精品解析：2026年湖南邵阳市邵阳县初中学业水平模拟考试试题卷数学

2026年初中学业水平模拟考试数学试题 温馨提示： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分为120分． 2．请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上． 3．请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2026的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：∵ 求一个数的相反数只需改变这个数的符号， ∴ 的相反数是 ． 2. 下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 3. 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统（）、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统之后第三个成熟的卫星导航系统．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则，同底数幂相除法则，积的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误； B．，故原计算正确； C．，故原计算错误； D．，故原计算错误； 故选：B． 5. 小明所在班级部分同学身高情况统计如下： 身高/ 160 161 162 163 164 165 人数 4 6 6 11 4 1 则这组统计数据的中位数、众数分别为（ ） A. 162.5，163 B. 163，162 C. 162，162 D. 163，163 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数的概念，先计算总数据个数，再根据定义分别计算中位数和众数即可求解． 【详解】解：先计算总数据个数：，即共有个数据， 将数据从小到大排列后，中位数为第个和第个数据的平均数． ，即前三个身高段累计有个数据，第个数据为，第个数据为， 中位数为， 众数是一组数据中出现次数最多的数， 身高的人数最多， 众数为． 6. 将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，由题意可确定，，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ∴， 由题意可知，， ∴，， ∴， ∴． 7. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，利用“关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数”求出和的值，再计算即可得到结果． 【详解】解： 点与点关于原点对称， ，， ． 8. 已知，①以点为圆心，长为半径画弧，交，于点M，N，②分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧交于一点P，作射线，③过M点作的平行线交射线于点C，④连接；则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的作图、平行线的性质和菱形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据题意得，，则，则有，进一步得，即可判定四边形为菱形，则，结合已知即可得，然后即可求解． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故， 故选：D． 9. 如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接，，若的面积为，则的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义．连结，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象及性质． 【详解】解：连结，如图， ∵轴， ∴， ∴，而， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 10. 如图，的半径为2，C为上一点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，圆内接四边形的性质，在优弧上取一点D，连接，根据圆内接四边形对角互补可得，则由圆周角定理可得的度数，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，在优弧上取一点D，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义等价于分母不为零，据此列出不等式即可求解得到的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义时，分母不能为零， ∴，解得：． 故答案为：． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心，若，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 利用位似的性质得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵与位似，原点O是位似中心， ∴，即， ∴． 故答案是：6． 14. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式，对于一元二次方程，判别式为，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．由一元二次方程有实数根得到，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：． 故答案为： 15. 如图，若圆锥的底面直径为，高是，则它的侧面展开图的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是计算圆锥的母线长． 先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算． 【详解】解：， ， 圆锥的母线长为：， 圆锥的侧面展开图的面积； 故答案为：． 16. 如果，其中，都是正整数，则称为“双数”，为的最佳拆分点．例如：，8为“双数”，为8的最佳拆分点．若“双数”的最佳拆分点为，“双数”的最佳拆分点为，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，根据“双数”定义，设，，由得方程，整理为．因p和q为正整数，和均为整数，且，两者同时为奇数或同时为偶数，则可得出，解方程组求出p和q，进而可求出比值． 【详解】解：由题意，“双数”的最佳拆分点为，故； “双数”的最佳拆分点为，故． ∵，代入得：， 即， 因式分解得：， 由于p和q均为正整数，故和均为整数，且， 两者同时为奇数或同时为偶数， 因子对可能为或或； 只有同为偶数， ∴， 解得， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解： ， 把代入，则原式． 19. 某商店销售甲、乙两种文具，已知支甲文具和支乙文具的价格为元，支甲文具和支乙文具的价格为元． （1）求甲、乙两种文具的单价各是多少元？ （2）某学校计划采购两种文具共支作为奖品，总费用不超过元，最多可以采购多少支乙文具？ 【答案】（1）甲文具的单价是元/支，乙文具的单价是元/支 （2）乙文具最多采购支 【解析】 【分析】（1）根据单价数量总价之间的等量关系列方程组． （2）根据题意列出不等式． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种文具的单价分别是元、元， 依题意得， 解得： 答：甲文具的单价是元/支，乙文具的单价是元/支． 【小问2详解】 解：设采购乙文具支， 依题意得： 解得 答：乙文具最多采购支． 20. 某学校九年级举行了一次数学竞赛，成绩由低到高分为A，B，C，D四个等级．竞赛结束后老师随机抽取了部分学生的成绩，并将数据绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图，其中条形统计图不小心被撕了一块． （1）被抽查的学生共有______人； C等级有______人； （2）若九年级共有300人参加数学竞赛，估计这次竞赛成绩为D等级的学生有多少人？ （3）成绩为D等级的五个人中有3名男生，2名女生，若从中任选两人，利用画树状图法或列表法求两人恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）100；25 （2）15人 （3） 【解析】 【分析】（1）由条形统计图可知A等级的学生有30人，A等级的学生扇形统计图占总数的30%，可求被抽查的学生共有人数，再让抽查的学生共有人数乘以C等级的学生扇形统计图占总数的25%，即可得答案； （2）先求出D等级的学生占抽查的学生的百分比，再乘以300即可； （3）列树状图，可知一共有20种等可能的结果，其中两人恰好是一男一女的结果有12种，即可得答案． 【小问1详解】 解：∵A等级的学生有30人，A等级的学生扇形统计图占总数的30%， ∴30÷30%=100， ∴抽查的学生共有100人， ∵ ∴100×25%=25， ∴C等级的学生有25人； 【小问2详解】 ∵， ∴这次竞赛成绩为D等级的学生有15人； 【小问3详解】 列树状图如下， ∵一共有20种等可能的结果，其中两人恰好是一男一女的结果有12种， ∴两人恰好是一男一女的概率是． 【点睛】本题考查了考查条形统计图和扇形统计图，随机事件的概率，解题的关键是掌握列树状图展示等可能的结果． 21. 图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 【答案】（1）1.7米 （2）0.6米 【解析】 【分析】（1）作于点，则，由题意得：，，求得，米，根据，即可求解； （2）由（1）知，，，可求得米，作于点，则，同理可得，，，根据，可求得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，米， ∴米， 在中，， ，， ∴支点到小竹竿的距离（米）； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ∴米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴米， ∴水桶在竖直方向上升的距离约为0.6米． 22. 如图，在中，直径与弦交于点P，，过点C作，与的延长线交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先判断出垂直平分，再根据圆周角定理可得，根据平行线的判定可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，延长，交于点，先利用勾股定理可得的长，再设的半径为，则，，利用勾股定理可得的值，从而可得的长，利用勾股定理可得的长，然后证出，利用相似三角形的性质求解即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接，延长，交于点， 由（1）已得：垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、弧与弦的关系、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定和圆周角定理是解题关键． 23. 探究以下问题： （1）[问题发现]如图，在正方形中，点是对角线上一动点（不与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． （2）[类比探究]如图，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与，重合），连接，作的垂线，使，连接，请探究此时与的数量关系． （3）[拓展延伸]在矩形中，仍有，若，点为射线上一动点（不与，重合），连接，作的垂线，使，连接，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）解：， 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】由四边形是正方形，得，，又线段绕点逆时针旋转得到线段，所以，，再证明，再由全等三角形的性质即可求证； 由四边形是矩形，则，，证明，所以，即，可得，即，再证明，然后由相似三角形的性质即可求解； 由，设，，由勾股定理得，所以，，由知，所以，，然后得出是直角三角形，又为等腰三角形，则只能是直角边相等，即，设，由，得，然后分当点在线段上，当点在的延长线上，两种情况求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由，设，， ∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴，解得， ∴，， 由知， ∴，， ∵在矩形中，， ∴，即， ∴是直角三角形， 若为等腰三角形，则只能是直角边相等，即， 设，由，得， 如图，当点在线段上， 此时， 由得， 解得， ∴； 如图，当点在的延长线上， 此时， 由，得， 解得， ∴， 综上可得：的长为或． 24. 如图1，抛物线：的图象与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，其顶点为． （1）直接写出，，，四点的坐标． （2）顺次连接，，三点得．点为抛物线上一点（点不与点重合），若的面积等于的面积，求点的横坐标． （3）将抛物线：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位，得到新抛物线（如图2）．点是轴上的点，点是新抛物线上的点．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1），，， （2）2或或 （3）或 【解析】 【分析】（1）分别令和即可求出，，，然后配方成顶点式即可求出； （2）首先求出直线解析式为，根据题意得到点到直线的距离等于点到直线的距离，然后分两种情况讨论求解即可； （3）首先求出新抛物线的解析式，设，，然后根据平行四边形的性质分情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得，， ∵A在B的左侧， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴顶点； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 代入，得，， 解得，， ∴直线解析式为， ∵的面积等于的面积， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， 当点P在直线上方时，此时点在过点且平行于的直线上，直线与y轴交于点F，如图， 设直线为， 将，代入得， 解得， ∴直线为， 联立直线与抛物线得，， 解得，， 当时，对应的是点，题目要求不与重合，舍去； ∴此时点的横坐标为； 当点P在直线下方时，设此时点在直线上，直线与y轴交于点E， ∴与关于直线对称， ∴， ∵直线表达式为， ∴当时，，即， ∵， ∴， ∴， ∴可得直线的解析式为， 联立直线与抛物线得，， 解得，， 综上所述，点的横坐标为2或或； 【小问3详解】 解：由（1）可知，， ∵抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 设，， ∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， ∵平行四边形对角线中点重合，即中点与中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； 当为对角线时， 同理可得，， 解得，， ∴； 当为对角线时， 同理可得，， 解得，， ∴， 综上所述，点的坐标或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试数学试题 温馨提示： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分为120分． 2．请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上． 3．请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2026的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统（）、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统之后第三个成熟的卫星导航系统．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 小明所在班级部分同学身高情况统计如下： 身高/ 160 161 162 163 164 165 人数 4 6 6 11 4 1 则这组统计数据的中位数、众数分别为（ ） A. 162.5，163 B. 163，162 C. 162，162 D. 163，163 6. 将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 8. 已知，①以点为圆心，长为半径画弧，交，于点M，N，②分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧交于一点P，作射线，③过M点作的平行线交射线于点C，④连接；则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接，，若的面积为，则的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 10. 如图，的半径为2，C为上一点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围为__________． 12. 因式分解：_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心，若，则_____． 14. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 15. 如图，若圆锥的底面直径为，高是，则它的侧面展开图的面积为_____． 16. 如果，其中，都是正整数，则称为“双数”，为的最佳拆分点．例如：，8为“双数”，为8的最佳拆分点．若“双数”的最佳拆分点为，“双数”的最佳拆分点为，且，则的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某商店销售甲、乙两种文具，已知支甲文具和支乙文具的价格为元，支甲文具和支乙文具的价格为元． （1）求甲、乙两种文具的单价各是多少元？ （2）某学校计划采购两种文具共支作为奖品，总费用不超过元，最多可以采购多少支乙文具？ 20. 某学校九年级举行了一次数学竞赛，成绩由低到高分为A，B，C，D四个等级．竞赛结束后老师随机抽取了部分学生的成绩，并将数据绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图，其中条形统计图不小心被撕了一块． （1）被抽查的学生共有______人； C等级有______人； （2）若九年级共有300人参加数学竞赛，估计这次竞赛成绩为D等级的学生有多少人？ （3）成绩为D等级的五个人中有3名男生，2名女生，若从中任选两人，利用画树状图法或列表法求两人恰好是一男一女的概率． 21. 图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 22. 如图，在中，直径与弦交于点P，，过点C作，与的延长线交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 23. 探究以下问题： （1）[问题发现]如图，在正方形中，点是对角线上一动点（不与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． （2）[类比探究]如图，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与，重合），连接，作的垂线，使，连接，请探究此时与的数量关系． （3）[拓展延伸]在矩形中，仍有，若，点为射线上一动点（不与，重合），连接，作的垂线，使，连接，当为等腰三角形时，求的长． 24. 如图1，抛物线：的图象与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，其顶点为． （1）直接写出，，，四点的坐标． （2）顺次连接，，三点得．点为抛物线上一点（点不与点重合），若的面积等于的面积，求点的横坐标． （3）将抛物线：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位，得到新抛物线（如图2）．点是轴上的点，点是新抛物线上的点．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $