精品解析：山东省济南市天桥区泺口实验学校2024-2025学年八年级下学期数学期中前测考试试卷

八年级（下）数学考前期中试卷 （满分150分，时间120分钟） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中最简分式是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在延长线上，则旋转角的度数为(　　) A. B. C. D. 9. 某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，O是等边内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论： ①可以由绕点B逆时针旋转得到； ②点O与距离为4； ③； ④； ⑤． 其中结论正确的是（ ） A ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ①②③ 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 因式分解： =___． 12. 代数式与代数式的值相等，则x＝______． 13. 如图，沿所在直线向右平移得到，已知，则平移距离为_____． 14. 如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解_______． 15. 在数学上，对于两个正数p和q有三种平均数，算术平均数A、几何平均数G、调和平均数H，其中， ．调和平均数中的“调和”二字来自于音乐，毕达哥拉斯学派通过研究发现，如果三根琴弦的长度p，H，q满足，再把它们绷得一样紧，并用同样的力弹拨，它们将会分别发出很调和的乐声．我们称p，H，q为一组调和数，而把H称为p和q的调和平均数．若，则的值为______． 三、解答题 16. 因式分解： （1） （2） 17. 解不等式组并求出它的所有整数解． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，然后a在﹣2，0， 1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 21. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 23. 毛笔书法是一种独特的艺术形式，是中华民族传统文化的重要组成部分．随着素质教育的深入，某校积极开展毛笔书法教育活动，现计划购进一批毛笔，已知每支甲种毛笔的价格比每支乙种毛笔的价格多5元，且用1000元购买甲种毛笔的数量与用800元购买乙种毛笔的数量相同． （1）求甲、乙两种毛笔每支的价格分别是多少元？ （2）若需要购进甲、乙两种毛笔共60支，且购买毛笔的总费用不超过1300元，则最多能购进甲种毛笔多少支？ 24. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】已知代数式，求A的最小值； （2）【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 25. 如图，在等腰直角中，，D在边的延长线上，E在边上，，连接． 【观察与思考】如图1，连接，可以看作由逆时针旋转变换得到，则在这一过程中，旋转中心是 ，旋转角的度数是 ． 【迁移与运用】将图1中的绕点A旋转，如图2，求证：； 【操作与拓展】将图1中的绕点A旋转，当B，D，E三点在同一条直线上，且该直线恰好经过的中点，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（下）数学考前期中试卷 （满分150分，时间120分钟） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解，进行判断即可．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A．不是因式分解，故选项错误，不符合题意； B．是多项式乘法，不是因式分解，故选项错误，不符合题意； C．是因式分解，故选项正确，符合题意； D．不是因式分解，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，结合各选项即可作出判断． 【详解】解：A.在两边同时减，得到，故符合题意； B.在两边同时乘以，得到，故不符合题意； C. 在两边同时乘以，得到，故不符合题意； D.在两边同时乘以再加，得到，故不符合题意； 故选：A． 4. 下列各式中最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简分式的定义即可得出答案. 【详解】A：，能化简不是最简分式，故选项A错误； B：不能化简是最简分式，故选项B正确； C：，能化简不是最简分式，故选项C错误； D：，能化简不是最简分式，故选项D错误. 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式. 5. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：C 【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 6. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出这两个不等式的解集，再求出这两个不等式解集的公共部分，根据不等式组解集就可以得出结论． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的平移，正确找出平移规律是解答本题的关键．根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论． 【详解】解：∵顶点的对应点是， 又∵， ∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到， ∵， ∴的坐标是，即， 故选：B． 8. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，根据旋转，得到，根据等边对等角，得到，根据三角形的内角和定理求出，即可得出答案． 【详解】解：由旋转性质可知∶， ∵点D恰好落在的延长线上， ∴， ∴， 即旋转角的度数是， 故选：B． 9. 某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书得到每个B型包装箱可以装书（x+15）本，再利用数量=总数÷每个包装箱可以装书数量，即可得出关于x的分式方程． 【详解】∵每个A型包装箱可以装书x本，每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书，则每个B型包装箱可以装书（x+15）本，依题意得： 故选：C． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 10. 如图，O是等边内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论： ①可以由绕点B逆时针旋转得到； ②点O与的距离为4； ③； ④； ⑤． 其中结论正确的是（ ） A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点O作，垂足为D，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点的位置，连接，过点A作，垂足为F，仿照④的解题思路，即可判断⑤不正确． 【详解】解：连接，过点O作，垂足为D， 由旋转得：，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到，故①正确； 由旋转得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴点O与的距离为4，故②正确； ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴，故③正确； 在中，， ∴ ，故④不正确； 将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点的位置，连接，过点A作，垂足为F，如图： 由旋转得：， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中，， ∴ ， 故⑤不正确； 所以，上列结论，正确的结论是①②③， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 因式分解： =___． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 12. 代数式与代数式的值相等，则x＝______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可． 【详解】解：∵代数式与代数式的值相等， ∴， 去分母 ， 去括号号 ， 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13. 如图，沿所在直线向右平移得到，已知，则平移的距离为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查图形的平移，根据平移的性质，得到，根据线段的和差关系求出的长，即可． 【详解】解：∵平移， ∴，平移距离为的长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平移距离为4； 故答案为：4． 14. 如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式. 先利用解析式确定P点坐标，然后结合函数图象写出一次函数的图象在一次函数的图象下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， 则， 因为当时，， 所以关于x的不等的解集为． 故答案为：． 15. 在数学上，对于两个正数p和q有三种平均数，算术平均数A、几何平均数G、调和平均数H，其中， ．调和平均数中的“调和”二字来自于音乐，毕达哥拉斯学派通过研究发现，如果三根琴弦的长度p，H，q满足，再把它们绷得一样紧，并用同样的力弹拨，它们将会分别发出很调和的乐声．我们称p，H，q为一组调和数，而把H称为p和q的调和平均数．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，异分母分式的加法，分式的求值，理解题意是解题的关键，根据，得到，根据，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式发进行因式分解成为解题的关键． （1）先提取公因式a，然后再运用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式3，然后再运用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式组并求出它的所有整数解． 【答案】解集是，整数解是0，1，2，3 【解析】 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出它的所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集是， ∴该不等式组的整数解是0，1，2，3． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法及步骤是解题的关键． （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． 【小问1详解】 解： ， ∴， 检验，当时，， ∴原分式方程无解； 【小问2详解】 解： ∴， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为：． 19. 先化简，然后a在﹣2，0， 1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】化简得：原式=；当时，原式=． 【解析】 【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把a=0代入计算即可求出值． 详解】原式= = =． 当a取﹣2，2，3，分式无意义． 当时，=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 【答案】（1）作图见解析；， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点C平移后的坐标，可以得到平移的规律，然后根据规律把A、B的坐标计算出来，标出来，连接点坐标即可得； （2）把点A、B、C绕点O按顺时针方向旋转得到、、，连接三点坐标即可；（3）先找到和的两组对应点，连接对应两点，即、，分别作、这两条线段的中垂线，两条中垂线相交的地方就是旋转中心． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作三角形； ，． 【小问2详解】 解：如图，即为所求作三角形； 【小问3详解】 解：取点，，连接，，，，，交于点G， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵，， ∴x轴垂直平分， ∴绕点F旋转可得到， ∴旋转中心的坐标为． 【点睛】本题考查作图－旋转变换，坐标与图形变化-平移，几何变换的类型，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． 21. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，等边三角形的性质，证明，即可得证； （2）连接，易得是等边三角形，推出，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 证明：由旋转可知， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，由（1）可知， ∴； 由旋转可知：，， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 22. 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）等腰三角形或直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的定义，勾股定理逆定理，正确分组分解得出是解题关键． （1）先将前三项进行完全平方公式因式分解，再进行平方差公式因式分解； （2）将原式进行分组和，然后利用平方差公式、提取公因式进行分解． 【小问1详解】 解 ； 【小问2详解】 解：是等腰三角形或直角三角形，理由如下． 或 或 是等腰三角形或直角三角形． 23. 毛笔书法是一种独特的艺术形式，是中华民族传统文化的重要组成部分．随着素质教育的深入，某校积极开展毛笔书法教育活动，现计划购进一批毛笔，已知每支甲种毛笔的价格比每支乙种毛笔的价格多5元，且用1000元购买甲种毛笔的数量与用800元购买乙种毛笔的数量相同． （1）求甲、乙两种毛笔每支的价格分别是多少元？ （2）若需要购进甲、乙两种毛笔共60支，且购买毛笔的总费用不超过1300元，则最多能购进甲种毛笔多少支？ 【答案】（1）甲、乙两种毛笔每支的价格分别为25元与20元 （2）最多能购进甲种毛笔20支 【解析】 【分析】（1）分别设出两种毛笔的价格，根据两种毛笔的数量相同建立分式方程，求解即可． （2）设购进甲种毛笔y支，根据题意建立一元一次不等式，根据解集即可得出答案． 【小问1详解】 设乙种毛笔每支x元，则甲种毛笔每支元，根据题意得， ， 解得：． 经检验是原方程的解且符合题意． ∴． 答：甲、乙两种毛笔每支的价格分别为25元与20元． 【小问2详解】 设购进甲种毛笔y支，依据题意得： ， 解得：． 答：最多能购进甲种毛笔20支． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意建立正确的分式方程和不等式． 24. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】已知代数式，求A的最小值； （2）【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式和材料求解即可； （2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 25. 如图，在等腰直角中，，D在边的延长线上，E在边上，，连接． 【观察与思考】如图1，连接，可以看作由逆时针旋转变换得到，则在这一过程中，旋转中心是 ，旋转角的度数是 ． 【迁移与运用】将图1中的绕点A旋转，如图2，求证：； 【操作与拓展】将图1中的绕点A旋转，当B，D，E三点在同一条直线上，且该直线恰好经过的中点，直接写出的值． 【答案】【观察与思考】点A，90°；【迁移与应用】见解析；【操作与拓展】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键． 【观察与思考】由，D在边的延长线上，得，而，可证明，则可以由绕点A逆时针旋转得到，所以旋转中心为点A，旋转方向为逆时针，旋转角为； 【迁移与运用】首先推导出，结合，推导出即可； 【操作与拓展】当B，D，E三点在同一条直线上，设直线经过的中点G，作于点H，则，所以，则 ，设，则，根据勾股定理求得，由，求得，即可求得，最后代入化简即可． 【详解】【观察与思考】 解：∵，D在边的延长线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以由绕点A逆时针旋转得到， ∴旋转中心为点A，旋转方向为逆时针，旋转角为， 故答案为：点A；； 【迁移与应用】 证明：如图2，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵D在的延长线上， ∴， ∴， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 【操作与拓展】 解：的值为，理由如下： 如图3，B，D，E三点在同一条直线上，且直线经过的中点G，作于点H，则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $