精品解析：广西贵港市2026届高三下学期自主检测练习数学试题

高三自主检测练习数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得，故， u，故. 2. 若复数满足（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以. 3. 展开式的常数项为（ ） A. 15 B. C. 60 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理把二项式展开，直接求出常数项． 【详解】展开式的通项公式为：， 要求常数项，只需，解得：r=4. 所以常数项为: . 故选:C. 【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析． 4. 直线与圆相交于两点，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】借助点到直线距离公式与圆的弦长公式计算即可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 则到直线的距离， 则. 5. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由角的终边经过点，得， 所以. 6. 已知随机变量服从正态分布，若，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布得到的关系式，从而消元，变形，利用基本不等式求出最值 【详解】，， 由正态分布的对称性可知，故， 因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 7. 从集合中任取三个不同的数，当三数之和为3的倍数时，这三个数可构成等差数列的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出事件，分别计算出两事件的基本事件数，利用条件概率公式进行求解 【详解】设三数之和为3的倍数为事件，三个数可构成等差数列为事件， 中，除以3余数为0的有， 除以3余数为1的有，除以3余数为2的有， 要想三数之和为3的倍数，可以从中任选3个； 或中任选3个；或中任选3个； 或中选1个，中选1个，中选1个； 故， 若三个数构成等差数列，不妨设为，， 则，，所以三个数的和一定为3的倍数， 设公差为，则且为正整数，则， 又，故，所以且为正整数， 当时，为，共16种情况， 当时，为，共14种情况， 当时，为，共12种情况， 当时，为，共10种情况， 当时，为，共8种情况， 当时，为，共6种情况 当时，为，共4种情况， 当时，为，共2种情况， 所以， 故. 8. 已知，点是直线上的任意一点，点在曲线上，点是线段的中点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由极化恒等式可得，原题转化为求的最小值。先对给定N，研究P点满足方程，求出此时的最小值，再对任意点N，通过导数分析，可进一步求出取得的最小值． 【详解】设C是线段AB的中点，则， 并对任意点，有， 由题易得直线AB的方程为，对于给定上的， 设在直线AB上，则， 消去参数，得，整理后得， 所以对于给定，的最小值为C点到P点所在直线的距离，即， 设（），则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以在处取得最大值， 所以，当且仅当时取等号，即， 故． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 是对称轴 C. 函数是奇函数 D. 函数在区间上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助降幂公式与辅助角公式可将原函数化为正弦型函数；利用正弦型函数周期性计算可得A；借助代入检验法可得B、D；计算出可得C. 【详解】； 对A：函数的最小正周期为，故A错误； 对B：当时，，因是函数的对称轴， 故是函数的对称轴，故B正确； 对C：是奇函数，故C正确； 对D：当时，，因在上单调递增， 故函数在区间上单调递增，故D正确. 10. 正方体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则有（ ） A. 与平面平行 B. C. 平面 D. 四边形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理判断ABC；求出四边形面积判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于A，，即，而直线， 因此，又平面，平面， 则平面，A正确； 对于B，，， 因此，B正确； 对于C，，， 因此不垂直，直线与平面不垂直，C错误； 对于D，， 等腰梯形的高， 因此四边形的面积，D正确. 11. 椭圆的左右焦点分别为，圆与椭圆相切于两个不同点，则（ ） A. 的取值范围为 B. C. 若四边形为菱形，则 D. 三角形面积的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：问题转化为椭圆上存在一点到点的距离最短，且点不在轴上，结合椭圆上的点的横坐标取值范围计算即可得解；对B：表示出、计算即可得；对C：结合菱形性质与各点横坐标计算即可得；对D：利用面积公式计算即可得. 【详解】对A：问题转化为椭圆上存在一点到点的距离最短，且点不在轴上， 设，则， ， 由于，当，即时，只有当点与右顶点重合时， 达到最小值，不符合题意； 若，当时，达到最小值，符合题意， 故的取值范围为，故A错误； 对B：由A可知，易知，所以， 所以，故B正确； 对C：由，，，要使得四边形为菱形， 则有，解得，故C正确； 对D：点坐标，， 当时，取到最大值，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组按照从小到大排列的数据，其平均数为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】借助平均数定义结合从小到大排列要求计算即可得. 【详解】由题意可得， 整理得， 故或，又，故. 13. 等比数列的前项之积为，若，则___________． 【答案】18 【解析】 【详解】由等比中项的性质可得， 所以． 14. 直线与函数的图像交于两点，过点分别作轴的垂线，垂足为，，当矩形的面积为时，___________． 【答案】 【解析】 【分析】求导后可得函数单调性，可设，结合图象性质可得，再利用矩形面积计算可得，即可解出. 【详解】，当时，，当时，， 故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，当时，函数取得最大值， 画出函数简图如下： 设，则，， ，即， 则有，解得，此时. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，，且为钝角． （1）求角的大小； （2）若，为正整数，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦公式求解. （2）利用余弦定理，结合基本不等式及已知求出，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 整理得， 而，解得，又为钝角，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得， 而，当且仅当时取等号，因此，即， 又为正整数，则，， 所以的面积. 16. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后，分与进行讨论，当时，结合函数单调性可得该此时恒成立，符合题意；当时，可利用导数研究函数单调性从而可得，可通过构造函数证明，即可得不符合题意. 【小问1详解】 当时，，则， 则，又， 故函数在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ，， 若，，则在上单调递增， 故，符合题意； 若，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则， 令，则， 由单调递减，则， 故在上单调递减，故， 即，不符合题意； 综上可得：. 17. 在三棱锥中，等边三角形的边长为，点为的中点，设二面角的平面角分别为． （1）证明：； （2）当时，求直线与平面夹角的正弦值； （3）求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，连接、，借助线面垂直判定定理可得平面，即可利用线面垂直性质定理得到； （2）过点作的垂线，设垂足为，利用线面垂直判定定理可得平面，即可得，则可建立适当空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）过点作的垂线，设垂足为，借助线面垂直判定定理与性质定理可得，即可得，再结合各边长可表示出，结合辅助角公式计算即可得其最小值. 【小问1详解】 设的中点为，连接、，则， 因为三角形PAB为等边三角形，所以， 又因为，所以， 又因为，、平面， 所以平面，又因为平面，所以； 【小问2详解】 过点作的垂线，设垂足为， 由（1）得，平面，由平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面，则， 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，即. ， ，设平面法向量， 则，即， 取，可得，，即得， 设直线与平面夹角为，则； 【小问3详解】 过点作的垂线，设垂足为，连接， 由平面，平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面，又平面，所以，故， 则， ， 故， 因为，所以， 又因为， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最小值为. 18. 双曲线的左顶点为，右焦点为，点是双曲线右支上的任意一点，且在第一象限，设直线与直线的交点为． （1）求双曲线的标准方程； （2）当三角形为直角三角形时，求直线的斜率； （3）证明：直线与三角形的外接圆相切． 【答案】（1） （2）1或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得、，再计算出即可得； （2）设，可得，再分与讨论即可得； （3）表示出直线AP方程后，可得点坐标，可设三角形QAF外接圆圆心的坐标为，再利用可得，再利用向量数量积公式计算即可得证. 【小问1详解】 由题意可得，则， 所以双曲线的标准方程为：； 【小问2详解】 设，则， 当时，将代入，得， 此时直线AP的斜率为； 当时，， ， 联立方程：，可得，解得， 代入得：，此时直线AP的斜率为， 综上所述，直线AP的斜率为1或； 【小问3详解】 直线AP方程为：，令，得， 设三角形QAF外接圆圆心的坐标为，则有， 即， 化简得：， 即， 由， 则，即， 故直线PF与三角形的外接圆相切. 19. 向量列满足：对任意的，都有，其中为单位向量，．记向量与的夹角为． （1）当时， ①在如图中画出，并直接写出的值； ②求的通项公式． （2）当时，对任意的，将所对应的值依次排列形成数列，记数列的前项和为．证明：． 【答案】（1）①作图见解析，，；② （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①结合平面向量三角形加法法则及减法法则画出对应图形即可得；结合图形计算即可得；②分奇偶讨论可得数列是首项为，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式，从而可得的通项公式； （2）结合（1）②所得可得，则由正弦定理可得，借助累乘法可得，从而可计算出时的，即可得数列的通项公式，再分奇偶讨论即可得. 【小问1详解】 ①当时，，根据向量三角形加法法则，画出如图， 此时 ， 当时，，沿着的正方向再构造一个， 根据向量三角形减法法则画出如图，此时； ②当为奇数时，，由， 则，故； 当为偶数时，，由， 则，故； 则，即， 则， 因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，得； 根据得：， 综上所述，的通项公式为：； 【小问2详解】 由（1）②知：，， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 故，即， 则由，可得， 由正弦定理得：， 即对任意的，，则，，， 累乘得，即， 当时，，即，得， 解得， 即，则， ， 当为偶数时，； 当为奇数时，； 综上所述，对任意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三自主检测练习数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 展开式的常数项为（ ） A. 15 B. C. 60 D. 4. 直线与圆相交于两点，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 5. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量服从正态分布，若，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 从集合中任取三个不同的数，当三数之和为3的倍数时，这三个数可构成等差数列的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，点是直线上的任意一点，点在曲线上，点是线段的中点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 是对称轴 C. 函数是奇函数 D. 函数在区间上单调递增 10. 正方体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则有（ ） A. 与平面平行 B. C. 平面 D. 四边形的面积为 11. 椭圆的左右焦点分别为，圆与椭圆相切于两个不同点，则（ ） A. 的取值范围为 B. C. 若四边形为菱形，则 D. 三角形面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组按照从小到大排列的数据，其平均数为，则___________． 13. 等比数列的前项之积为，若，则___________． 14. 直线与函数的图像交于两点，过点分别作轴的垂线，垂足为，，当矩形的面积为时，___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，，且为钝角． （1）求角的大小； （2）若，为正整数，求的面积． 16. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 17. 在三棱锥中，等边三角形的边长为，点为的中点，设二面角的平面角分别为． （1）证明：； （2）当时，求直线与平面夹角的正弦值； （3）求的最小值． 18. 双曲线的左顶点为，右焦点为，点是双曲线右支上的任意一点，且在第一象限，设直线与直线的交点为． （1）求双曲线的标准方程； （2）当三角形为直角三角形时，求直线的斜率； （3）证明：直线与三角形的外接圆相切． 19. 向量列满足：对任意的，都有，其中为单位向量，．记向量与的夹角为． （1）当时， ①在如图中画出，并直接写出的值； ②求的通项公式． （2）当时，对任意的，将 所对应的值依次排列形成数列，记数列的前项和为．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $