精品解析：广东韶关地区2025-2026学年八年级下学期学业水平监测数学试题

2025－2026学年第二学期期中学业水平监测 八年级数学 注意事项： 1.全卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的考号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应号码的标题涂黑． 3.在答题卡上完成作答，答案写在试卷上无效． 一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，一定是二次根式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义：一般形如的式子做二次根式分析，即可完成求解． 【详解】A、被开方数小于0，式子没有意义，故本选项不合题意； B、是二次根式，故本选项符合题意； C、不是二次根式，故本选项不合题意； D、，当a＜0时，二次根式无意义，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义，从而完成求解． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，符合两个条件即为最简二次根式． 【详解】解：∵选项A，的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项B，，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义，∴是最简二次根式，本选项符合题意； ∵选项D，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：C． 3. 直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（　　） A. 2cm B. 2.5cm C. 3cm D. 4cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案. 【详解】解：直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为3cm， 故选C． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，熟记性质是解决本题的关键. 4. 如图，直线，点在直线上，过点向直线引直线，与的交点分别是、D，若测得，并且其中有一条是表示直线与直线之间的距离，那么你认为直线与直线之间的距离应该是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短，即可得出结果. 【详解】解：直线 ，且其中有一条线段表示直线与直线之间的距离， 该线段即为点到直线的垂线段， 从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短， 该距离应为中的最小值， ， ， 直线与直线之间的距离是. 5. 如图，在矩形中，，交于点O．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质得到，，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 故选：D． 6. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝5，BD＝4，DC＝2，则AC=（ ） A. 13 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由勾股定理可求得，则在中，由勾股定理可求得． 【详解】解：， ， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练运用勾股定理求直角三角形的边长是解题的关键． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，减法，以及乘除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式的加法，减法，以及乘除法运算计算即可． 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，故错误； B选项，属于同类二次根式相减，即，故错误； C选项，根据二次根式的除法运算法则，，故错误； D选项，根据二次根式的乘法运算法则，，故正确． 故选：D ． 8. 如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得出，设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则为平行四边形的高，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则为平行四边形的高， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质，要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系． 9. 在学习勾股定理时，小明利用右图验证了勾股定理．若图中，，则阴影部分直角三角形的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据图形及勾股定理求出c，再利用三角形面积公式求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 10. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（ ） A. 2.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理求出的长，即可得到的长，进而得到点表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴点表示的数是； 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 要使在实数范围内有意义，x应满足的条件_______． 【答案】x≥﹣2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x+2≥0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得x+2≥0， 解得x≥﹣2， 所以x的取值范围为x≥﹣2． 故答案为x≥﹣2． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握要使二次根式有意义，需让被开方数是非负数即可解决问题． 12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理求平面直角坐标系中两点的距离，解题关键是掌握勾股定理． 直接利用勾股定理求解． 【详解】解：点到原点的距离是， 故答案为：5． 13. 已知：，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根及偶次幂的非负性，根据算术平方根及偶次幂的非负性求得x，y的值，然后求得的值． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， 那么， 故答案为：． 14. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为30m，则A，B两点间的距离为______m． 【答案】60 【解析】 【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解． 【详解】解：∵点D，E分别是AC和BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵DE＝30， ∴AB＝2DE＝2×30＝60（m）． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键． 15. 如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性．延长交于点T，证明，则． 【详解】解：延长交于点T，如图， 由折叠可得：， ∵ ∴， ∴， ， ， ∵ 故答案为：． 三．解答题（一）：本大题共计3小题，每题7分，共计21分． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则． （1）先计算乘法，再计算加减； （2）先根据二次根式的性质化简，再计算加减． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 已知，求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1）13 ；（2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式进行化简后代入求值即可解答； （2）利用平方差公式进行化简后代入求值即可解答； 【详解】（1） ； （2）； 【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握并准确计算是解题的关键. 18. 如图，是四边形的对角线，，垂足分别为E，F，且．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键； 先证明，得到，进而可得，即可证明四边形是平行四边形，即可得到结论． 【详解】略 四、解答题（二）：本大题共计3小题，每题9分，共计27分． 19. 如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． （1）直接写出___________，___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由； （3）直接写出边上的高为___________． 【答案】（1），5， （2）是直角三角形，见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用等积法，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ， ，，， 故答案为：，5，； 【小问2详解】 解：是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； 【小问3详解】 解：设边上的高为， 的面积， ， ． 20. 阅读下列解题过程： ===-2； ==． 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出式子=　 　； （2）观察上面的解题过程，请直接写出式子=　 　； （3）利用上面所提供的解法，请求+···+的值． 【答案】（1）；（2） ；（3）9. 【解析】 【分析】（1）观察上面的化简过程，发现：分母中的两个被开方数正好相差是1，所以运用平方差公式分母有理化后，分母变成了1，分子就是和分母构成平方差公式的式子； （2）（1）观察上面的化简过程，发现：分母中的两个被开方数正好相差是1，所以运用平方差公式分母有理化后，分母变成了1，分子就是和分母构成平方差公式的式子； （3）根据（2）的结论，化简各个二次根式，发现抵消的规律，计算出最后结果． 【详解】（1）==； （2）==； （3）+···+ =﹣1+﹣+﹣+﹣+…+﹣ = =10﹣1 =9． 【点睛】本题考查分母有理化的应用，解题的关键是读懂题意，掌握分母有理化的应用. 21. 实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过一个固定的轮子，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）垂直，且，设． 实验条件 绳子始终绷紧，轮子、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1） （2）滑块向左滑动的距离为 【解析】 【分析】（1）设，则，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）求出此时的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【小问1详解】 解：在图1中， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴， 绳子长度； 【小问2详解】 解：在图2中， 若物体升高，则此时， 在中，由勾股定理得， 答：滑块向左滑动的距离为． 五、解答题（三）：本大题共计2小题，第22题13分，第23题14分，共计27分． 22. 阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． 问题解决 （1）判断图1中的中点四边形的形状，并说明理由； （2）当图1中的四边形的对角线添加条件 时，这个中点四边形是正方形． 拓展延伸 （3）如图2，在四边形中，点M在上且和为等边三角形，E、F、G、H分别为，，，的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】 （1）四边形是平行四边形，理由如下： 连接，， ∵E，F分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）且； （3）四边形为菱形，证明：连接与， ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）连接，，利用三角形中位线定理可得，，，，则，，从而证明结论； （2）根据矩形和菱形的判定可得答案； （3）连接与，首先利用证明，得，然后由（1）（2）同理可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）当且时，四边形是正方形，理由如下： 由（1）同理可得：，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； （3）略 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形，菱形，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键． 23. （1）如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF= °； （4）如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长 ． 【答案】（1）AE＝MN．理由见解析；（2）AQ＝CQ，理由见解析；（3）45；（4）2 【解析】 【分析】（1）过点B作BF∥MN交CD于点F，则四边形MBFN为平行四边形，得出MN=BF，BF⊥AE，由ASA证得△ABE≌△BCF，得出AE=BF，即可得出结论； （2）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HI⊥AD，HI⊥BC，HI=AB=AD，证△DHQ是等腰直角三角形，得HD=HQ，AH=QI，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）由HL证得Rt△AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH=∠QEI，证∠AQE=90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出结果； （4）延长AG交BC于E，则EG=AG=5，得AE=10，由勾股定理得和折叠的性质即可得出结果． 【详解】解：（1）AE＝MN 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD， 过点B作BF∥MN交CD于点F，如图1所示： ∴四边形MBFN为平行四边形， ∴MN＝BF，BF⊥AE， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∵∠ABF+∠CBF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF， ∴AE＝MN； （2） AQ＝CQ， 理由：在图2中，连接AQ、CQ， 在△ABQ和△CBQ中， ∴△ABQ≌△CBQ， ∴AQ＝CQ， ∵MN⊥AE于F，P为AE中点， ∴AQ＝EQ， ∴EQ＝CQ ； (3) ∠AEF=45° 连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD．BC于点H、I，如图3所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴四边形ABIH为矩形， ∴HI⊥AD， HI⊥BC， HI= AB= AD， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠BDA = 45°， ∴△DHQ是等腰直角三角形， ∴HD=HQ，AH=QI， ∵MN是AE的垂直平分线， AQ= QE， 在Rt△AHQ和Rt△QIE中， ∵AQ= QE，AH= QI， ∴Rt△AHQ≌Rt△QIE(HL)， ∴∠AQH =∠QEI， ∴∠AQH＋∠EQI = 90°， ∴△AQ E是等腰直角三角形， ∴∠EAQ=∠AEQ=45°， 即∠AEF= 45° (4) AC′=2 由(3)延长AG交BC于E，如图4所示： 则EG=AG=5， ∴AE= 10， 在Rt△ABE中， BE= CE= BC- BE= 8-6=2， 由折叠的性质得： AC'=CE=2 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期期中学业水平监测 八年级数学 注意事项： 1.全卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的考号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应号码的标题涂黑． 3.在答题卡上完成作答，答案写在试卷上无效． 一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，一定是二次根式的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（　　） A. 2cm B. 2.5cm C. 3cm D. 4cm 4. 如图，直线，点在直线上，过点向直线引直线，与的交点分别是、D，若测得，并且其中有一条是表示直线与直线之间的距离，那么你认为直线与直线之间的距离应该是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，，交于点O．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 6. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝5，BD＝4，DC＝2，则AC=（ ） A. 13 B. C. D. 5 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 9. 在学习勾股定理时，小明利用右图验证了勾股定理．若图中，，则阴影部分直角三角形的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 10. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（ ） A. 2.2 B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 要使在实数范围内有意义，x应满足的条件_______． 12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 13. 已知：，那么________． 14. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为30m，则A，B两点间的距离为______m． 15. 如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为____________． 三．解答题（一）：本大题共计3小题，每题7分，共计21分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，求下列代数式的值： （1） （2） 18. 如图，是四边形的对角线，，垂足分别为E，F，且．求证：． 四、解答题（二）：本大题共计3小题，每题9分，共计27分． 19. 如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． （1）直接写出___________，___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由； （3）直接写出边上的高为___________． 20. 阅读下列解题过程： ===-2； ==． 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出式子=　 　； （2）观察上面的解题过程，请直接写出式子=　 　； （3）利用上面所提供的解法，请求+···+的值． 21. 实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过一个固定的轮子，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）垂直，且，设． 实验条件 绳子始终绷紧，轮子、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 五、解答题（三）：本大题共计2小题，第22题13分，第23题14分，共计27分． 22. 阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． 问题解决 （1）判断图1中的中点四边形的形状，并说明理由； （2）当图1中的四边形的对角线添加条件 时，这个中点四边形是正方形． 拓展延伸 （3）如图2，在四边形中，点M在上且和为等边三角形，E、F、G、H分别为，，，的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 23. （1）如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF= °； （4）如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $