精品解析：山东省日照市五莲县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024~2025学年度下学期期中学科学业水平监测 八年级数学试题 （满分120分，时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上填写自己的学校、姓名、考号、座号等信息，用2B铅笔填涂相应位置．答题过程中，请保持答题卡的整洁． 2．第I卷共12小题，每小题选出答案后，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净后，再改涂其他答案标号．只能涂在答题卡上，答在试卷上无效． 3．第II卷共10小题，所有题目的答案，考生须用0.5毫米的黑色签字笔答在答题卡上各题目指定的区域内，在试卷上答题无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第I卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列各式中，二次根式的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列二次根式中，与能合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，中，平分，，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知实数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为 ，的中点，则的长为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 7. 如图，是的边延长线上一点，连接 ，，， 交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交点分别为点 ，过 两点作直线交于点，则的长是（　　）cm． A. B. C. 3 D. 2.6 10. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接 ，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图是一个内壁长 、宽、高 的长方体仓库，在其内壁的（长的四等分）处有一只壁虎，（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与 交于点 ，连结，若，则下列结论：①；②四边形是菱形；③垂直平分线段；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．） 13. 若是实数，且，那么的值为___________． 14. 如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80，P是对角线BC上一点，分别作P点到直线AB．AD的垂线段PE．PF，则等于______． 15. 如图，在直角三角形中， ，，，点M是边上一点(不与点A，B重合)，作 于点E，于点F，若点P是的中点，则 长度的最小值是__________________． 16. 如图，四边形中，，， ，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， ____________________ 三、解答题（本大题共6小题，满分68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 18. 教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米， 米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动． 【解析】 （1）为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？ （2）学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉． 19. 如图，对角线，相交于点O，过点D作 且 ，连接，， ． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的长． 20. 项目式学习 项目主题：测量学校旗杆的高度 项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目学习． 项目步骤： 测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子 模型抽象 测量方案及相关数据 ①如图，线段表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，小乐同学用皮尺测出的长为米； ②如图，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，小雷同学用皮尺测出 的长为米； ③小新的身高为米． 问题解决：根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点作 于点，则米．请根据“智慧”小组的思路完成下列问题： （1）直接写出线段与之间的数量关系：___________； （2）求出学校旗杆的高度． 21. 综合与实践 折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题. 问题情境 如图1，在长方形纸片中，， ，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形. （1）如图2，连接，当点落在上时， 的长为________________. 深入探究 （2）如图3，点是的中点，连接.当点落在上时，求的长. 拓展应用 （3）如图4，点是的中点，连接， . ① 的最小值为________________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 22. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在右侧作正方形． （1）当点B在x轴正半轴上运动时，求点C的坐标（用m表示）； （2）当 时，如图2，P为上一点，过点P作，过A作，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度下学期期中学科学业水平监测 八年级数学试题 （满分120分，时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上填写自己的学校、姓名、考号、座号等信息，用2B铅笔填涂相应位置．答题过程中，请保持答题卡的整洁． 2．第I卷共12小题，每小题选出答案后，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净后，再改涂其他答案标号．只能涂在答题卡上，答在试卷上无效． 3．第II卷共10小题，所有题目的答案，考生须用0.5毫米的黑色签字笔答在答题卡上各题目指定的区域内，在试卷上答题无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第I卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列各式中，二次根式的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，形如（其中的式子就是二次根式． 【详解】解：，， 故二次根式有：、、、 ①③⑤⑦共4个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解定义是关键． 2. 下列二次根式中，与能合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．依次化简各项根据概念判断即可． 【详解】解：A： ，与不是同类二次根式，所以不能合并， 该选项不符合题意； B： ，与是同类二次根式，所以能合并， 该选项符合题意； C： ，与不是同类二次根式，所以不能合并， 该选项不符合题意； D： ，与不是同类二次根式，所以不能合并， 该选项不符合题意； 故选：B． 3. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理、勾股定理及三角形三边关系逐一分析各选项，判断是否能构成直角三角形． 【详解】A.，， ， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； B.设三边比例为， 即 ， ，， 此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），因此无法构成三角形，更无法判定为直角三角形，故此选项符合题意； C. ，即，符合勾股定理， ， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； D.， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； 故选B． 4. 如图，中，平分，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，根据平行四边形的性质，， ，结合平分，解答即可，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】∵平行四边形中，平分，， ∴， ， ， ∴， 故选：D． 5. 已知实数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到，则，进而得到，即可求得． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．根据平行四边形的性质，得到，在 中，根据三角形中位线的判定与性质，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形, ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是 的中位线， ∴， 故选：B． 7. 如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件后可证明，得到，进而可得结论，A不符合题意；添加条件，可证明，进而得到，从而证明结论，B不符合题意；添加条件，可证，进而证明结论，C不符合题意；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，D符合题意． 【详解】解：A、∵， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意； 故选：D． 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答． 【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项A能证明勾股定理； B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和， 则其面积为 ， ∴ ，故选项B不能证明勾股定理； C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项C能证明勾股定理； D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项D能证明勾股定理． 故选：B． 9. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交点分别为点 ，过 两点作直线交于点，则的长是（　　）cm． A. B. C. 3 D. 2.6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 连接，得垂直平分线段，推出，设，在中，，根据构建方程即可解决问题． 【详解】解：连接． ∵，， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得， ∴， 故选A． 10. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接 ，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则 ，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴ ， ∴是边上的中线， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 11. 如图是一个内壁长 、宽、高 的长方体仓库，在其内壁的（长的四等分）处有一只壁虎，（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题关键是将长方体展开，用勾股定理求出壁虎所走的最短距离．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将点A和点B所在的面展开，则为长方形，连接，分类探讨壁虎爬到蚊子处的距离，找到最短距离即可． 【详解】解：如图，展开前面与上面， ∵A是长的四等分点，B是宽的三等分点，长 、宽、高 ， ∴，，， ∴． 如图展开前面与左边，过作于， ∵ ， ， 则； 其余的展开方式要展开三个面，更长， ∵， ∴则最短距离为． 故选：C． 12. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与 交于点 ，连结，若，则下列结论：①；②四边形是菱形；③垂直平分线段；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据 ，则，根据点是的中点，证明，判断①；根据矩形的性质，证明四边形是平行四边形，结合，即可判断②；由，结合 ，可判断③；假设，推出与已知矛盾的结论，即可判断④． 【详解】解：在矩形中， ， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 在矩形中，， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形．故②正确； ∴， ∵， ∴ ， ∴垂直平分线段，故③正确； 若，而 ， ∴， ∵为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，， ∴是等边三角形，， ∴， 则， 但一般情况下不满足此条件．故④不正确． 综上所述，正确的有①②③． 故选：C． 【点评】本题考查矩形，菱形，垂直平分线的性质，等边三角形和全等三角形等知识，解题的关键是掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，全等三角形判定和性质． 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．） 13. 若是实数，且，那么的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简．根据二次根式有意义的条件，可得，，再代入计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 此时， ∴． 故答案为： 14. 如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80，P是对角线BC上一点，分别作P点到直线AB．AD的垂线段PE．PF，则等于______． 【答案】8 【解析】 【分析】直接利用菱形的性质得出AB=AD=10，S△ABD=12.5，进而利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为80， ∴AB=AD=10，S△ABD=40， ∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF， ∴×AB×PE+×PF×AD=40， ∴×10（PE+PF）=40， ∴PE+PF=8． 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确得出×AB×PE+×PF×AD=S△ABD是解题关键． 15. 如图，在直角三角形中， ，，，点M是边上一点(不与点A，B重合)，作 于点E，于点F，若点P是的中点，则 长度的最小值是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质可得，则，当 时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得最小值． 【详解】解：如图，连接，则M，P，C共线， ∵ ， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴ 时，取得最小值，此时取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴长度的最小值是 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积，堆出是解题的关键． 16. 如图，四边形中，，， ，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， ____________________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵， ， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共6小题，满分68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）先根据完全平方公式，负整数指数幂，零指数幂及二次根式的性质将原式化简，再进行加减运算即可； （2）先将二次根式化为最简二次根式，再进行除法和乘法运算，最后再合并即可； 掌握相应的运算法则、性质和公式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米， 米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动． 【解析】 （1）为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？ （2）学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉． 【答案】（1）米 （2）株 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出的长即可； （2）先根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，分别求出的面积，计算即可得到答案． 【小问1详解】 解如图，连接 ， （米） 至少需要米装饰彩带； 【小问2详解】 解：，，， ， 是直角三角形， （平方米）， （平方米）， （株）， 共需要种植株花卉． 19. 如图，对角线，相交于点O，过点D作 且 ，连接，， ． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴四边形 是平行四边形． ， ∴平行四边形 是矩形， ， ∴， ∴是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形 是平行四边形．再证平行四边形 是矩形，则 ，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证明是等边三角形，得 ，再由勾股定理得，然后由矩形的在得 ，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 在 中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形 是矩形， ， ， 即的长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 20. 项目式学习 项目主题：测量学校旗杆的高度 项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目学习． 项目步骤： 测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子 模型抽象 测量方案及相关数据 ①如图，线段表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，小乐同学用皮尺测出的长为米； ②如图，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，小雷同学用皮尺测出的长为米； ③小新的身高为米． 问题解决：根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点作 于点，则米．请根据“智慧”小组的思路完成下列问题： （1）直接写出线段与之间的数量关系：___________； （2）求出学校旗杆的高度． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（）根据题意解答即可； （）如图，过点作 于点，设 米，可得米，米，米，米，由勾股定理得，解方程求出的值即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 如图，过点作 于点， 设 米， 则米，米，米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米， 答：学校旗杆的高度为 米． 21. 综合与实践 折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题. 问题情境 如图1，在长方形纸片中，， ，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形. （1）如图2，连接，当点落在上时， 的长为________________. 深入探究 （2）如图3，点是的中点，连接.当点落在上时，求的长. 拓展应用 （3）如图4，点是的中点，连接， . ① 的最小值为________________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 【答案】（1）4；（2）；（3）①；②或6 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到 ，再根据勾股定理求出，即可求出答案； （2）连接，设，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，再利用勾股定理得到，即可求出答案； （3）①根据两点之间，线段最短，当点落在上时， 的值最小，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，即可得到答案； ②分当时，当时，两种情况进行讨论． 【详解】解：（1）是由沿翻折所得到的图形， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）连接，设， 是由沿翻折所得到的图形， ， ，， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 解得 ， ； （3）①根据两点之间，线段最短，当点落在上时， 的值最小， 设， 是由沿翻折所得到的图形， ， ，， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ； ②当时， 是由沿翻折所得到的图形， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得， ； 当时，点在上时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或6． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在右侧作正方形． （1）当点B在x轴正半轴上运动时，求点C的坐标（用m表示）； （2）当 时，如图2，P为上一点，过点P作，过A作，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1中，作 轴于．利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）如图2中，在上取点Q，使，连接，先证明，再根据全等三角形的性质解决问题即可； （3）过M作交 于F．证明，再根据全等三角形的性质解决问题即可； 【小问1详解】 如图1中，作 轴于E． ， ，， ， ， ， ，， ． 【小问2详解】 如图，在上取点Q，使，连接， 正方形为对角线， ，，， ， ， ①，， ， ， ， ， ， ， ，② 由①②知：， ， ． 【小问3详解】 如图，过M作交 于F． 正方形， ， ∴ ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或特殊四边形解决问题，学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $