精品解析：山东济南市天桥区泺口实验学校2025-2026学年第二学期八年级期中测试数学试题（2026.5）

2025-2026学年第二学期八年级期中测试数学试题（2026.5） 注意事项： 1．本试题共 4 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡规定位置，并同时将考试答案填在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题．（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求．请将正确选项涂到答题卡上．） 1. 下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 3. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将点向上平移4个单位，得到点的对应点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 7. 如果把中x、y的值都扩大10倍，那么这个代数式的值（ ） A. 不变 B. 扩大10倍 C. 扩大20倍 D. 缩小为原来的 8. 如图，已知直线与相交于点P（，），则关于x的不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，将绕点A逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的分式方程的解是非负整数解，且满足不等式，则所有满足条件的整数的值之和是（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 6 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 分解因式∶________． 12. 要使分式有意义，则应满足的条件是 ________ ． 13. 如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________． 14. 已知，则的值为_________． 15. 如图，为等边三角形，，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 分解因式： （1） （2） 17. 解答： （1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）求不等式组的所有整数解． 18. 计算： （1）； （2）； 19. 先化简，再求值：，请在-1、0、1、2当中选出一个合适的数a代入求值． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． （1）将向左平移6个单位得到，画出，点的坐标为______． （2）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，点的坐标为______． 22. 已知点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为平行四边形． 23. 为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A，B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元． （2）若购买A，B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？ 24. 阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ，， ． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知的三边长都是正整数，且满足，求的最大边的值； （3）已知，求的值． 25. 在中，，，D为平面内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE， （1）若点D为线段BC上一点（不与点B、C重合），如图1，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______； （2）若点D为内一点，BD的延长线与CE交于点F， ①如图2，BD与CE的数量关系和位置关系分别是什么？并请证明你的结论； ②如图3，连接AF，DC，已知，判断AF与DC的位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级期中测试数学试题（2026.5） 注意事项： 1．本试题共 4 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡规定位置，并同时将考试答案填在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题．（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求．请将正确选项涂到答题卡上．） 1. 下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后即可求解． 【详解】A、C、D选项的图案都不是中心对称图形，B选项的图案旋转180度后能够与原图重合，故B是中心对称图形， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 2. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件，由分子为0且分母不为0即可得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解得． 故选：C． 3. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A选项是整式乘法，结果为和的形式，不是因式分解； B选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解； C选项，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义，是因式分解； D选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解. 4. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求出答案． 【详解】解：A、∵，根据不等式两边同时减去一个数，不等号方向不变可知：，故选项成立，符合题意； B、∵，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变可知：，故选项不成立，不符合题意； C、∵，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意； D、∵，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型． 5. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元一次不等式，再在数轴上表示解集即可. 【详解】解： ， 在数轴上表示其解集如下： 故选C 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握“表示解集时空心圈与实心点的使用以及大于向右拐，小于向左拐”是解本题的关键. 6. 将点向上平移4个单位，得到点的对应点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律求得答案． 【详解】已知点向上平移4个单位， 根据“上下平移横不变，纵坐标上加下减；左右平移纵不变，横坐标左减右加”得： 点P的纵坐标加4即可，所以点的坐标为（1，8）， 故选B． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，牢记点的平移规律是解决本题的关键，如果不熟练，还可以画出平面直角坐标系解决． 7. 如果把中x、y的值都扩大10倍，那么这个代数式的值（ ） A. 不变 B. 扩大10倍 C. 扩大20倍 D. 缩小为原来的 【答案】B 【解析】 【分析】分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，再利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分别用10x和10y去代换原分式中的x和y， 得：=， 此时这个代数式的值扩大10倍． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质是解答本题的关键． 8. 如图，已知直线与相交于点P（，），则关于x的不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得，根据图象直接得到答案； 【详解】解：已知，，根据，得， 根据图象可知当时满足， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解题是关键． 9. 如图，将绕点A逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质求出和的度数即可解决问题． 【详解】解：根据旋转的性质可知，且，， ∵点在线段的延长线上， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 10. 若关于的分式方程的解是非负整数解，且满足不等式，则所有满足条件的整数的值之和是（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先求出分式方程的解，再利用分式方程的解为非负整数解，以及满足不等式，求出，再利用是非负整数可知是4的倍数分析即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ∵分式方程的解是非负整数解，且满足不等式， ∴，解得：． ∵是非负整数，则： 当时，，此时，经检验，是分式方程的解； 当时，，此时，经检验，是分式方程的解； 当时，，此时，经检验，不是分式方程的解； ∴满足条件的整数的值之和是16． 故选：B 【点睛】本题考查解分式方程，不等式组的应用，解题的关键是求出，再利用是非负整数，求出a的值即可． 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 要使分式有意义，则应满足的条件是 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 13. 如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得． 【详解】如图，过D作，则D到的距离为DE 平分，， 点D到的距离为． 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分线的性质是解题关键． 14. 已知，则的值为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】先提取公因式xy，整理后把已知条件直接代入计算即可． 【详解】解： =， 代入得， 原式=， =24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解本题的关键． 15. 如图，为等边三角形，，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接BN并延长，证明△ACM≌△BCN， 作点D关于BN的对称点，连接，交BN延长线与点Q，当点N运动到点Q的位置时，有最小值，在结合在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半即可求出的最小值． 【详解】连接BN并延长， ∵线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN， ∴CM=CN，∠MCN=60°， ∴△MCN为等边三角形， ∵为等边三角形， ∴AC=BC，∠ACB=60°， ∵∠ACM=∠ACB-∠MCD，∠BCN=∠MCN-∠MCD， ∴∠ACM=∠BCN， ∴△ACM≌△BCN， ∵为等边三角形，且点D为BC中点， ∴∠CAM=∠CBN=30°， ∵点M在AD上运动， ∴点N在直线BN上运动， 作点D关于BN的对称点，连接，交BN延长线与点Q，当点N运动到点Q的位置时（如图），有最小值． ∵为等边三角形，且点D为BC中点， ∴∠CAM=30°，CD=，AD⊥BC， ∵△MCN为等边三角形， ∴∠CMN=60°， ∴∠MCD=30°， ∴∠DCN=30°， 设DN=x，则CN=2x ，解得x= ∴CN=CM=，DN= ∴= 故答案为： 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，结合题意，将的最短问题转换为“将军饮马”类型的问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）先提公因式，再用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查提公因式，公式法分解因式，解题的关键是掌握平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式． 17. 解答： （1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）求不等式组的所有整数解． 【答案】（1），在数轴上表示见解析； （2）不等式组的整数解有-1,0,1,2,3． 【解析】 【分析】（1）根据解不等式的方法求不等式解集，在数轴上表示即可； （2）求出不等式组的解集，找出其中的整数解即可． 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的解集为：， 在数轴上表示如下： 【小问2详解】 解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∴不等式组的解集为：． ∴不等式组的整数解有-1，0，1，2，3． 【点睛】本题考查解不等式（组），在数轴上表示不等式解集，求不等式组的整数解，解题的关键是理解题意掌握不等式（组）的解法． 18. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1）1 （2）1 【解析】 【分析】（1）利用同分母分式的加减运算法则计算即可； （2）先化为同分母，再计算即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 19. 先化简，再求值：，请在-1、0、1、2当中选出一个合适的数a代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则化简，然后代入一个使原分式有意义的a的值即可． 【详解】解：原式=， ∵a≠-1、0、1， ∴当a=2时，原式． 【点睛】此题考查的是分式的化简求值，掌握分式的各个运算法则和分式有意义的条件是解决此题的关键． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先去分母，化为整式方程，再解方程并检验即可. （2）先去分母，化为整式方程，再解方程并检验即可. 【小问1详解】 解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解， 即原方程的解是； 【小问2详解】 解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解， 即原方程的解是． 21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． （1）将向左平移6个单位得到，画出，点的坐标为______． （2）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，点的坐标为______． 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析； 【解析】 【分析】（1）根据平移即可得到图像； （2）根据中心对称即可得到图像． 【小问1详解】 解：如图，点； 【小问2详解】 解：如图，点． 【点睛】本题主要考查作图，平移以及中心对称，正确的画出图形是解题的关键． 22. 已知点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得AD=BC，AD∥BC，再由中点的定义得DE=AD，BF=BC，则DE=BF，DE∥BF，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点， ∴DE＝AD，BF＝BC， ∴DE＝BF，DE∥BF， ∴四边形EBFD为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 23. 为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A，B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元． （2）若购买A，B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【答案】（1）A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元 （2）80件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元，根据题意列出分式方程解方程即可求解； （2）设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元， 依题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元． 【小问2详解】 解：设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买B型学习用品80件． 24. 阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ，， ． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知的三边长都是正整数，且满足，求的最大边的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2）的最大边的值为，，，或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，应用完全平方公式得，根据平方的非负性质求出、的值再代入计算即可； （2）首先根据得，求出、的值；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出的范围，然后再确定的值即可； （3）把代入，得，可得、的值，继而得到的值，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴ 即的值为； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵的三边长都是正整数，且为最大边， ∴，， ∴， ∴的最大边的值为，，，或； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，完全平方公式的应用，三角形三边关系，一元一次不等式组的应用，正确理解阅读材料并能运用其方法及公式是解题的关键． 25. 在中，，，D为平面内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE， （1）若点D为线段BC上一点（不与点B、C重合），如图1，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______； （2）若点D为内一点，BD的延长线与CE交于点F， ①如图2，BD与CE的数量关系和位置关系分别是什么？并请证明你的结论； ②如图3，连接AF，DC，已知，判断AF与DC的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），； （2）①，；证明见解析；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明，可得到，，，，线段BD在线段BC上，即． （2）①证明，可得到，，再利用三角形内角和求得，得证； ②作，，易知，从而FA平分，即可证出，从而证出平行． 【小问1详解】 ∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴，， ∴∠BAC=∠DAE=90°， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵线段BD在线段BC上， ∴． 【小问2详解】 ①∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴，， ∴∠BAC=∠DAE=90°， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴ ∴， ∴即． ②，理由如下： 如图，过A作于G，于H， 由①知， ∴，， ∴， 又∵，， ∴AF平分， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、垂直的判定、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点的联系与运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $