精品解析：湖南长沙市明德华兴中学等校2025-2026学年下学期九年级5月课堂作业练习 数学试卷

九年级5月课堂作业练习 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. “五一”假期，星城长沙共接待游客6170000万人次．其中数据6170000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 6. 如图， AB 为⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 70° ，那么∠A的度数为（ ） A. 70° B. 30° C. 35° D. 20° 7. 下列说法正确的是（ ） A. 某种彩票的中奖机会是，则买张这种彩票一定会中奖． B. 为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式． C. 若甲数据的方差，乙数据的方差，则乙数据比甲数据稳定． D. 一组数据3，1，4，1，1，6，1的众数和中位数都是1． 8. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 正多边形的一个外角的度数为，这个正多边形的边数是______ 13. 已知反比例函数的图象经过点，则k为______． 14. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为______． 15. 如图，是的内心，已知，则的度数是______． 16. 小黄、小刘、小李三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行，半天训练结束时，发现小李共当裁判9局，小刘、小黄分别进行了23局、13局比赛，在这半天的训练中，三人共进行了______局比赛，其中第11局比赛的裁判是______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值．，其中， 19. 我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 20. 如图，，点D在边上，相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 如图1为衡阳“雁城之星”摩天轮，如图2，为了测得衡阳“雁城之星”摩天轮最高处的高度，在处用高为米的测角仪，测得摩天轮顶端的仰角为，再向摩天轮方向前进米，又测得摩天轮顶端的仰角为．求这个摩天轮最高处的高度约为多少?（可供参考数据：） 22. 今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购买45个肉粽和50个蛋黄粽需要240元，购买50个肉粽和45个蛋黄粽需要235元． （1）求肉粽和蛋黄粽每个的单价； （2）超市将肉粽的售价定为4元，蛋黄粽的售价定为5.5元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种粽子共500个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 23. 如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，且，连接、、、，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，延长交于点，，求的长． 24. 如图，四边形是内接四边形，对角线与相交于点E，对角线平分．点F为的内心，连接、． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）若，的半径为1，记，，试求出y关于x的函数解析式，并直接写出y的最小值． 25. 如果函数与x轴的一个交点，满足（m，n为整数），则称该函数是分布函数，为该函数的一个分布根．例如，函数与x轴的交点坐标为，所以函数是分布函数，是它的分布根． （1）判断下列说法是否正确： ①函数是分布函数；（ ） ②函数都不是分布函数；（ ） ③有一个分布根．（ ） （2）已知一次函数与两坐标轴所围三角形的面积为1，且为分布函数，求t的取值范围； （3）若二次函数（a，b是常数，）是分布函数，为其分布根，另一个根满足：，令，试求s的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级5月课堂作业练习 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】根据正数大于0，0大于负数，可得，，故C、D错误； ，，， ， ，，故A正确，B错误． 2. 下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】试题解析：选项A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该该选项错误； 选项B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项错误； 选项C 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项正确； 选项D是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项错误. 故选C. 【详解】请在此输入详解！ 3. “五一”假期，星城长沙共接待游客6170000万人次．其中数据6170000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，n为整数是关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是非负数，当原数绝对值小于1时，n是负数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：数据6170000用科学记数法表示为． 故选：D 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需根据二次根式的加减法法则，幂的乘方法则，同底数幂除法法则，完全平方公式，逐一判断各选项的运算是否正确． 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误； 选项B：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得 ，∴B正确； 选项C：根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，可得 ，∴C错误； 选项D：根据完全平方公式展开，可得 ，∴D错误． 5. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为． 6. 如图， AB 为⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 70° ，那么∠A的度数为（ ） A. 70° B. 30° C. 35° D. 20° 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂径定理得到弧BC等于弧BD，然后利用同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的2倍求得圆周角即可． 【详解】解：∵AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD， ∴弧BC=弧BD ∵∠BOC=70°， ∴∠A的度数35°． 故选C． 【点睛】本题抓药考查了垂径定理及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 某种彩票的中奖机会是，则买张这种彩票一定会中奖． B. 为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式． C. 若甲数据的方差，乙数据的方差，则乙数据比甲数据稳定． D. 一组数据3，1，4，1，1，6，1的众数和中位数都是1． 【答案】D 【解析】 【分析】根据可能性大小、调查方式、方差的意义、众数和中位数的定义，分别进行判断．方差越小，数据波动越小，越稳定；众数是一组数中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据从小到大或从大到小排列，中间的那个数或中间两个数的平均数． 【详解】解：A．某种彩票的中奖机会是，则买张这种彩票不一定会中奖．故选项错误，不符合题意； B．为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式．故选项错误，不符合题意； C．甲数据的方差，乙数据的方差，则甲数据比乙数据稳定．故选项错误，不符合题意； D．一组数据3，1，4，1，1，6，1按照从小到排列为1，1，1，1，3，4，6， 其中1出现次数最多，即众数为1，中位数为1，故选项正确，符合题意． 故选：D． 8. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有实数根，可知，解不等式可得：． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 满足且． 故选：C． 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的行驶时间与速度，根据“快马的速度是慢马的倍”这一等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设规定时间为天， ∵慢马所需时间比规定时间多天， ∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为， ∵快马所需时间比规定时间少天， ∴快马的行驶时间为天，快马速度为， 又∵快马的速度是慢马的倍， ∴可得方程 ，即选项B符合题意． 10. 如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：是平行四边形, 故选A. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解不等式即可得到答案． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得 解得． 12. 正多边形的一个外角的度数为，这个正多边形的边数是______ 【答案】12； 【解析】 【分析】多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都相等，且一个外角的度数为30°，由此即可求出答案． 【详解】解：∵360÷30=12， 则正多边形的边数为12． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知正多边形的外角求正多边形的边数是一个考试中经常出现的问题． 13. 已知反比例函数的图象经过点，则k为______． 【答案】2 【解析】 【详解】解：反比例函数的图象经过点， 将代入得：， 解得． 14. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴． 15. 如图，是的内心，已知，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，根据是的内心即可得到，最后根据三角形内角和即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和公式，角平分线性质及三角形内心，解题的关键是掌握三角形内心是三角形三个内角角平分线交点及整体代换思想． 16. 小黄、小刘、小李三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行，半天训练结束时，发现小李共当裁判9局，小刘、小黄分别进行了23局、13局比赛，在这半天的训练中，三人共进行了______局比赛，其中第11局比赛的裁判是______． 【答案】 ①. 27 ②. 小黄 【解析】 【分析】结合比赛规则推出裁判的分布规律解题即可． 【详解】解：小李共当裁判局， 小刘和小黄之间进行了局比赛， 小刘、小黄分别进行了局、局比赛， 小刘和小李之间进行了局比赛， 小黄和小李之间进行了局比赛， 三人共进行的比赛局数为局， 总共有局比赛，小刘参赛局，小黄参赛局； 小刘当裁判的局数为局，小黄当裁判的局数为局， 根据比赛规则，同一人不可能连续两局担任裁判，局中共有个奇数局，个偶数局，小黄要当次裁判，因此小黄的裁判局都为奇数局， 是奇数， 第局比赛的裁判是小黄． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】先化简零次幂、绝对值、算术平方根、正切值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值．，其中， 【答案】， 【解析】 【分析】根据平方差公式及单项式乘以多项式法则去括号，再计算加减法，最后代入字母的值计算． 【详解】解：． 当，时， 原式． 【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算计算法则是解题的关键． 19. 我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 【答案】（1）60 （2） 补全条形统计图如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率： （1）用选择“园艺”的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数； （2）先求出选择“编织”课程的人数，然后补全统计图即可； （3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴本次随机调查的学生人数为60人， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：（人）， ∴选择“编织”课程的人数有12人， 补全条形统计图略 【小问3详解】 用列表法表示所有可能出现的结果如下： 园艺 电工 木工 编织 园艺 电工，园艺 木工，园艺 编织，园艺 电工 园艺，电工 木工，电工 编织，电工 木工 园艺，木工 电工，木工 编织，木工 编织 园艺，编织 电工，编织 木工，编织 由表格可知，共有12种等可能性的结果数，其中选中“园艺、编织”的有2种， 好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 20. 如图，，点D在边上，相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 21. 如图1为衡阳“雁城之星”摩天轮，如图2，为了测得衡阳“雁城之星”摩天轮最高处的高度，在处用高为米的测角仪，测得摩天轮顶端的仰角为，再向摩天轮方向前进米，又测得摩天轮顶端的仰角为．求这个摩天轮最高处的高度约为多少?（可供参考数据：） 【答案】这个摩天轮最高处的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、仰角的意义及一元一次方程的应用，熟练运用解直角三角形的知识是解题的关键． 设米，先在中表示出，再在中表示出，结合米，可得出关于的方程，解方程得长，由即可求解． 【详解】解：设米， 在中，米， 在中，米， 由题意得米，米， ∵， ∴， 解得， 即米， ∴米． 答：这个摩天轮最高处的高度约为米． 22. 今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购买45个肉粽和50个蛋黄粽需要240元，购买50个肉粽和45个蛋黄粽需要235元． （1）求肉粽和蛋黄粽每个的单价； （2）超市将肉粽的售价定为4元，蛋黄粽的售价定为5.5元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种粽子共500个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元 （2）购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元 【解析】 【分析】（1）设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元，列二元一次方程组即可解答； （2）设购进肉粽m个，则购进蛋黄粽个，总利润为w，根据题意列不等式求得的取值范围，再用表示，根据一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元， 根据题意得，， 解得， 答：肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元； 【小问2详解】 解：设购进肉粽m个，则购进蛋黄粽个，总利润为w， 根据题意得，， 解得， 由题意得， ，w随m的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大值为， 答：购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元． 23. 如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，且，连接、、、，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，延长交于点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定； （1）连接交于点，根据平行四边形的性质得，，则有，即，再利用矩形的判定即可证明； （2）证明，再利用相似三角形的性质即可求解 【小问1详解】 证明：如图，连接交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 24. 如图，四边形是内接四边形，对角线与相交于点E，对角线平分．点F为的内心，连接、． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）若，的半径为1，记，，试求出y关于x的函数解析式，并直接写出y的最小值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义得出，由同弧所对的圆周角相等可知，进而可证明． （2）根据三角形面积公式，证明，由相似三角形的性质得出，由三角形内心的定义得出平分，由角平分线的定义以及角的关系进一步得出，由，设，则，． （3）由三角形内心的定义得出，由圆内接四边形的性质得出，，，连接、，由的半径为1知，，，再根据相似三角形的性质进一步得出y关于x的函数解析式，再写出y的最小值即可． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：设点B到距离为，点D到距离为， 则， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴． 【小问3详解】 解：∵点F为的内心， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 连接、， 由的半径为1知，， ∴， 由（2）知， ， ， ∴， ， 同理可得，， ， ， ， 。 即， 令,当t取最大值时，y取的最小值， ， 抛物线开口向下，当时，t取最大值，为, ． 【点睛】本题主要考查了圆周角，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形内心的性质等知识，较难． 25. 如果函数与x轴的一个交点，满足（m，n为整数），则称该函数是分布函数，为该函数的一个分布根．例如，函数与x轴的交点坐标为，所以函数是分布函数，是它的分布根． （1）判断下列说法是否正确： ①函数是分布函数；（ ） ②函数都不是分布函数；（ ） ③有一个分布根．（ ） （2）已知一次函数与两坐标轴所围三角形的面积为1，且为分布函数，求t的取值范围； （3）若二次函数（a，b是常数，）是分布函数，为其分布根，另一个根满足：，令，试求s的取值范围． 【答案】（1）√；√；× （2）时，时 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干所给新定义逐一判断即可； （2）先求出一次函数与两坐标轴交点，根据新定义可知，根据“三角形的面积为1”可知，即，分情况求解即可； （3）根据根与系数的关系得到同号，根据新定义可知，距离为2，可知，即，代入得到，设，可知当时，随增大而减小，即在时，，进而求出，将，根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：①当时，， ∵， ∴函数是分布函数，原说法正确； ②∵反比例函数与x轴没有交点， ∴函数都不是分布函数，原说法正确； ③当时，解得：，均不在所给范围内，原说法错误； 【小问2详解】 解：当时，解得， 当时，， 一次函数与两坐标轴交点分别为， 由题意知， 一次函数与两坐标轴所围三角形 当时， 当时， 综上，时，时 【小问3详解】 解：， ， ∴同号， ∵为其分布根， ∴， ∵， ∴距离为2， 可知， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 设， 这是开口向上、对称轴为直线的二次函数， ∴当时，随增大而减小 当时，，当时，， 即在时，， ∴，且， 解得， ，开口向上，对称轴是， ∴当时有最小值， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $