广西南宁市宾阳中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

宾阳中学高一年级2026年春季学期期中考试 数学 命题人：张善军、毛丽珍、韦碧钰审题人：黄芗莹 (全卷满分150分，考试时间120分钟) 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的. 1.在四边形ABCD中，若AD=BC,则四边形ABCD的形状一定是() A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 2.己知a,b∈R,(a+3i)+1-)=5+bi,则ab=() A.-4 B.7 C.8 D.6 3.如果空间四点A,B,C,D不共面，那么下列判断正确的是() A.直线AB与CD平行 B.直线AB与CD相交 C.A,B,C,D四点中可以有三点共线 D.A,B,C,D四点中不存在三点共线 4.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论错误的是() A.平行四边形在直观图中仍是平行四边形 B.三角形在直观图中仍是三角形 C.菱形的直观图是菱形 D.梯形的直观图是梯形 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线（与直线BC不重合）⊥平面AB1,则() A.BC⊥I B.BC∥I C.BC与I异面但不垂直 D.BC与I相交但不垂直 6.在正方体ABCD-A,B1C1D,中，棱长为3，E为棱BB1上靠近B1的三等分点，则平面AED1截正方体ABCD- A1B1C1D1的截面面积为() A.2V11 B.4W11 C.2V22 D.4W22 7.已知向量a,b满足a=2b,设a-b与a+b的夹角为0，则cos0的最小值为() 4 A. e D. 5 第1页共4页 8如图，在三V-ABC中，A=AB=BC=AC=BC=2,二面角V-AB-C的余弦值为3则C 的长为() A.1 B.2 C.3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知复数z满足(1-)z=2i,则下列关于复数z的结论，正确的是() A.Ia2 B.复数z的共轭复数为z=一1+i C.复平面内表示复数z的点位于第四象限 D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根 10.已知△ABC的外接圆圆心为O,且2AO=AB+AC,|OA=AB|,下列结论正确的是() A.OB+OC=0 B.|AC=√5|AB C.AB·BC=AB2 D.向量BA在向量BC上的投影向量为上BC 4 11.如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2,E,F,G分别是AB,BC,PB的中点，则(）) A.平面GEF∥平面PAC B.EF⊥DG C三楼锥P-AGC的体积为3 D.四棱锥P ABCD的外接球的表面积为8π 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如右图，AB,CD是圆柱上、下底面圆的直径，四边形ABCD是边长为2的正方形 E是底面圆周上的一点，AE=1.则点A到平面DBE的距离为 第2页共4页 13.如图，A,B两点分别在河的两侧，为了测量A,B两点之间的距离，在点A的同侧选取点C,测得∠ACB =45°，∠BAC=105°，AC=100m,则A,B两点之间的距离为 m B 14.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)己知复数21=a+（4-)i,2,=4+(2a-5)i(a∈R,i是虚数单位). (1)若2，的实部与2，的模相等，求实数a的值. (2)若复数21+2，在复平面上的对应点在第四象限，求实数a的取值范围. 16.(15分)在长方体ABCD-AB,CD中，AB=AA=2AD=2,M是CD的中点. I)证明：B1D/平面BCM; (2)求直线B,D与平面BCCB所成角的正弦值， 1R（15分)设/)=m分+5。号m分o>0,函数y=了0)图像的两条相邻对称轴之间的距离 2 为π. (1)求函数y=f(x)的解析式： (2)在AM5C中，设角4、B及C所对边的边长分别为a、b及c,若a=N5,b-万，f团- 求角C. 第3页共4页 18.(17分)如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e,,分别是与x轴，y轴正方向同 向的单位向量，若向量OP=xg+ye(xyER),则把有序数对(x,y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标. (1)设OM=2e,ON=4e,写出OM,ON在坐标系xOy中的坐标，并求OM·ON的值. (2)已知a=(2,1),b=1,),其中k∈R,若(a+2b)⊥(a-b),求实数k的值. (3)在三角形ABC中，若A(1,2),B(-1,1),C(2,-2),求cosA. 19.(17分)己知在边长为2的正方形SGG,G中（如图1），E,F分别是线段GG,G,G3上的动点（不含端 点)，且EG2+G2F=2. I)当EG2=G2F时，如图2沿SB,SF和F把这个正方形折成一个四面体，使得G,G,,G3三点重合 于点G,则在四面体S-EFG中： ()证明：SG⊥EF: ()求二面角S-EF-G的平面角的余弦值 (2)如图3，若正方形的对角线G1G3与SE和SF分别交于点P,Q两点，证明：三条线段GP,PQ和QG3 一定可以构成一个三角形，并且这个三角形中一定有一个角等于60 S Gs S G3 G P F G E E G 如图1 如图2 如图3 第4页共4页宾阳中学高一年级2026年春学期 期中考试数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 考号 注意事项 1.答题前请将姓名、 班级、考场、准考证 [0] [o] [o] [o] [o] [0] [o] 缺考标记 号填写清楚。 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] 2.客观题答题，必须 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] 使用2B铅笔填涂，修 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] 改时用橡皮擦干净。 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 回回 3.必须在题号对应的 [5] [5] [5] [5] [5] [5] 音斌 答题区域内作答，超 [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] 出答题区域书写无 [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] 效。 [8] [8] [8] [8] [8] [8J [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] (9) 、 单选题（本题共8小题， 每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 6[A][B][c][D] 2[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 二、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12 13 14 囚囚■ 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) D A B M ■ 17.(15分) 1 1 囚■囚 18.(17分) 以 ------------p 囚■囚 口 19.(17分) G G G D E E G, 如图1 如图2 如图3 ■宾阳中学高一年级2026年春季学期期中考试数学参考答案 2 3 5 6 B c D C C 7 8 9 10 11 B A AD ABD ABD 6.【答案】C解：延长AE,A1B1交于点F,连接D1F交B1C1于点G,连接GE,如图，在正方体ABCDA1BC1D1 中，平面ADD,A/∥平面BCC1B1,因为平面AFD1∩平面ADD1A1=AD1, 0 平面AFD1n平面BCCB1=EG,所以AD/GE.又因为AD1=3V2,GE=V2, 所以四边形AEGD1是梯形，且为平面AED,截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面. 又因为D,G=AE=V13,在等腰梯形AEGD,中，过点G作GH1AD,于点H, 所以GH=√DG2-DH2=V11, 所以S=2(EG+AD)·GH=×(N2+3W2)×√11=2N2 7.【答案】B解：由平行四边形法则：a-P+a+P=2(a2+1)=101P, (a+ba-万=a-1b12=3b1P, a-1a0aam:aa+ika-6,a+i-516 cos6=a+Da-6.316 2 c08033163 5bP51 当且仅当a-h日a+b即ab=0时取等号，c0s9最小值为 8.【答案】A解：如答图所示，取AB的中点M,连接M,CM. .VA=VB,AC=BC.M⊥AB,CM⊥AB ∴.∠☑MC为二面角V-AB-C的平面角，根据己知条件可得AM=1,CM=3,VM=V3. 在AaMC中，由余弦定理co8∠InMC-M+MC_-C_c-1 2☑M·.MC 6 日【答案】A0解：因为（1-)2i,所以。11 所以z=√（-1)2+1=V2.故选项A正确。 z的共轭复数z=-1-1,故选项B错误， 复平面内表示复数z的点的坐标为(-1,1)，位于第二象限，故选项C错误 因为(-1+1)+2(-1+i)+2=-2i-2+2i+2=0,所以复数z是方程x+2x42=0的一个根.故选项D正确。 10.【答案】ABD解：2AO=OB-OA+OC-OA,.OB+OC=0,A正确 第1页共6页 BC为⊙O的直径，∠BAC=90°，设BC=2r,则OA曰AB=r, 所以△ABO为等边三角形，tan∠ABC=tan60°= ACI √5，B正确 AB AB.BC=r.2rc0s120°=-r2=-AB2,C错误 BA·BC 向量BA在向量BC上的投影向量为 BCP C-记，DE晚 11.【答案】ABD解析：因为E,F分别是AB,BC的中点，所以EF∥AC 因为ACC平面PAC,EFt平面PAC,所以EF∥平面PAC.同理可证GF∥平面PAC. 因为EF∩GF=F,EFC平面GEF,GFC平面GEF, 所以平面GEF∥平面PAC.故选项A正确. 在正四棱锥P-ABCD中，易知AC⊥平面PBD.因为EF∥AC,所以EF⊥平面PBD. 又DGC平面PBD,所以EF⊥DG.故选项B正确. 记AC∩BD=O,连接PO.因为PA=AB=2,所以OB=OP=V2. 所以V三枝锥PABC 1x1x2×2XV2=22.丙为G是PB的中点， 32 3 所以刀nPey:co一4心-长4Bc-子故连项C缓误 2 3 因为OA=OB=OC=OD=OP=V2,所以O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心. 所以四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为4π(N2)=8π.故选项D正确. 12【答案】25 解：因为四边形ABCD是边长为2的正方形，且AE=1, 所以BE=V22-1=√5，DB=√1+4=√5， 设点A到平面DBE的距离为h, 因为，=y,所以xSAa×AD=xSBe×h, 3 所以h=③BDXAD 1x1×V3×2 2 2W5 S.BDE 2*5xV6 ，所以点A到平面DBE的距离为2 5 13.【答案】1002解：根据己知条件∠ACB=45°，∠BAC-105°，AC=100m,所以∠CBA==30°， 利用正弦定理 sin∠AcB-s1nR。,则AB=s1n45°、I00XV② AB AC sin30° 2=1002(m. 1 2 第2页共6页 14【答案】[导解：淡正方体的校长为1，DP=,则x∈0，如园，连接AD,D,D,8C 由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角. Dy 2 在△AD1P中，AD1=V2,AP=D1P=V1+x2,故cos∠AD1P= 2 V1+x2 1D- V2 又因为x∈[0,1]，所以cos∠AD1P= 又∠ADPE0,,所以∠A0PeG 15.【答案】(1)依题意，z=√a2+(4-a)2=√2a2-8a+16. 因为2的实部与乙的模相等， 所以v2a2-8a+16=4. 整理得a°-4a=0.解得a=0或a=4.(6分) (2)因为Z+z,=(at4)+（a-1)1,且Z+z,在复平面上对应的点在第四象限， 所日±仁8解得-水a1 所以实数a的取值范围是(-4,1).(13分) 16.【答案】(1)证明连接B,C交BC1于点E, 则点E为B,C的中点，连接EM,所以EM//BD, D 因为EMc平面BC,M, BD4平面BCM, 所以BD/平面BCM.(7分) (2)解因为CD1平面BCCB1, 所以角∠B1CD是BD与平面BCCB1所成角的平面角： 在Rt三角形中 DB1=DD+DC2+DA2=3,CD=AB-2 所以sin∠B1CD号 所以直线B,D与平面BCCB1所成角的正弦值为号15分 第3页共6页 1解：)-snmr%+5sm2co 2 s 1 .1 2 sin cx-2cosox+2 1分 2 2分 因为函数y=f(x)的图像相邻两条对称轴之间的距离为π，所以T=2π， 3分 所以2严=元，得0=2. 4分 所以0ex爱+号 5分 包由得0m24爱-}} 22 6分 所以2A-令=1 7分 因为Ae(0,),则(2A-∈（交，11 8分 61 6’6 所以21名-行解得4=号 62 9分 因为a=√3，b=√2， 10分 由正弦定理得a b sinA sinB 11分 所以3 5 12分 sin B 得sinB= 2 sin- 3 因为a>b, 所以Be@学。 13分 所以B= 4 14分 C=元-A-B=π-3412 ππ5π 15分 18.【答案】解：(1)OM=(0,3),ON=(4,0)(2分) 0M=3g,0=4eoM.N=128g=12cos60=6(5分) (2)依题意可知，在斜坐标系中，Ox,Oy夹角为60°， 对于向量c=(,),d=(化，y) 数量积公式为：cd=(sg+yg)(g+⅓8)=8+日6+86+h5 + =%++y+%:(7分) (a+2b=(2+2×1,1+2=(4,1+2k),(a-b)=(2-1,1-k)=(1,1-)(8分) 第4页共6页 (a+2b1(a-万，∴(a+2而-(a-万=0(9分) 代入斜坐标数量积公式得， a+2-(a-=4x1+0+2)x1-)+[40-)+1+2]-2k+15-0(a0分) 解得，=土1 (11分) 2 (3)由题意可知0A=e+2e,0B=-e,+e,0C=2e,-2e,,(12分) AB=0B-O4=-2g-e,AC=OC-OA=e-4e,,(13 :AB=V4+1+2=V万，Ac+16-4=5,(14分) .AB.AC=4B.AC.cos4 .∴.c0S1= 丽4C-（2-9)8-4g)-2+4+ 2111.17分) AB.AC AB.AC √7x13182 19.【答案】解：(1)证明： ()连接正方形SGG,G中的G1G3交SG2于点O, 则由正方体性质得GG3⊥SG2, 又因为EG2=G2F,EG2+G2F=2, 所以EG1=EG2=G2F=G3F=1,即E、F分别为在对应边的中点， 所以EF/GG3,故EF⊥SG2, 即EF⊥SD且EF⊥DG,又SD∩DG=D,SD,DGC平面SDG, 所以EF⊥平面SDG,又SGc平面SDG,所以EF⊥SG..6分 ()由)及题意可得∠SDG是二面角S-EF-G的平面角， I DG-DG:-0G.-5G.-V5G+G 2 所以sD=SG-DG=2V2-2_3V2 又SG=SG1=2, 2 2 3V 所以os∠SDG=SD2+DG3-SC 2 2×SDX DG 2×3v2xV2 3 2 2 即二面角S-EF-G的平面角的余弦值为311分 (2)由题意可设G2E=λG2G1=2入，入∈(0,1)，则 第5页共6页 G3F=G2G3-G2F=G2G3-(2-G2E)=2-(2-2A)=2入， GE=G2G1-G2E=G2G1-G3F=2-2=G2F, 由正方形的性质可知△SQG1~△FQG3且△SPG3~△EPG1, 所器器员部-装2十 1 则G3Q=λG1Q=A(GP+PQ)=λGP+λPQ①， 且GP=(1-λ)G3P=(1-λ)G3Q+(1-)PQ②， 所以击02洲60= 1-X2 PQ.GP-1PQ 因为1+2X-2入2-(A2-入+1)=3入-32=3(1-)>0， 所以80+6P-0+0 -PQ>PQ: 因为1+X-(1-2)=X-2=1-)>0, 防以G0+PQ=2A 2入-2 91Q-G: PQ+PQ=-入+1 1-X2 因%2-入2-9=P3别+2=(-到°-在0刘上单调， 而当1=1时，2-入-(2入-)=0，故1∈(0,1)时2-入-(2入-X)>0, 1-X 所以GP+PQ=R-入+ 2-入PQ>X-入+ -PQ+PQ=X-x+1 2入-λ PQ=G3Q, 所以由线段GP,PQ和QG3一定可以构成一个三角形，记该三角形为△GPQ,又 1-2 2 PQ 2入-X2 2 G GP2+G3Q2-PQ2 2-入+1 + P9 -PQ2 2×G1P×G3Q 1-2 2入-2 2×R-入+PQ×二A+PQ =1-)2+(2入-)2-(2-入+1)24-23-2+2A_1 D 2×(1-2)×(2入-2) 2(04-2X3-2+22' 即es∠PGQ-号，又∠PGQ∈0,180r),所以∠PG0=6, G E G2 所以线段GP,PQ和QG3一定可以构成一个三角形，并且这个三角形中一定有一个角等于60.18分 第6页共6页 宾阳中学高一年级2026年春季学期期中考试 数学 命题人：张善军、毛丽珍、韦碧钰 审题人：黄芗莹 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 在四边形中，若，则四边形的形状一定是（ ） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 矩形 2. 已知，，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 6 3. 如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（ ） A. 直线与平行 B. 直线与相交 C. ，，，四点中可以有三点共线 D. ，，，四点中不存在三点共线 4. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论错误的是（ ） A. 平行四边形在直观图中仍是平行四边形 B. 三角形在直观图中仍是三角形 C. 菱形的直观图是菱形 D. 梯形的直观图是梯形 5. 在正方体中，直线（与直线不重合）平面，则（ ） A. B. C. 与异面但不垂直 D. 与相交但不垂直 6. 在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（       ） A. B. 复数的共轭复数为 C. 复平面内表示复数的点位于第四象限 D. 复数是方程的一个根 10. 已知的外接圆圆心为，且，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 11. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则（ ） A. 平面平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 四棱锥的外接球的表面积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 13. 如图，A，B两点分别在河的两侧，为了测量A，B两点之间的距离，在点A的同侧选取点C，测得∠ACB=45°，∠BAC=105°，AC=100米，则A，B两点之间的距离为______米． 14. 当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，（，是虚数单位）． （1）若的实部与的模相等，求实数的值． （2）若复数在复平面上的对应点在第四象限，求实数的取值范围． 16. 在长方体中，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 18. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． （1）设，，写出，在坐标系中的坐标，并求的值． （2）已知，，其中，若，求实数的值． （3）在三角形中，若，，，求． 19. 已知在边长为2的正方形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），且. （1）当时，如图沿，和把这个正方形折成一个四面体，使得，，三点重合于点，则在四面体中： （i）证明：； （ii）求二面角的平面角的余弦值. （2）如图，若正方形的对角线与和分别交于点，两点，证明：三条线段，和一定可以构成一个三角形，并且这个三角形中一定有一个角等于. 宾阳中学高一年级2026年春季学期期中考试 数学 命题人：张善军、毛丽珍、韦碧钰 审题人：黄芗莹 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）或 （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）的坐标为，的坐标为，4 （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） （2）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $