专题06： 定义、命题、证明（4个概念+10大题型） 2025-2026学年七年级下学期数学期末考试专题复习（苏科版）

2025-2026学年七年级下学期 数学期末专题复习 专题:06： 定义、命题、证明（4个概念+10大题型） 模块1：知识结构+题型预览 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：定义 1.定义：对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义,有时也说 “给概念下定义”.根据概念的定义,就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念 .给概念下定义时要求语言简单明了、标准清晰,可以明确地区分这个概念所包含的对象. 2.一个概念的定义中通常含有“叫做”、“称为”等词语。 考点2：命题 1.命题：可以判断真假的陈述句叫作命题.一个命题要么为真,要么为假,二者必居其一. 2.数学命题的构成：数学命题一般都由条件和结论两部分组成. 3.命题根据正确还是错误可以将命题分为真命题和假命题。 真命题：正确的命题称为真命题；假命题：错误的命题称为假命题。 4. 互逆命题：一个命题A的条件是另一个命题B的结论，这个命题A的结论是命题B的条件，这样个两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个命题称为这个命题的逆命题。 考点3：证明 1.证明：从命题的条件出发,根据一些已知的事实 (如概念的定义,基本性质,真命题等),用 “因为……,所以……”的形式一步一步推出命题的结论,从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。 2.反证法：通过否定命题的结论,发现了矛盾,从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法 . 用反证法证明一个命题的步骤一般为: （1）先假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发,经过若干步推理,得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定原来命题的结论成立. 在说明一个命题是假命题时,常用“举反例”的方法 .举反例的关键是找到一个符合命题条件,但不符合命题结论的例子. 考点4：定理 1.定理：一般情况下,数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理.定理可以作为证明后续命题的依据 . 由一个定理直接推出的重要结论,一般叫作这个定理的推论. 2.常用基本定理： （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 （2）三角形内角和定理推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （3）多边形内角和定理:边形的内角和等于 （4）多边形外角和定理: 多边形的外角和等于360°. （5）平行线的性质定理: 平行于同一条直线的两条直线平行 . 模块3：重点题型+变式训练 【题型1】定义的概念与识别 例题1．下列语句中不是定义的是（    ） A．只有符号不同的两个数互为相反数 B．大于的数叫作正数 C．对顶角相等 D．几个单项式的和叫作多项式 【变式训练】 1．下列描述不属于定义的是（    ） A．单项式和多项式统称整式 B．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 C．两点之间线段最短 D．含有未知数的等式叫做方程 3．下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 3．下列句子中，是定义的是（    ） A．在正数前面加上符号“”的数是负数 B．，两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 4．下列语句中，属于定义的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同角的余角相等 C．垂线段最短 D．有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 【题型2】命题的概念与识别 例题2．下列语句中，是命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截 B．两直线相交吗 C．过直线外一点作这条直线的垂线 D．内错角相等 【变式训练】 1．下列语句中不是命题的是（    ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．画直线 D．直角都相等 2．下列语句是命题的是（  ） A．加 B．任何一个数的绝对值不小于零 C．过点A作直线l的平行线 D．直线a与b垂直吗？ 3．下列语句中，是命题的是（    ） A．画一个角等于已知角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？ C．等角的余角相等 D．延长线段到点，使得 4．下列句子中，是真命题的是（   ） A．你的作业做完了吗？ B．负数都小于0 C．过直线l外一点作l的平行线 D．相等的角是对顶角 【题型3】命题的构成 例题3．命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 【变式训练】 1．命题“对顶角相等”的条件是（    ） A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角 2．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 3．写出“同位角相等，两直线平行”的结论为__________． 4．命题“和为的两个角互为补角”的条件是____________，结论是____________． 【题型4】真命题与假命题 例题4．下列语句中，是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．若，则 D．对于直线a，b，c，如果，，那么 【变式训练】 1．下列命题中是真命题的是（  ） A．邻补角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除 2．下列命题中，是真命题的共有（   ）个． （1）对顶角相等； （2）同位角相等； （3）邻补角是互补的角； （4）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列命题中，是假命题的是（    ） A．同旁内角互补 B．直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短 C．若，则 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 4．下列命题是假命题的是（    ） A．直角都相等 B．同位角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．内错角相等 【题型5】写出一个命题的逆命题 例题5．请写出命题“如果，那么”的逆命题：_______． 【变式训练】 1．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______． 2．命题“如果，那么”的逆命题是___________命题．（填“真”或“假”） 3．“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是___________． 4．把“直角相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为____________． 【题型6】举例说明一个命题是假命题 例题6．对于命题“如果，，那么”，下面四组值中，能说明这个命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．下列选项中，能够说明“若是非零有理数，则”是假命题的是（    ） A． B． C． D． 3．若要说明“如果，那么”为假命题，则，的值可以是（  ） A．， B．， C．， D．， 4．判断命题“如果某不等式的解集有两个正整数解，那么”是假命题的一个反例中a可以是_________． 【题型7】补充证明过程和数学依据 例题7．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【变式训练】 1．一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____．求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 2．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 3．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 4．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【题型8】根据三角形内角和定理及推论证明或计算 例题8．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别在边、上，将沿着折叠压平使与重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在中，、分别平分、．若，则________． 2．如图，在中，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数． 3．如图，在中，是的角平分线，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 4．如图，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，且点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【题型9】与代数命题相关的证明 例题9．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【变式训练】 1．已知能被13整除，求证：能被13整除． 2．已知是正整数，求证：能被4整除． 3．求证：对任意自然数，式子的值都能被12整除． 【题型10】用反证法证明问题 例题10．用反证法证明：如果三个数之和为1，那么这三个数中至少有一个大于等于． 【变式训练】 1．用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 2．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截．求证：． 证明：假设________， ， ________， ________， ________，这和“平角的定义”矛盾， 假设________不成立，即． 3．已知直线，直线c与b相交，且c与b不垂直．用反证法证明a与c相交． 4．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期 数学期末专题复习 专题:06： 定义、命题、证明（4个概念+10大题型） 模块1：知识结构+题型预览 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：定义 1.定义：对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义,有时也说 “给概念下定义”.根据概念的定义,就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念 .给概念下定义时要求语言简单明了、标准清晰,可以明确地区分这个概念所包含的对象. 2.一个概念的定义中通常含有“叫做”、“称为”等词语。 考点2：命题 1.命题：可以判断真假的陈述句叫作命题.一个命题要么为真,要么为假,二者必居其一. 2.数学命题的构成：数学命题一般都由条件和结论两部分组成. 3.命题根据正确还是错误可以将命题分为真命题和假命题。 真命题：正确的命题称为真命题；假命题：错误的命题称为假命题。 4. 互逆命题：一个命题A的条件是另一个命题B的结论，这个命题A的结论是命题B的条件，这样个两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个命题称为这个命题的逆命题。 考点3：证明 1.证明：从命题的条件出发,根据一些已知的事实 (如概念的定义,基本性质,真命题等),用 “因为……,所以……”的形式一步一步推出命题的结论,从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。 2.反证法：通过否定命题的结论,发现了矛盾,从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法 . 用反证法证明一个命题的步骤一般为: （1）先假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发,经过若干步推理,得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定原来命题的结论成立. 在说明一个命题是假命题时,常用“举反例”的方法 .举反例的关键是找到一个符合命题条件,但不符合命题结论的例子. 考点4：定理 1.定理：一般情况下,数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理.定理可以作为证明后续命题的依据 . 由一个定理直接推出的重要结论,一般叫作这个定理的推论. 2.常用基本定理： （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 （2）三角形内角和定理推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （3）多边形内角和定理:边形的内角和等于 （4）多边形外角和定理: 多边形的外角和等于360°. （5）平行线的性质定理: 平行于同一条直线的两条直线平行 . 模块3：重点题型+变式训练 【题型1】定义的概念与识别 例题1．下列语句中不是定义的是（    ） A．只有符号不同的两个数互为相反数 B．大于的数叫作正数 C．对顶角相等 D．几个单项式的和叫作多项式 【答案】C 【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：“只有符号不同的两个数互为相反数”，描述了相反数的定义，不符合题意； 对于选项B：“大于0的数叫作正数”，描述了正数的定义，不符合题意； 对于选项C：“对顶角相等”是命题，不是定义，符合题意； 对于选项D：“几个单项式的和叫作多项式”，描述了多项式的定义，不符合题意． 【变式训练】 1．下列描述不属于定义的是（    ） A．单项式和多项式统称整式 B．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 C．两点之间线段最短 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】C 【分析】根据整式、角、方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A、单项式和多项式统称整式，是定义，不符合题意； 选项B、有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，是定义，不符合题意； 选项C、两点之间线段最短，不是定义，符合题意； 选项D、含有未知数的等式叫作方程，是定义，不符合题意． 2．下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】D 【详解】解：选项A、两点确定一条直线，不是定义，不符合题意； 选项B、对顶角相等，不是定义，不符合题意； 选项C、垂线段最短吗，不是定义，不符合题意； 选项D、含有未知数的等式叫做方程，是定义，符合题意． 3．下列句子中，是定义的是（    ） A．在正数前面加上符号“”的数是负数 B．，两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：在正数前面加上符号“”的数是负数，描述了负数的本质，是定义，符合题意； 对于选项B：“，两条直线平行吗”是疑问句，不是定义，不符合题意； 对于选项C：“画一个角等于已知角”是描述操作的句子，不是定义，不符合题意； 对于选项D：“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是定义，不符合题意． 4．下列语句中，属于定义的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同角的余角相等 C．垂线段最短 D．有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 【答案】D 【分析】定义是对某一名称或术语的含义作出明确规定的语句，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：、两直线平行，同位角相等是平行线的性质定理，不是定义； 、同角的余角相等是经过证明的定理，不是定义； 、垂线段最短是基本事实，不是定义； 、有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，对直角三角形的含义作出了明确规定，属于定义． 【题型2】命题的概念与识别 例题2．下列语句中，是命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截 B．两直线相交吗 C．过直线外一点作这条直线的垂线 D．内错角相等 【答案】D 【分析】命题的定义：判断一件事情的语句叫做命题． 【详解】解：A选项两条直线被第三条直线所截没有对事情作出判断，不是命题． B选项两直线相交吗是疑问句，未对事情作出判断，不是命题． C选项过直线外一点作这条直线的垂线是作图描述，未对事情作出判断，不是命题． D选项内错角相等对两直线被截所得内错角的关系作出了判断，符合命题的定义，是命题． 【变式训练】 1．下列语句中不是命题的是（    ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．画直线 D．直角都相等 【答案】C 【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”的定义，判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A选项：“垂线段最短”，对垂线段的性质做出了判断，是命题； B选项：“对顶角相等”，对对顶角的性质做出了判断，是命题； C选项：“画直线”，只是操作指令，没有对任何事情做出判断，不是命题； D选项：“直角都相等”，对直角的性质做出了判断，是命题． 2．下列语句是命题的是（  ） A．加 B．任何一个数的绝对值不小于零 C．过点A作直线l的平行线 D．直线a与b垂直吗？ 【答案】B 【分析】本题考查命题的概念，根据“可以判断真假的陈述句”逐一判断选项即可得到答案． 【详解】A选项没有对事情做出判断，不符合题意． B选项对任意数的绝对值与0的大小关系做出了判断，同时是陈述句，符合命题的定义． C选项是作图操作指令，没有做出判断，不符合题意． D选项是疑问句，不是陈述句，不符合题意． 3．下列语句中，是命题的是（    ） A．画一个角等于已知角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？ C．等角的余角相等 D．延长线段到点，使得 【答案】C 【分析】本题考查命题的定义，根据“判断一件事情的语句叫做命题”这一定义，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：A选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题； B选项是疑问句，没有对事件做出判断，不是命题； C选项是对等角的余角关系做出判断的陈述句，符合命题定义，是命题； D选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题． 4．下列句子中，是真命题的是（   ） A．你的作业做完了吗？ B．负数都小于0 C．过直线l外一点作l的平行线 D．相等的角是对顶角 【答案】B 【分析】可以判断真假的陈述句是命题，正确的命题是真命题，再逐项判断即可． 【详解】解：选项A是疑问句，不能判断真假，不是命题，不符合要求； 选项B“负数都小于0”是能判断真假的陈述句，且结论正确，因此是真命题，符合要求； 选项C是作图指令，不是能判断真假的陈述句，不是命题，不符合要求； 选项D“相等的角是对顶角”是命题，但相等的角不一定是对顶角，结论错误，是假命题，不符合要求． 【题型3】命题的构成 例题3．命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查命题的题设与结论的区分，命题可写为“如果……那么……”的形式，“如果”之后是题设，“那么”之后是结论，根据该规则判断即可． 【详解】解：∵本题中命题“如果，那么或”里，“那么”之后的内容是或， ∴该命题的结论是或． 【变式训练】 1．命题“对顶角相等”的条件是（    ） A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的结构及对顶角的定义，命题“对顶角相等”是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的简写，因此条件部分是“两个角是对顶角”． 【详解】解：∵命题“对顶角相等”等价于“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴条件为“两个角是对顶角”， 故选：D． 2．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 3．写出“同位角相等，两直线平行”的结论为__________． 【答案】两直线平行 【分析】命题由题设和结论两部分组成，将命题改写成“如果那么”的形式，即可得出结论． 【详解】解：将命题改写成“如果那么”的形式为：如果同位角相等，那么两直线平行． 该命题中题设为同位角相等，结论为两直线平行． 4．命题“和为的两个角互为补角”的条件是____________，结论是____________． 【答案】 两个角的和为 这两个角互为补角 【详解】解：命题“和为的两个角互为补角”的条件是：两个角的和为，结论是：这两个角互为补角． 【题型4】真命题与假命题 例题4．下列语句中，是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．若，则 D．对于直线a，b，c，如果，，那么 【答案】D 【分析】运用对顶角性质、平行线性质、平方的性质等知识点，逐个判断选项即可得到正确结论． 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，如平行线的同位角相等，但不是对顶角，因此A是假命题； B．只有两直线平行时，同旁内角才互补，选项缺少前提条件，因此B是假命题； C．若，则或，例如满足但，因此C是假命题； D．根据平行线的性质，平行于同一直线的两条直线互相平行，因此若，，则，D是真命题． 【变式训练】 1．下列命题中是真命题的是（  ） A．邻补角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除 【答案】B 【分析】根据邻补角、对顶角、内错角、整除的性质，逐一判断命题真假即可． 【详解】A、邻补角和为，不一定相等， A是假命题，不符合题意； B、对顶角的性质为对顶角相等， B是真命题，符合题意； C、只有当两直线平行时，内错角才相等，该命题缺少前提条件， C是假命题，不符合题意； D、举反例：能被整除，但不能被整除，D是假命题，不符合题意． 2．下列命题中，是真命题的共有（   ）个． （1）对顶角相等； （2）同位角相等； （3）邻补角是互补的角； （4）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据对顶角、同位角、邻补角、点到直线的距离的概念逐一判断每个命题的真假，即可得到真命题的个数． 【详解】解：（1）对顶角相等，故（1）是真命题； （2）只有两直线平行时，同位角才相等，命题缺少两直线平行的前提，故（2）是假命题； （3）邻补角的和为，符合互补角的定义，故（3）是真命题； （4）点到直线的距离的定义是：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，命题中将距离说成垂线段本身，不符合定义，故（4）是假命题； 综上，真命题一共有2个， 故选：C． 3．下列命题中，是假命题的是（    ） A．同旁内角互补 B．直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短 C．若，则 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【详解】解：、因为只有两直线平行时，同旁内角才互补，所以同旁内角互补是假命题，故本选项符合题意； 、直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短是真命题，故本选项不符合题意； 、若，则是真命题，故本选项不符合题意； 、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是真命题，故本选项不符合题意； 4．下列命题是假命题的是（    ） A．直角都相等 B．同位角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．内错角相等 【答案】D 【详解】解：A．直角都相等，是真命题； B．同位角相等，两直线平行，是真命题； C．对顶角相等，真命题； D．只有两直线平行时，才有内错角相等，命题缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题． 【题型5】写出一个命题的逆命题 例题5．请写出命题“如果，那么”的逆命题：_______． 【答案】如果，那么 【详解】解：原命题的条件是，结论是， 将条件和结论互换，得到逆命题为“如果，那么”． 【变式训练】 1．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”． 2．命题“如果，那么”的逆命题是___________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 假 【分析】交换原命题的条件与结论得到逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的条件为，结论为， 交换条件和结论，得到逆命题为“如果，那么”， 当时，可得或，即不能推出，因此该逆命题是假命题． 3．“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是___________． 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键． 把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】命题“同位角相等，两直线平行”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”. 所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等”. 故答案为：两直线平行，同位角相等． 4．把“直角相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为____________． 【答案】如果两个角相等，那么它们是直角． 【分析】本题考查逆命题，命题的题设与结论，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．先要明确命题中的已知条件和结论，原命题“直角相等”意为“如果两个角是直角，那么它们相等”，其逆命题是交换条件和结论，据此作答即可． 【详解】解：原命题“直角相等”可表述为“如果两个角是直角，那么它们相等”， 那么其逆命题为：“如果两个角相等，那么它们是直角”． 故答案为：如果两个角相等，那么它们是直角． 【题型6】举例说明一个命题是假命题 例题6．对于命题“如果，，那么”，下面四组值中，能说明这个命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：A、，，则，不能说明这个命题是假命题； B、，，则，能说明这个命题是假命题； C、，不符合条件，不能说明这个命题是假命题； D、，，不符合条件，不能说明这个命题是假命题． 【变式训练】 1．要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：选项A：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项B：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项C：，，满足，但，不满足结论，是符合要求的反例； 选项D：，，满足，且，满足结论，不是反例． 2．下列选项中，能够说明“若是非零有理数，则”是假命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了举反例说明命题为假命题，要说明原命题是假命题，需找到满足题设（是非零有理数）但不满足结论的反例，根据绝对值的性质，正有理数的绝对值是其本身，此时，因此找正有理数即可． 【详解】解：∵当时，是有理数， 又∵， ∴， 即存在有理数，使得，故原命题是假命题； 对于A选项，时，，符合结论，不能说明原命题为假命题； 对于C选项，时，，符合结论，不能说明原命题为假命题； 对于D选项，是无理数，不满足题设“是有理数”，不能作为反例说明原命题为假命题． 故选：B ． 3．若要说明“如果，那么”为假命题，则，的值可以是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查假命题的判断，关键是找到满足题设条件但不满足结论的反例． 【详解】解：选项A：，，，， 满足，不能说明原命题为假； 选项B：，，，， 满足，不能说明原命题为假； 选项C：，，，，即，不满足， 该选项可说明原命题为假； 选项D：，，，， 满足，不能说明原命题为假； 故选：C． 4．判断命题“如果某不等式的解集有两个正整数解，那么”是假命题的一个反例中a可以是_________． 【答案】2.2（答案不唯一） 【分析】只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题． 【详解】解：当时，满足某不等式的解集即有两个正整数解1和2，但，即不成立， 故a可以是2.2． 【题型7】补充证明过程和数学依据 例题7．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 【变式训练】 1．一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据得到，再由，得到，即可证明． 【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①． 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）． ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． 2．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 3．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 4．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 【题型8】根据三角形内角和定理及推论证明或计算 例题8．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别在边、上，将沿着折叠压平使与重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质得，再由平角的定义得，再根据三角形内角和定理得，代入即可求解． 【详解】解：由折叠可知，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 则． 【变式训练】 1．如图，在中，、分别平分、．若，则________． 【答案】/60度 【分析】根据三角形的内角和定理求出的值，根据角平分线定义求出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用三角形内角和即可解答； （2）根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴； （2）解：在中，由三角形外角的性质得． 3．如图，在中，是的角平分线，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴． 4．如图，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，且点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质得到，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【详解】（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． （2）解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 【题型9】与代数命题相关的证明 例题9．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； （3）解：真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 【变式训练】 1．已知：，，，，求证： (1)； (2)； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则得，又，故可得，从而可得； （2）根据同底数幂的乘法运算法则得，由幂的乘方得，故可得，从而可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴, ∴． 2．已知能被13整除，求证：能被13整除． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了逆用积的乘方、逆用幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先逆用积的乘方、逆用幂的乘方对变形可得，然后结合能被13整除，能被13整除即可证明结论． 【详解】证明：． ∵能被13整除，能被13整除， ∴能被13整除,即能被13整除． 3．已知是正整数，求证：能被4整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式展开，再合并同类项，得出，根据是正整数即可得结论． 【详解】证明： ． 是正整数， 能被4整除． 能被4整除． 4．求证：对任意自然数，式子的值都能被12整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法计算．先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再求解即可． 【详解】证明： ． ∴对任意自然数，式子的值都能被12整除． 【题型10】用反证法证明问题 例题10．用反证法证明：如果三个数之和为1，那么这三个数中至少有一个大于等于． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须——否定．根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】假设， 根据不等式的基本性质，，这与矛盾， 假设不成立， 中至少有一个大于等于 【变式训练】 1．用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 【答案】见解析 【分析】此题考查反证法，反证法是一种论证方式，它首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证，反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．根据反证法的步骤解答． 【详解】解：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，， 过点的两条直线，都与直线垂直． 这与基本事实“过一点有且只有一条直线与这条直线垂直”矛盾． 假设不成立． ． 2．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截．求证：． 证明：假设________， ， ________， ________， ________，这和“平角的定义”矛盾， 假设________不成立，即． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了反证法（用反证法证明命题），平行线的性质（两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补）等知识点，熟练掌握用反证法证明命题的一般步骤是解题的关键：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 按照用反证法证明命题的一般步骤进行推理论证即可． 【详解】证明：假设， ， ， ， ，这和“平角的定义”矛盾， 假设不成立，即， 故答案为：，，，，． 3．已知直线，直线c与b相交，且c与b不垂直．用反证法证明a与c相交． 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法，熟练掌握反证法的要领是解题的关键． 假设a与c不相交，即，然后得到，进而求解即可． 【详解】证明：假设a与c不相交，即 ， ，这与已知直线c与b不垂直相矛盾， ∴假设a与c不相交不成立， 与c相交． 4．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $