精品解析：广西南宁市东盟中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

高一 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 12 2. 若复数，则z的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 如果两条直线a与b没有公共点，则 C. 有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D. 若直线l与平面相交，则内不存在与l平行的直线 5. 如图，为平面四边形用斜二测画法作出的直观图，其中，，，则四边形的面积为（ ）． A. B. C. 5 D. 6. 在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 若z是纯虚数，则或 C. 若z在复平面内对应的点在第四象限，则 D. 若z是关于x的方程的一个根，则 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 函数在区间上有且仅有2个零点，且这两个零点之和为 D. 将的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于直线对称 11. 在棱长为1的正方体中，M为底面的中心，Q是棱上动点，N为线段的中点，下列命题正确的是（ ） A. 与异面 B. C、M、N、Q四点共面 C. 过A、Q、M三点的平面截正方体所得截面是梯形 D. 三棱锥的体积是定值 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，已知，，，则______________． 13. 已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为______________． 14. 如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于_______________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在空间几何体中，四边形与四边形是全等的直角梯形，满足，，且． （1）若G，H分别为，的中点，求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求该几何体的表面积． 16. 已知． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值； （3）求在区间上的最值及相应的值． 17. 如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，． （1）若，求该圆锥的体积； （2）若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 18. 如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：） （1）求； （2）收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？ 19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对，视为一个向量，记作．已知对于任意两个复向量，定义： 线性运算：； 积运算：（其中，分别是，的共轭复数）； 模运算：． 若两个复向量满足，则称复向量与平行． （1）设，，求，； （2）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若与平行， ①若，求的值 ②求的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由可得即可. 【详解】，，解得． 2. 若复数，则z的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】，所以z的虚部是1． 3. 已知是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由已知得：． 4. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 如果两条直线a与b没有公共点，则 C. 有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D. 若直线l与平面相交，则内不存在与l平行的直线 【答案】D 【解析】 【详解】对于A选项，缺少“不共线”条件，A错误； 对于B选项，结论缺少“异面”的情况，B错误； 对于C选项，结论缺少“侧棱互相平行”的情况，C错误； 对于D选项，直线l与平面相交，l与内的直线相交或异面，D正确． 5. 如图，为平面四边形用斜二测画法作出的直观图，其中，，，则四边形的面积为（ ）． A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【详解】四边形为直角梯形，且，，，， 6. 在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的基本定理求解即可. 【详解】∵点M是边的中点，， 又，，即， ． 7. 已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得到是的中点，再由得到是等边三角形，作即可求解. 【详解】，， 是的外接圆圆心，是中点， 又，所以是等边三角形，， 设，则，作于H，则， 所以， 即为向量在向量上的投影向量，， 8. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围. 【详解】由已知得：，即， 所以，又，所以， 由正弦定理得：， 所以， 所以 又 所以由是锐角三角形得：， ，即的取值范围是． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 若z是纯虚数，则或 C. 若z在复平面内对应的点在第四象限，则 D. 若z是关于x的方程的一个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用共轭复数的意义判断A；利用纯虚数的定义列式求解判断B；利用复数对应点的位置求出范围判断C；求出方程的根，再利用复数相等求解判断D. 【详解】对于A，当时，，则，A正确； 对于B，由z是纯虚数，得，解得，B错误； 对于C，由z在复平面内对应的点在第四象限，得，解得，C正确； 对于D，，解得 因此或，而方程组无解， 解方程组，得，所以，D正确． 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 函数在区间上有且仅有2个零点，且这两个零点之和为 D. 将的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于直线对称 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A正确； 对于B选项，因为， 所以函数的图象不关于点中心对称，B错误； 对于C选项，由可得， 当时，，所以或，解得或， 所以函数在区间上有且仅有2个零点，且这两个零点之和为，C正确； 对于D选项，将的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象， 因为， 故函数的图象不关于直线对称，D错误． 11. 在棱长为1的正方体中，M为底面的中心，Q是棱上动点，N为线段的中点，下列命题正确的是（ ） A. 与异面 B. C、M、N、Q四点共面 C. 过A、Q、M三点的平面截正方体所得截面是梯形 D. 三棱锥的体积是定值 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A选项， 平面，平面， 而 与异面，A正确； 对于B选项，M为底面的中心， 与确定平面， 平面， 、M、N、Q四点共面于平面，B正确； 对于C选项，当Q与重合时，该截面为，C错误； 对于D选项，（定值），D正确． 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，已知，，，则______________． 【答案】 【解析】 【详解】由正弦定理得：， 因为，，所以，所以 13. 已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为______________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，直三棱柱，，所以直三棱柱可以补成以、、为棱的长方体， 则球O为该长方体的外接球，设球O的半径为R，则， 所以球O的表面积为． 14. 如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量线性运算可得，将问题转化为二次函数最值的求解，由此可得结果. 【详解】设，则， 是的中点， ， 当时，取得最小值. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在空间几何体中，四边形与四边形是全等的直角梯形，满足，，且． （1）若G，H分别为，的中点，求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求该几何体的表面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）13 【解析】 【分析】(1)利用三角形中位线定理，证得与平行且相等，从而证明四边形是平行四边形； (2)先确定各面形状，分别计算面积后求和 【小问1详解】 证明：因为G，H分别为，的中点， 所以． 又，所以 所以四边形是平行四边形． 【小问2详解】 梯形：；因为四边形与四边形是全等的直角梯形，所以梯形：; 因为，，所以为直角三角形，则：， ：; 面，，，四边形为等腰梯形， 高，则等腰梯形：， 几何体表面积： 16. 已知． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值； （3）求在区间上的最值及相应的值． 【答案】（1） （2） （3）最小值为1，，最大值为2， 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简整理即可. （2）代入解析式求得，结合同角的三角函数关系求解即可. （3）结合正弦型三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， 故. 【小问2详解】 由可知，，化简得， 因为，所以. 【小问3详解】 因为，所以， 所以当时，取到最小值为，此时， 当时，取到最大值为，此时. 所以当时，取到最小值1；当时，取到最大值2. 17. 如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，． （1）若，求该圆锥的体积； （2）若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 连接，由题可得， 又，所以是等边三角形，因为，所以， 在中，， 所以圆锥的体积为 【小问2详解】 因为Q，O分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为， 所以由得：， 又，所以为等边三角形， 又所以， 所以,，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，，平面， 所以平面平面,即平面平面. 18. 如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：） （1）求； （2）收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？ 【答案】（1）60° （2）收到命令时飞机应该沿南偏东的航向飞行，E地离C地． 【解析】 【分析】(1)在中使用余弦定理得出及 (2)在中使用余弦定理得出及，再在中使用余弦定理得出及． 【小问1详解】 连接，在中由余弦定理得 ， ， 又，， ，即， ． 【小问2详解】 连接，则由及 得：， ， ， 在中，由余弦定理，得：， 则， 又，则是等腰三角形，且， 由已知有 ， 在中，由余弦定理得： ， 又，则． 由飞机出发时沿北偏东方向飞行得：飞机由E地改飞C地的方向角为南偏东． 答：收到命令时飞机应该沿南偏东的航向飞行，E地离C地． 19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对，视为一个向量，记作．已知对于任意两个复向量，定义： 线性运算：； 积运算：（其中，分别是，的共轭复数）； 模运算：． 若两个复向量满足，则称复向量与平行． （1）设，，求，； （2）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若与平行， ①若，求的值 ②求的最大值 【答案】（1）， （2）①②． 【解析】 【分析】(1)按照题目给出的线性运算和积运算定义代入计算即可； (2)①由平行条件推导出核心等式，再代入C的余弦值直接求解； ②用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换得到，再用基本不等式求最值. 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 ①，， ， ， 由与平行得： ，即 ，亦即， 又． ②由正弦定理及得：， 又，所以 ， 即， 所以 ， 在中，若，则，又，故（矛盾） 所以，， 所以． 由得： ，所以， 所以角C为钝角，，从而角A为锐角即， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $