精品解析：2026年辽宁省 盘锦市兴隆台区中考一模 数学试题

九年级数学学科练习题 （考试时间：120分钟 分数：120分） 注意：所有试题必须在答题纸上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（     ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（ ） A. 13 B. 9 C. 6 D. 3 6. 如图，于点B，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8. 在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点B，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，根据题意列方程为，其中表示（　　） A. 快马的速度 B. 慢马的速度 C. 总路程 D. 规定的时间 10. 如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 《国家学生体质健康标准》规定：七年级学生一分钟仰卧起坐优秀等级的标准成绩是45次．超过标准的次数用正数表示，不足的次数用负数表示．小明的成绩是48次，记作___________次． 12. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如表所示： 甲 乙 丙 丁 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______  ． 13. 如图，在中，点D，E分别在AB，AC上，且，，若的面积为，则四边形的面积为______． 14. 如图，在中，，，，是的中位线，点F 在上，与相交于点G，若，则的长为__________． 15. 如图所示，为直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧，分别交，于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧于点M，N，连接分别交，于点P，Q，连接，，则四边形的周长为 ________． 三、解答题（本题共8小题，共75分。） 16. 计算： （1）； （2）化简：． 17. 某学校为开展课外活动、计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元，购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． （1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格； （2）该学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且购买费用不超过2610元，那么该学校最多可以购买多少副乒乓球拍？ 18. 今年央视春晚节目《秧》别出心裁，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，随着科技的发展机器人在人们生活中应用广泛，某实践小组对某款聊天机器人的使用满意度进行了问卷调查，并对数据进行整理、描述和分析（测试满分为100分，所有问卷结果都在60分以上，评分分数用x表示，结果分为四个等级：“不满意”：，“比较满意”：，“满意”：，“非常满意”：），部分信息如下： 信息一： 信息二：评分“满意”等级的数据（单位：分）如下：80，81，81，82，82，83，84，84，88． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，并求所抽取的机器人使用满意度的结果为“非常满意”的人数； （2）求出所抽取的机器人使用满意度评分的中位数； （3）若有1000人购买了本款聊天机器人，请估计这1000人中对本款机器人“满意”的人数． 19. 如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求图中阴影部分的面积． 20. 如图1是一种路灯的实物图，由灯杆和灯管支架两部分构成，图2是它的示意图，灯杆与地面垂直，灯管支架与灯杆的夹角．，在路灯正前方的点处测得．，，．（结果精确到．参考数据：，，） （1）求灯杆的长度． （2）求灯管支架的长度． 21. 2022年我国成功举办了第24届“冬奥会”，冬奥会让冰雪运动走向大众．图1为滑雪大跳台的简化模型：段和段是长度均为的倾斜滑道，段为圆弧滑道，与平滑连接，段为结束区．运动员从助滑区的台端A点出发，在助滑道上获得高速度，至跳台区依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端C点水平飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行．已知跳台高是，某位运动员的一次动作中，在离开跳台末端C点后水平前进了时，高度恰好下降了（忽略运动过程中所受的空气阻力），为方便研究，我们建立了如图2所示的平面直角坐标系． （1）请写出抛物线的函数解析式． （2）运动员在着陆区斜坡上着陆，可以利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若在终点区上着陆，则会增加受伤风险．请你判断这位运动员此次动作会在哪个区域着陆，并求出着陆点的坐标． 22. 已知，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转得到，使点C的对应点E落在边上，射线交于点F，连接． （1）如图1，当时． ①求证：点E是的中点； ②求出的度数； （2）如图2，当时，在DF上截取，连接，判断，，之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，直接写出的长． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，则称这个点是“二倍点”，如，，都是“二倍点”． （1）直接写出直线上的“二倍点”的坐标________． （2）如图，点A为函数（，）的图象上的“二倍点”．过点A做y轴的平行线交直线于点B（点B在点A下方），点C为直线在第一象限内图象上的“二倍点”，且点C在的右侧，若的面积为，求k的值． （3）①若二次函数的图象上只存在一个唯一的“二倍点”，当时，该二次函数的最小值为，最大值为顶点的纵坐标，求n的值及m的取值范围． ②当时，二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，请直接写出c的取值范围________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科练习题 （考试时间：120分钟 分数：120分） 注意：所有试题必须在答题纸上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是明确从正面看得到的视图是主视图． 根据从正面看得到的视图是主视图，观察即可得答案． 【详解】解：该几何体的主视图是， 故选：B． 2. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数． 【详解】解：将25000用科学记数法可表示为， 故选：C． 3. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 4. 下列运算结果正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂的乘方，单项式乘以单项式，合并同类项法则，积的乘方，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，运算正确，符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式，合并同类项．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 5. 在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（ ） A. 13 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率的意义，摸出红球的概率等于红球个数除以袋中球的总个数，先求出总球数，再减去红球个数即可得到黑球个数． 【详解】设袋中球的总个数为， ∵ 红球有个，摸出红球的概率为， ∴ ， 解得， ∴ 黑球个数为 ． 6. 如图，于点B，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）求出  的度数，再根据垂直的定义得到 ，最后利用角的和差关系求出  的度数． 【详解】解：，  （两直线平行，内错角相等）．  ，  ．  ． 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．根据矩形得到，，，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与交于点O， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点B，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的平移变化，熟记点平移的坐标规律“右移加，左移减，上移加，下移减”，即可计算得到点的坐标． 【详解】解：∵点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故选：B． 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，根据题意列方程为，其中表示（　　） A. 快马的速度 B. 慢马的速度 C. 总路程 D. 规定的时间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识．由快、慢马速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出表示规定的时间． 【详解】解：快马的速度是慢马的2倍，所列方程为， 表示慢马的速度，表示快马的速度； 把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天， 表示规定的时间． 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质是关键．根据菱形的性质得到，由矩形的性质得到，，，设，则在中，则利用勾股定理求出，即．得到，根据菱形的面积求出答案即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， 设，则在中， ∴ ∵， 即， ∴， 即． ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 《国家学生体质健康标准》规定：七年级学生一分钟仰卧起坐优秀等级的标准成绩是45次．超过标准的次数用正数表示，不足的次数用负数表示．小明的成绩是48次，记作___________次． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正负数表示实际问题的含义，超过标准成绩记为正数，不足记为负数，通过计算实际成绩与标准成绩的差值确定记法． 【详解】解：标准成绩是45次，小明的成绩是48次． 计算差值：（次）． 由于小明的成绩超过标准成绩3次，故记作次． 故答案为． 12. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如表所示： 甲 乙 丙 丁 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______  ． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差和平均数，掌握相关知识点是解题的关键． 根据平均数比较成绩优劣，再根据方差比较稳定性，即可求解． 【详解】解：甲和乙的平均成绩均为环，高于丙和丁的环，因此应从甲和乙中选择， 乙的方差为，小于甲的方差，因此乙发挥更稳定，故选择乙． 故答案为：乙． 13. 如图，在中，点D，E分别在AB，AC上，且，，若的面积为，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据判定，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得到，继而得到四边形的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为：． 14. 如图，在中，，，，是的中位线，点F 在上，与相交于点G，若，则的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的判定，先根据等角对等边得，再根据是的三角形中位线可得，再利用已知条件可得出答案． 【详解】∵，，， ∴， ∴． ∵是的中位线， ∴, ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 15. 如图所示，为直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧，分别交，于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧于点M，N，连接分别交，于点P，Q，连接，，则四边形的周长为 ________． 【答案】24 【解析】 【分析】由作图可得，平分，垂直平分，证明，得出，则，证明四边形是菱形，求出的长即可得解． 【详解】解：如图，令交于， ， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 由作图可得，平分，垂直平分， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分。） 16. 计算： （1）； （2）化简：． 【答案】（1）11 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的性质，零指数幂，绝对值的乘方，负整数指数幂的运算法则进行计算即可； （2）先计算括号内的减法，再对分子分母因式分解，将除法转化为乘法后约分得到化简结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某学校为开展课外活动、计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元，购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． （1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格； （2）该学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且购买费用不超过2610元，那么该学校最多可以购买多少副乒乓球拍？ 【答案】（1）每副乒乓球拍元和每副羽毛球拍元． （2）最多可购买副乒乓球拍． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乒乓球拍单价为元/副，羽毛球拍单价为元/副，根据购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元，购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元可列二元一次方程组进行求解即可，注意代入验证； （2）根据总数量与预算限制，建立不等式关系，求解满足条件的最大乒乓球拍数量即可．注意最终结果需符合实际情境，取整数解． 【小问1详解】 解：设乒乓球拍单价为元/副，羽毛球拍单价为元/副， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：每副乒乓球拍元和每副羽毛球拍元． 【小问2详解】 解：设购买乒乓球拍副，则羽毛球拍为副， 总费用满足： 解得， 为正整数， 最多可购买副乒乓球拍． 答：学校最多可以购买副乒乓球拍． 18. 今年央视春晚节目《秧》别出心裁，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，随着科技的发展机器人在人们生活中应用广泛，某实践小组对某款聊天机器人的使用满意度进行了问卷调查，并对数据进行整理、描述和分析（测试满分为100分，所有问卷结果都在60分以上，评分分数用x表示，结果分为四个等级：“不满意”：，“比较满意”：，“满意”：，“非常满意”：），部分信息如下： 信息一： 信息二：评分“满意”等级的数据（单位：分）如下：80，81，81，82，82，83，84，84，88． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，并求所抽取的机器人使用满意度的结果为“非常满意”的人数； （2）求出所抽取的机器人使用满意度评分的中位数； （3）若有1000人购买了本款聊天机器人，请估计这1000人中对本款机器人“满意”的人数． 【答案】（1）补全频数分布直方图见解析；6人 （2）分 （3）450人 【解析】 【分析】（1）用“满意”的人数除以所占百分比可得调查抽取总数，进而求出“非常满意”等级的人数，并补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）利用“样本估计总体”进行求解即可． 【小问1详解】 解：调查抽取的总人数为：人， 则“非常满意”的人数为：人， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：由频数分布直方图可知，使用满意度的结果为“不满意”有2人，“比较满意”的有3人，“满意”有9人， 则中位数位于“满意”等级， 将评分“满意”等级的数据从小到大排列： 80，81，81，82，82，83，84，84，88， 则中位数为分； 【小问3详解】 解：人 答：这1000人中对本款机器人“满意”的人数为450人． 19. 如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，得到，根据平行线的性质，得到，即可得证； （2）作于点，易得四边形为正方形，解，求出的长，再利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，作于点， 由（1）知：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 20. 如图1是一种路灯的实物图，由灯杆和灯管支架两部分构成，图2是它的示意图，灯杆与地面垂直，灯管支架与灯杆的夹角．，在路灯正前方的点处测得．，，．（结果精确到．参考数据：，，） （1）求灯杆的长度． （2）求灯管支架的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 本题考查解直角三角形，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握解直角三角形的应用，矩形的性质，进行解答，即可． （1）根据解直角三角形，，解出，即可； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质，则，，，求出，根据等角对等边，则，设，根据，求出；再根据，即可． 【小问1详解】 解：∵灯杆与地面垂直， ∴， 在中， ∵， ∴， 答：灯杆的长度为． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中， ∵， ∴，即, ∴， ∵， ∴． 答：灯管支架的长度约为． 21. 2022年我国成功举办了第24届“冬奥会”，冬奥会让冰雪运动走向大众．图1为滑雪大跳台的简化模型：段和段是长度均为的倾斜滑道，段为圆弧滑道，与平滑连接，段为结束区．运动员从助滑区的台端A点出发，在助滑道上获得高速度，至跳台区依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端C点水平飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行．已知跳台高是，某位运动员的一次动作中，在离开跳台末端C点后水平前进了时，高度恰好下降了（忽略运动过程中所受的空气阻力），为方便研究，我们建立了如图2所示的平面直角坐标系． （1）请写出抛物线的函数解析式． （2）运动员在着陆区斜坡上着陆，可以利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若在终点区上着陆，则会增加受伤风险．请你判断这位运动员此次动作会在哪个区域着陆，并求出着陆点的坐标． 【答案】（1） （2）这位运动员此次动作会在斜坡上着陆，着陆点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数综合应用，根据给定背景获取坐标点， （1）根据题意得和，结合图像的值抛物线的对称轴为y轴，设抛物线解析式为待定系数法求得解析式； （2）利用勾股定理求得点D的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求得直线的解析式为，联立可求得方程组的解，再判断落点位置即可． 【小问1详解】 解：∵运动员从跳台区的末端C点水平飞出， ∴抛物线的顶点为C，坐标为． ∵运动员在离开跳台末端C点后水平前进了时，高度恰好下降了， ∴抛物线上该点的坐标为． ∵抛物线的对称轴为y轴， ∴设抛物线的解析式为． 依题意，得，解得， ∴抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 ∵，， ∴． 设直线的解析式为． ∵，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∵抛物线与直线交于点和． ∵， ∴这位运动员此次动作会在斜坡上着陆点的坐标为． 22. 已知，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转得到，使点C的对应点E落在边上，射线交于点F，连接． （1）如图1，当时． ①求证：点E是的中点； ②求出的度数； （2）如图2，当时，在DF上截取，连接，判断，，之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，直接写出的长． 【答案】（1）①见解析；② （2），理由见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）①当时，，由三角形内角和定理可得，由直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，则，即可得证；②由旋转的性质可得：，则，由①可得点E是的中点，从而可得垂直平分，进而可得，即可得出结果； （2）由旋转的性质可得，，，在DF上截取，连接，证明，得出，，再证明为等边三角形，得出，即可得出结果； （3）分两种情况：当是锐角时，作于点；当是钝角时，作于点，分别结合勾股定理以及相似三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 ①证明：当时，， ∴ ， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵点E落在边上， ∴点E是的中点； ②由旋转的性质可得：， ∴， 由①可得点E是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由旋转的性质可得：，，， 在DF上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图，当是锐角时，作于点， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， 由（2）可得：， ∴； 如图：当是钝角时，作于点， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 由旋转的性质可得：，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， 由（2）可得：， ∴； 综上所述，的长为或． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，则称这个点是“二倍点”，如，，都是“二倍点”． （1）直接写出直线上的“二倍点”的坐标________． （2）如图，点A为函数（，）的图象上的“二倍点”．过点A做y轴的平行线交直线于点B（点B在点A下方），点C为直线在第一象限内图象上的“二倍点”，且点C在的右侧，若的面积为，求k的值． （3）①若二次函数的图象上只存在一个唯一的“二倍点”，当时，该二次函数的最小值为，最大值为顶点的纵坐标，求n的值及m的取值范围． ②当时，二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，请直接写出c的取值范围________． 【答案】（1） （2）18 （3）①，的取值范围为；② 【解析】 【分析】（1）利用“二倍点”的定义求解即可； （2）过点C作的延长线于点D，根据“二倍点”的定义求出点A、C的坐标，利用列方程求解即可； （3）①根据“二倍点”定义可得，“二倍点”都在上，由二次函数的图象上只存在一个唯一的“二倍点”求出的值，再利用二次函数的图象性质求解即可； ②根据题意求出，则顶点坐标为，从而求出的取值范围． 【小问1详解】 解：设“二倍点”的坐标为， 将代入直线得： ， 解得：， ， 直线上的“二倍点”的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，过点C作的延长线于点D， 点A为函数的图象上的“二倍点”， 设点，点， 将点代入函数得： ， 解得：， 轴， 将代入得：， ， ， 将点代入直线得： ， 解得：， ， ， ， ， ， 解得：或（舍去）， ； 【小问3详解】 解：①根据“二倍点”定义可得，“二倍点都在上， 联立， 整理得：， 二次函数的图象上只存在一个唯一的“二倍点”， 判别式， 解得：， 二次函数， 二次函数的对称轴为，顶点坐标为， 当时，该二次函数的最小值为，最大值为顶点的纵坐标， 则， 将代入该二次函数解析式得：， 解得：或（舍去）， 将代入该二次函数解析式得：， 要使区间内最小值为，则， 综上所述，，的取值范围为； ②联立， 整理得：， 二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”， ， 解得：， ， 顶点坐标为， 当时， ， 当时， ， 的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，反比例函数的图象性质、“二倍点”的定义，熟练掌握二次函数的图象性质，正确理解新的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $