精品解析：广西北流中学等校2026届高三下学期5月诊断数学试题

2026届高三5月诊断数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，，所以. 2. 若 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，  ，所以. 3. “”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解. 【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立； 反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立， 故“”是“且”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理边化角，求出角，利用公式求面积即可. 【详解】由余弦定理得，又 得，又， 从而，又，所以 从而的面积. 5. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，， 所以 6. 已知等差数列中，，，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2048 D. 4052 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列通项公式列出等式，求得首项和公差，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为​，公差为，通项公式为， 由得：； 由代入通项公式展开： ， 整理后消去同类项得：， 将代入，解得， 因此通项公式为： 代入得： . 7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解. 【详解】 在中，而，则， 所以，故， 所以. 故选：B 8. 某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用古典概型计算公式，再结合分类分步计数原理计算出符合题意的组合数，即可得出所求概率. 【详解】根据题意可知，每次点击有3种选择，连续点击5次，共有种， 若获二等奖，则奖券码为3的正整数倍，所以生成的5个数字之和可以为3，6，9（和的最大值为10）； （1）当数字之和为3时，其组成方式为三个1和两个0；或者一个2，一个1，三个0； 若为三个1和两个0，共有种， 若为一个2，一个1，三个0，共有种， 即数字之和为3时共有种； （2）当数字之和为6时，其组成方式为三个2和两个0；或者两个2，两个1，一个0；或者一个2，四个1； 若为三个2和两个0，共有种， 若为两个2，两个1，一个0，共有种， 若为一个2，四个1，共有种； 即数字之和为6时共有种； （3）当数字之和为9时，其组成方式为四个2和一个1，此时共有种， 因此符合条件的组合数共有种， 所以获二等奖的概率为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（ ） 参考公式：关于的回归直线方程中， A. B. 由散点图知变量和负相关 C. 相关系数 D. 用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据条件，直接求出，即可求解；对于B和C，根据条件，画出散点图，即可求解；对于D，利用线性回归直线方程过样中心，代入计算，即可求解. 【详解】对于选项A，由题知，，故选项A正确， 对于选项B，由图表可得散点图如下，由散点图知变量和正相关，所以选项B错误， 对于选项C，由选项B知变量和正相关，所以，故选项C正确， 对于选项D，因为样本中心点为，又， 所以不是关于的线性回归直线方程，故选项D错误， 故选：AC. 10. 已知函数，，则下列选项正确的是（ ） A. 为偶函数 B. ， C. 曲线在点处的切线斜率为 D. ，不等式恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义即可求解A，利用作差法可判断B，利用导数的几何意久可求解C，构造函数，利用导数求得函数的最值，从而可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为关于原点对称， 又，故为偶函数，A正确， 对于B，， 当，，则，，故B错误； 对于C，，故， 故在点处的切线斜率为，C正确， 对于D，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于、两点，、，点是以为直径的圆上的一个动点，在射线上取点，使得，则（ ） A. B. C. 抛物线与圆有且只有一个交点 D. 存在最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线焦点的坐标可得出的值，可判断A选项；设、，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可求出，利用抛物线的焦半径公式以及基本不等式可判断B选项；设点，可得出，利用两点间的距离公式结合导数法可求得的最小值，可判断C选项；设、两点坐标分别为、，根据题意推导出点在直线上，且以线段为直径的圆与直线相切，由此可得出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由有，即，故A正确. 对于B选项，由已知可令、， 若直线的斜率不存在，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 故直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，消有，则， 由韦达定理有，故， 又因为，， 所以， 又因为，， 所以有，当且仅当， 即当时取等号，故B错误； 对于C选项：令为抛物线上任意点，即， 圆的圆心为， 则. 令，有， 由可得，由可得， 所以，函数在单调递减，在单调递增， 又因为，所以， 同时当且仅当时，即当点的坐标为，，所以C正确； 对于选项D，由题意易得以为直径的圆的方程为， 设、两点坐标分别为、，则，， 又因为、、三点共线，所以设， 所以有， 所以， 因为在圆上，所以，所以， 所以有，所以点在直线上. 取的中点为，分别过、作直线的垂线，垂足分别为、， 取的中点为，连接，有， 由抛物线的定义有，， 故，故以为直径的圆与直线相切，故的最大值为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式的第8项的系数为_________（结果用数值表示）. 【答案】960 【解析】 【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解． 【详解】因为，展开式的第8项为， 所以，的展开式的第8项的系数为960. 故答案为：960 13. 已知函数的图象关于直线对称，则可以为__________. （写出一个符合条件的即可） 【答案】.（答案不唯一） 【解析】 【分析】因为函数的图象关于直线对称，只需根据三角函数图象让也为的对称轴即可. 【详解】函数的图象关于直线对称， 则只要的图象关于直线对称即可， 所以，所以， 如令，可以取. 故答案为： 14. 如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出原正四面体外接球的半径，从而可求出多面体外接球的球心到底面的距离，求出多面体的棱长，即可求出其外接球的半径，从而可求出外接球的表面积. 【详解】解：由题意可得多面体的棱长为原正四面体棱长的，设原正四面体的棱长为， 则其表面积为，由图易知该多面体与原正四面体相比较， 表面积少了8个边长为的正三角形的面积， 所以该多面体的表面积为，所以. 如图，是下底面正六边形的中心，是上底面正三角形的中心， 由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心在原正四面体的高上， . 设球的半径为，在中，，所以， 在中，， 所以， 所以，解得，所以， 所以该多面体外接球的表面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图． （1）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联； 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 女生 合计 （2）已知该校男生女生人数之比为，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取1名学生，求抽取的学生喜欢人工智能应用的概率． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】（1）列联表: 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 能认为该校学生喜欢人工智能应用与性别有关联． （2） 【解析】 【分析】（1）从等高堆积条形图提取对应数据构建列联表，代入卡方统计量公式计算，将计算结果与显著性水平对应的临界值比较，完成独立性检验. （2）依据男女生人数占比得到抽取男女生的概率，结合样本频率确定对应条件概率，利用全概率公式计算随机抽取1名学生喜欢人工智能应用的概率. 【小问1详解】 由题意，根据等高堆积条形图，完成列联表如下： 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 零假设为：该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用没有关联． ， ∴依据小概率值的独立性检验， 我们推断不成立，即能认为该校学生喜欢人工智能应用与性别有关联． 【小问2详解】 设事件为“抽取的学生喜欢人工智能应用”，事件为“抽取的学生为女生”，则为“抽取的学生为男生”， 将样本的频率视为概率，则，， ，， 由全概率公式得， 所以抽取的学生喜欢人工智能应用的概率为． 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，根据题意可得，结合线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，结合面面夹角余弦公式求解即可. 【小问1详解】 证明：连接交于点，连接， 因为为菱形，则为的中点， 又因为为的中点，在三角形中，， 且平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 建立如图所示坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面法向量， 则，令，则 设平面法向量， 则，令，则 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知数列的前项和为，，． （1）证明：是等比数列，并求出的通项公式： （2）求数列的前项和； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）证明见详解； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可. 【小问1详解】 已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. 【小问2详解】 两边同乘​得 得，， 整理得. 【小问3详解】 由​得，设​，对任意正整数恒成立， 只需的最大值. ， 当时，，即； 当时，，即， 故最大值为. 因此的取值范围为. 18. 已知点在椭圆上，椭圆的右焦点，直线l过椭圆的右顶点A，与椭圆交于另一点D，与y轴交于点E. （1）求椭圆C的方程； （2）若P为弦AD的中点，是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若，交椭圆C于点M，求的取值范围. 【答案】（1） （2）存在定点 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标和焦点可求方程； （2）根据垂直关系得出斜率关系，利用恒成立可求定点坐标； （3）把所求式进行转化，利用换元法，根据函数单调性可求答案. 【小问1详解】 由题意，解得，所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 存在定点符合题意； 由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程， 联立，整理可得， 设，则，则， 所以，由P为弦AD的中点，则， 所以直线OP的斜率；直线l的方程，令，则， 假设存在定点，满足，直线EQ的斜率， 所以，整理得， 由恒成立，则，解得，故定点的坐标为. 【小问3详解】 由，则直线OM的方程，设， 由，解得， 由平行线的性质可得， ， 令，则，因为对勾函数在上单调递增， 所以的取值范围是. 19. 已知，函数，. （1）当时，求的极值； （2）若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1）答案见解析； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，再分和讨论即可； （i）转化得有解，再设，求导后再对分类讨论，最后利用隐零点法即可得到其范围； （ⅱ）分析得表示原点与直线上的动点之间的距离，再等价转化为证明，再设新函数并多次求导即可证明. 【小问1详解】 时，， 当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值. 当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增， 函数的极小值是，无极大值. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，因为函数存在零点，故有解， 若，此时无解，所以，有解，， ①若单调递增，此时不存在零点； ②若，令，，， 由零点存在定理可知存在， 所以在上为减函数，在上为增函数， 故，解得，故. （ⅱ）因为函数存在零点，所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， ，所以， 时，要证，只需证， 解法一：即证. 令，则， 令，，故在上为增函数，故. 即在上为增函数， 故，故，即成立. 解法二：令,则， 令，得单调递减， 令，得单调递增， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三5月诊断数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. “”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列中，，，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2048 D. 4052 7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（ ） 参考公式：关于的回归直线方程中， A. B. 由散点图知变量和负相关 C. 相关系数 D. 用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 10. 已知函数，，则下列选项正确的是（ ） A. 为偶函数 B. ， C. 曲线在点处的切线斜率为 D. ，不等式恒成立 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于、两点，、，点是以为直径的圆上的一个动点，在射线上取点，使得，则（ ） A. B. C. 抛物线与圆有且只有一个交点 D. 存在最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式的第8项的系数为_________（结果用数值表示）. 13. 已知函数的图象关于直线对称，则可以为__________. （写出一个符合条件的即可） 14. 如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图． （1）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联； 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 女生 合计 （2）已知该校男生女生人数之比为，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取1名学生，求抽取的学生喜欢人工智能应用的概率． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知数列的前项和为，，． （1）证明：是等比数列，并求出的通项公式： （2）求数列的前项和； （3）若，求的取值范围． 18. 已知点在椭圆上，椭圆的右焦点，直线l过椭圆的右顶点A，与椭圆交于另一点D，与y轴交于点E. （1）求椭圆C的方程； （2）若P为弦AD的中点，是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若，交椭圆C于点M，求的取值范围. 19. 已知，函数，. （1）当时，求的极值； （2）若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $