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. -4的相反数是（ ） A. B. C. 4 D. -4 2. 塞罕坝机械林场是目前世界上最大的人工林场．半个多世纪以来，经过三代塞罕坝务林人的接续奋斗，林木总蓄积由增加到．数据10368000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从乙地测得公路的走向是南偏西．甲、乙两地同时开工，若干天后公路准时接通．从甲地测所修公路的走向是（ ） A. 北偏东 B. 北偏西 C. 南偏西 D. 南偏东 4. 李莉学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“中牟幻乐之城”六个字，还原正方体后，“幻”的对面是（ ） A. 中 B. 牟 C. 之 D. 城 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程 有实数根，则的值不可能是（ ） A. B. C. 1 D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在四边形中，点，，，分别是边，，， 的中点，， 交于点．若四边形的对角线相等，则线段与 一定满足的关系为(　　) A. 互相垂直平分 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 9. 如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的弧上，扇形的圆心是弧的中点，且扇形绕着点旋转，半径， 交于点，半径，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 测浮力实验，他们将一长方体石块从玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，如图①，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图②所示（提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，）．则以下说法正确的是（ ） A. 当石块下降时，石块在水里 B. 当 时，与之间的函数关系式为 C. 石块下降 时，石块所受的浮力是 D. 当弹簧测力计的示数为 时，石块距离水底 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个的值，使二次根式有意义：______． 12. 墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是：______． 13. 中牟县凭借深厚的文化底蕴和农业资源，精心打造了众多主题公园，从而赢得了“中国主题公园第一县”的美誉．正面印有景点大门的四张卡片如图所示，它们除正面完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“方特欢乐世界”和“只有河南”的概率是______． 14. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，圆内接四边形的顶点，都在格点上，点在劣弧上，点在优弧上，的度数为______． 15. 如图，在矩形中，， ，是上一个动点，是上一个动点（点不与点重合），连接，把沿折叠，使点的对应点总落在边上．若 是以 为腰的等腰三角形，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简． 17. 2025年郑州市深入实施学生体质健康、心理健康、美育浸润、劳动习惯养成计划，推进义务教育阶段学校落实课间10分钟变15分钟，确保中小学每天综合活动时间不少于2小时．某中学充分利用综合活动时间举行铅球比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示． 信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3． 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下． 选手 统计量 甲 乙 丙 平均数 8.9 9.1 中位数 9.2 9.0 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中______， ______； （2）从甲、乙两位选手的得分折线图可知，选手______成绩的稳定性更好（填“甲”或“乙”）； （3）该校准备推荐一名选手参加市教育局举办的春季运动会，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 18. 在综合与实践活动中，某小组用测角仪测量“郑北高架桥”的桥塔的高度（如图①）．他们的方案是：如图②，他们在点处仰望桥塔顶，测得仰角是；再往桥的方向前进91m至处，测得桥塔顶的仰角是，桥塔底的俯角是．已知点，，在一条直线上， ，求桥塔的高度（结果精确到）． （参考数据，，，） 19. 如图，直线与直线相交于点，直线与反比例函数在第一象限内交于点． （1）求，的值和反比例函数的表达式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作 ，使射线与反比例函数在第一象限交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）连接，求证：四边形 是平行四边形． 20. 如图，是的直径且 ，（不与，重合）是上的一个动点，连接并延长至点，使 ，是上的一点， ，的延长线与的延长线交于点． （1）求证： ； （2）当点移动到的中点时，请直接写出四边形的面积． 21. 2025年贺岁片《哪吒2・魔童闹海》通过一个热血激昂的神话故事，向观众传递出积极向上、永不言败的价值观，是中国动画电影走向世界的标杆．某商店销售，两款哪吒变脸摆件，每件款摆件的利润比每件款摆件的利润多2元，销售20件款摆件和销售30件款摆件的利润是440元． （1）求，两款摆件每个的利润分别是多少？ （2）若该商店计划购进，两款摆件共200个进行销售，且款摆件的数量不超过款摆件数量的，商店购进，两款摆件各多少个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 在学校进行的“五一”篮球比赛中，张凯在距离篮筐中心 （水平距离）处跳起投篮，他在点处跳起，篮球出手时距离地面，篮球在空中的运行路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为时，达到离地面的最大高度． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球在空中运行路线的函数表达式； （2）若篮筐的高度为 ，张凯投出的此球能否命中篮筐中心，为什么？ （3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为“盖帽”．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守队员李明前来盖帽，已知李明的最大摸球高度为，则李明应该在张凯面前多少米范围内跳起拦截才能“盖帽”成功？ 23. 初中数学“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证研究图形：“图形的变化”强调从运动变化的观点研究图形．为提升学生数学核心素养，李老师在社团活动时出示了一个探究活动、在中，，，点在直线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交直线于点． （1）初步探究 当点在线段上时（如图①），求证：： 李浩同学是这样分析的：证明线段和（差），可以利用构造全等三角形，他尝试在上截取，连接，通过证明，最终证出结论．请你根据李浩的分析思路，写出图①的证明过程． （2）类比探究 如图②，点在线段的延长线上；如图③，点在线段的延长线上，请分别写出线段，，之间的数量关系（无需证明）； （3）延伸探究 在（1）（2）的条件下，若，，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $