精品解析：2025年辽宁省盘锦市兴隆台区辽河油田教育集团中考一模数学试题

2025初中学业水平考试模拟考试一 数学试卷 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 如图，下面是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据俯视图的意义，得到从上面看的图形，进而得出答案． 【详解】解：从上面看，得到的图形是两行，其中（上往下）第一行为3个小正方形，第二行是1个小正方形，选项C中的图形符合题意， 故选：C． 3. 截止2025年5月5日，《哪吒之魔童闹海》的全球票房已突破亿元，将用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：． 故选：C． 4. 标志是表明事物特征的识别符号，下列交通标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B．是中心对称图形，故该选项符合题意； C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、积的乘方和完全平方公式，熟练掌握各项运算法则是解题的关键． 根据合并同类项法则，积的乘方法则，完全平方公式逐项判断，即可得出答案． 【详解】解：，故A选项计算错误，不合题意； 与指数不同，不是同类项，不能合并，故B选项计算错误，不合题意； ，故C选项计算正确，符合题意； ，故D选项计算错误，不合题意； 故选：C． 6. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 一批罐装饮料的防腐剂含量的调查 B. 一批手机电池的使用寿命的调查 C. 某品牌汽车的抗撞击能力的调查 D. 某班学生的身高情况的调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A. 一批罐装饮料的防腐剂含量的调查，适合采用抽样调查，故本选项不符合题意； B. 一批手机电池的使用寿命的调查，适合采用抽样调查，故本选项不符合题意； C. 某品牌汽车的抗撞击能力的调查，适合采用抽样调查，故本选项不符合题意； D. 某班学生的身高情况的调查，适合采用全面调查，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，直线，直线分别与直线，相交于点E，F，于点M，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，根据直角三角形的两个锐角互余得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 8. 在半径为3的圆中，90°的圆心角所对的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧长的公式进行解答． 【详解】解：根据弧长的公式， 得到： ． 故选：C． 【点睛】本题考查弧长的计算，熟记弧长公式是解题关键，属于基础题． 9. 如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点E，连接．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的定义及其尺规作图，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，由矩形的性质可得，，由作图可知，平分，则有，则可证明是等腰直角三角形，得到，再求出的长，即可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由作图可知，平分， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 在中，． 故选：B． 10. 如图，直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B、C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为（　　） A. 4.2 B. 4.8 C. 5.4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的解析式可求出点B、A的坐标，进而可求出OA、OB的长，再利用勾股定理即可求出AB的长，由菱形的性质可得OE⊥AB，OE=DE，再根据直角三角形的面积可求出OE的长，进而可求出OD的长. 【详解】解：∵直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴点A（3,0）、点B（0,4）， ∴OA=3，OB=4， ∴AB=， ∵四边形OADC是菱形, ∴OE⊥AB，OE=DE， 由直角三角形的面积得， 即3×4=5×OE. 解得：OE=2.4， ∴OD=2OE=4.8. 故选B. 【点睛】本题考查了菱形的性质和一次函数与坐标轴的交点问题，难度不大，题目设计新颖，解题的关键是把求OD的长转化为求直角△AOB斜边上的高OE的长的2倍. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 12. 若分式的值为0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件是分子为零，分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得， 故答案为：． 13. 一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图，从而可得两次摸球的所有等可能的结果，再找出两次标号之和为3的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，两次摸球的所有等可能的结果共有4种，其中，两次标号之和为3的结果有2种， 则两次标号之和为3的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． 14. 我国的《九章算术》中记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据人数为x，每人出9钱，会多出11钱，可知买鸡共花费，由每人出6钱，又差16钱，可知买鸡共花费，根据买鸡的花费相同，可列方程．本题考查了一元一次方程的应用．根据买鸡的花费相同，正确的列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意知，可列方程为， 故答案为：． 15. 如图，边长为3的正方形中，点E为边上的一点，且，连接，将沿翻折得到，连接并延长交的延长线于点F，连接，则的值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形折叠问题，解直角三角形，勾股定理，延长交于点，连接，交于点，证明得出，设，在中，得出，进而根据得出，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，交于点， ∵将沿翻折得到，边长为3的正方形中，， ∴，，， ∴， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， 设， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算与分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，计算即可；　 （2）先对分子和分母因式分解，将除式的分子、分母交换位置将除法转化为乘法，然后约分、化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为丰富学生的大课间活动，某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用600元购买足球的数量是用450元购买篮球数量的2倍． （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，但要求足球和篮球的总费用不超过8000元，学校最多可以购买多少个篮球？ 【答案】（1）足球的单价为元，篮球的单价为元； （2）学校最多可购买66个篮球 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用． （1）设足球的单价为元，根据篮球的单价比足球的单价的2倍少30元，用600元购买足球的数量是用450元购买篮球数量的2倍，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买篮球个，根据总费用不超过8000元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设足球的单价为元，则篮球的单价为：元，由题意，得： ， 解得：； 经检验，是原方程的解， ∴， 答：足球的单价为元，篮球的单价为元； 【小问2详解】 设购买篮球个，则购买足球个，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为66； 答：学校最多可购买66个篮球． 18. 某社区为了解居民消防安全知识的掌握情况，随机选取了部分居民进行消防知识问卷调查，问卷满分分．问卷成绩分，，，四个等级，级：分分；级：分分；级：分分；级：分以下（成绩取整数），将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）该社区居民中参加本次消防安全知识问卷调查共有 人，C级占 ； （2）补全条形统计图； （3）若该社区共有居民人，试估计该社区居民中对消防安全知识的掌握能达到级的人数． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，解题的关键是根据扇形统计图得出解题所需数据． （1）用级人数除以它所占的百分比得到测试的总人数，根据总人数以及条形图，计算出C级人数，进而求得级所占的百分比； （2）根据级人数，补全条形统计图； （3）用乘以样本中级人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：（人） 所以该社区参加本次消防安全知识问卷调查共有人； 等级的人数为：（人） 级占 故答案为：，． 【小问2详解】 补全条形统计图为： 【小问3详解】 由题得：（人） 所以估计该社区居民中对消防安全知识的掌握能达到级的人数为人． 19. 某公司以元千克的价格收购一批农产品进行销售，经过市场调研发现，销售量y（千克）与售价x（元）之间满足一次函数关系，且当售价为元时，能销售千克；当售价为元时，能销售千克；但售价最高不得超过元． （1）求与之间的函数表达式； （2）若公司增加其他营销手段，销售量将提高到原来的倍，但售价在元的基础上每增加元，需多支付其他费用元，请问售价为多少元，该商家能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价为  元时，获得最大利润，最大利润为  元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合应用，学会用待定系数法求解一次函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． （1）根据题意待定系数法，求解析式，即可求解； （2）设利润为，根据销售量乘以销售价格减去销售成本和其他费用，列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为， 依题意，得 解得： ∴ 【小问2详解】 解：设利润为，根据题意得， ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为 答：售价为  元时，获得最大利润，最大利润为  元 20. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与底面垂直的两栋楼的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案，如图，无人机悬停在、两楼之间上方的点O处，此时测出到楼顶部点A处的俯角为，点O到楼的距离，测出到楼顶部点C处的俯角为，已知两栋楼之间的距离．（点A，B，C，D，O在同一平面内） （1）求的长；（保留根号） （2）求两栋楼的高度之差．（结果精确到1m）（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰三角形的判定： （1）根据即可求解； （2）过C作于H，根据矩形的性质得到，解直角三角形求出，结合的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 答：的长； 【小问2详解】 解：过C作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，∵，，， ∴， 由（1）得：， ∴两栋楼与的高度之差为． 21. 已知：如图1，是的外接圆，是的直径，平分，交于点D，过点D作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）如图2，若，，平分交于点F，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，结合平分可得，再根据可得，即可证明是的切线； （2）如图，作于点，连接，根据圆周角定理得出，根据平分，得出，即可得，推出根据，，得出，即可求出，根据圆周角定理得出，解直角三角形求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，作于点，连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题以圆为载体，以考查切线的判定、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等重要几何知识点为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 22. 问题情境： 如图1，在菱形中，，点为边上一动点（且不与点、点重合），在的延长线上，且，连接、，射线交于． 猜想证明： （1）试判断图1中的形状，并说明理由； （2）①如图2，连接，当点是的中点时，探究、、之间的关系，并说明理由；②如图，当点不是的中点时，①中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 问题解决： （3）若，，直接写出的长． 【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）①；，证明见解析；②成立，证明见解析（3）或 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得则，结合已知，即可得出结论； （2）①证明是等边三角形，是的垂直平分线，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，又，则； ②在上截取，连接，则是等边三角形，证明是等边三角形，进而证明，，得出是等边三角形，则，即可得证； （3）连接，过点作，垂足为，得出，利用构造等边三角形底边上的高的方法，证明，分两种情形,根据相似三角形的性质，求解即可． 【详解】解：（1）是等边三角形，理由如下： ∵在菱形中， ∴， 又∵， ∴, ∵， ∴是等边三角形， （2）①，理由如下： 连接，如图， ∵在菱形中，， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵点是的中点 ∴，即是的垂直平分线， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴； ②成立，理由如下：在上截取，连接， 四边形是菱形，， ，是等边三角形，， 是等边三角形， ，， 四边形是菱形，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． （3）如图3，连接，过点作，垂足为， 根据（2）得，都是等边三角形， ，， ， ， ， 在直角三角形中，， ， 根据（）得， ， ， ， ， ； 如图，连接，过点作，垂足为， 根据（2）得，都是等边三角形， ，， ， ， ， 在直角三角形中，， ， 根据（）得， ， ， ， ：：， ； 故长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数，分类的思想，熟练菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的性质，活用特殊角的三角函数是解题的关键． 23. 已知和都是自变量x的函数，若当时，，当时，，则称函数为函数的“关联函数”．例如：函数，则称为函数的“关联函数”，图1、图2分别为、的图象． （1）若点在函数的“关联函数”的图象上，求m的值； （2）点P是反比例函数图象上的一点，且纵坐标为2，过点P作轴，交的“关联函数”的图象于点Q，当时，则________． （3）二次函数的图象过，两点， ①当时，的取值范围是，求n的值； ②若点P在的图象上，且P点的横坐标为，点Q坐标为，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当的图象在矩形内部的点纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 （3）①；②或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数与几何综合，熟知三种函数的性质，分类谈论是解题的关键． （1）根据题意写出的解析式，代入求值即可； （2）画出图形，根据反比例函数的性质即可解答； （3）①利用二次函数的性质，分类讨论即可解答； ②画出不同取值范围时的图象，逐一判断解答即可． 【小问1详解】 解：函数的“关联函数”的解析式为， 把代入， 可得可得， 解得； 把代入， 可得， 解得， 综上，或； 【小问2详解】 解： 如图，当时， ， 根据反比例函数的性质可得点关于轴对称， ， 点横坐标为， ； 当时，的“关联函数”在第三、四象限， 这与点纵坐标为2不符， 故不符合条件， 综上， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①二次函数的图象过，两点， 二次函数的解析式为， ， 当时，， 当时， 中，随的增大而增大， 当时，， ， 解得， 当时，，故不成立； 当时，在时取最小值， 可得， 解得（舍去）， 当时，在时取最小值， 即， 解得（不成立，舍去）， 综上所述，； ②若点P在的图象上，且P点的横坐标为，点Q坐标为，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当的图象在矩形内部的点纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出t的取值范围． 如图，当时，， ， 此时，以为对角线的矩形中，在矩形内部的存在的图象点纵坐标y随x的增大而增大，故成立； 如图，，即时， ， 此时，以为对角线的矩形中，在矩形内部存在两段图象，故不成立； 如图，，即时， ， 此时，以为对角线矩形中，在矩形内部存在点纵坐标y随x的增大而减小，故成立； 如图，当时， ， 此时，以为对角线的矩形中不存在图象，故不成立； 当时， 即时， ， 此时，以为对角线的矩形中不存在图象，故不成立； 当时，， ， 此时，以为对角线的矩形中不存在图象，在矩形内部存在点纵坐标y随x的增大而增大，故成立； 当时，， ， 此时，以为对角线的矩形中，在矩形内部的存在的图象有两段，故不成立； 综上所述，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025初中学业水平考试模拟考试一 数学试卷 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 如图，下面是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 截止2025年5月5日，《哪吒之魔童闹海》的全球票房已突破亿元，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 标志是表明事物特征的识别符号，下列交通标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 一批罐装饮料的防腐剂含量的调查 B. 一批手机电池的使用寿命的调查 C. 某品牌汽车的抗撞击能力的调查 D. 某班学生的身高情况的调查 7. 如图，直线，直线分别与直线，相交于点E，F，于点M，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 在半径为3的圆中，90°的圆心角所对的弧长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，以矩形顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点E，连接．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B、C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为（　　） A. 4.2 B. 4.8 C. 5.4 D. 6 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 12. 若分式的值为0，则的值为______． 13. 一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为_______________． 14. 我国的《九章算术》中记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为______． 15. 如图，边长为3的正方形中，点E为边上的一点，且，连接，将沿翻折得到，连接并延长交的延长线于点F，连接，则的值______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 17. 为丰富学生的大课间活动，某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用600元购买足球的数量是用450元购买篮球数量的2倍． （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，但要求足球和篮球的总费用不超过8000元，学校最多可以购买多少个篮球？ 18. 某社区为了解居民消防安全知识的掌握情况，随机选取了部分居民进行消防知识问卷调查，问卷满分分．问卷成绩分，，，四个等级，级：分分；级：分分；级：分分；级：分以下（成绩取整数），将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）该社区居民中参加本次消防安全知识问卷调查共有 人，C级占 ； （2）补全条形统计图； （3）若该社区共有居民人，试估计该社区居民中对消防安全知识的掌握能达到级的人数． 19. 某公司以元千克的价格收购一批农产品进行销售，经过市场调研发现，销售量y（千克）与售价x（元）之间满足一次函数关系，且当售价为元时，能销售千克；当售价为元时，能销售千克；但售价最高不得超过元． （1）求与之间函数表达式； （2）若公司增加其他营销手段，销售量将提高到原来的倍，但售价在元的基础上每增加元，需多支付其他费用元，请问售价为多少元，该商家能获得最大利润，最大利润是多少？ 20. 某校“综合与实践”活动小组同学要测量与底面垂直的两栋楼的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案，如图，无人机悬停在、两楼之间上方的点O处，此时测出到楼顶部点A处的俯角为，点O到楼的距离，测出到楼顶部点C处的俯角为，已知两栋楼之间的距离．（点A，B，C，D，O在同一平面内） （1）求长；（保留根号） （2）求两栋楼的高度之差．（结果精确到1m）（参考数据：，，，） 21. 已知：如图1，是的外接圆，是的直径，平分，交于点D，过点D作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）如图2，若，，平分交于点F，求长． 22. 问题情境： 如图1，在菱形中，，点为边上一动点（且不与点、点重合），在的延长线上，且，连接、，射线交于． 猜想证明： （1）试判断图1中的形状，并说明理由； （2）①如图2，连接，当点是的中点时，探究、、之间的关系，并说明理由；②如图，当点不是的中点时，①中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 问题解决： （3）若，，直接写出的长． 23. 已知和都是自变量x的函数，若当时，，当时，，则称函数为函数的“关联函数”．例如：函数，则称为函数的“关联函数”，图1、图2分别为、的图象． （1）若点在函数的“关联函数”的图象上，求m的值； （2）点P是反比例函数图象上的一点，且纵坐标为2，过点P作轴，交的“关联函数”的图象于点Q，当时，则________． （3）二次函数的图象过，两点， ①当时，的取值范围是，求n的值； ②若点P在的图象上，且P点的横坐标为，点Q坐标为，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当的图象在矩形内部的点纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $