精品解析：安徽芜湖市2026届高三下学期3月质量检测数学试题

高三3月（三）数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 记数列的前项和为，若，则当取最小值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 某品牌智能手表在甲、乙、丙3个电商平台上销售，这3个平台的销量占比和好评率如下表，若该品牌智能手表的整体好评率为，则表中（ ） 甲 乙 丙 销量占比 好评率 A. 75 B. 80 C. 85 D. 90 4. 已知正方体的外接球表面积为，点在线段上（含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得曲线关于某点对称 B. 存在，使得曲线关于某直线对称 C. 存在，使得曲线关于某点对称 D. 存在，使得曲线关于某直线对称 8. 若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 在复平面内，所对应的点位于第二象限 B. 若，则， C. 若，则为纯虚数 D. 若，则的取值范围为 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 若的面积为1，则是直角三角形 D. 点到直线的距离的最大值为 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，点，，分别为边，，的中点，且，，交于点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的面积为 C. 面积的最大值为120 D. 当的面积取得最大值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙、丙等6名同学参加校园歌手大赛，他们通过抽签决定出场顺序，记事件“甲、乙两人的出场顺序相邻”，“丙在第2位出场”，则______. 13. 已知函数，则不等式的解集为______. 14. 已知正四面体的体积为，若，，，四点分别在四个互相平行的平面内，且这四个平面每相邻两平面之间的距离都相等，则每相邻两平面之间的距离为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某药物研发公司开展新药研究，给5只小白鼠分别注射不同剂量的药物，并检测小白鼠体内的激素水平，实验数据如下： 药物剂量 4 11 14 19 22 激素水平 24 20 16 16 14 （1）从这5只小白鼠中随机抽取2只，其中激素水平小于20的小白鼠有只，求的分布列与数学期望； （2）求小白鼠体内的激素水平关于药物剂量的经验回归方程.（系数用分数表示） 附：在经验回归方程中，，. 参考数据：，. 16. 已知数列的前项之积为，，，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）比较与的大小关系，并说明理由； （3）若数列满足，求的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是，的中点，点在棱上. （1）若，，，四点共面，求的值； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求. 18. 已知抛物线的焦点为，以为圆心，以1为半径作圆，过点的直线与交于，两点，与圆交于，两点，其中，在第二象限. （1）若，求的斜率； （2）证明：为定值； （3）为坐标原点，若点，分别在直线，上，求的最小值. 19. 已知函数，. （1）若实数满足，证明：曲线在处的切线与曲线也相切； （2）若函数，且，比较与的大小关系，并说明理由； （3）若恒成立，求实数的取值构成的集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三3月（三）数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出集合、后，利用交集定义即可得. 【详解】， 由，则， 即有，解得， 故，则. 2. 记数列的前项和为，若，则当取最小值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，当时，， 所以取最小值时，. 3. 某品牌智能手表在甲、乙、丙3个电商平台上销售，这3个平台的销量占比和好评率如下表，若该品牌智能手表的整体好评率为，则表中（ ） 甲 乙 丙 销量占比 好评率 A. 75 B. 80 C. 85 D. 90 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，，解得. 4. 已知正方体的外接球表面积为，点在线段上（含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性得到，将问题转化为平面中点到直线的距离问题，垂线段最短，两边端点处最长，即可求解. 【详解】 依题意，，解得， 根据对称性得， 在中，因为，所以是等腰三角形， 当为的中点时，取得最小值， 当点与点或点重合时，取得最大值， 所以的取值范围是. 5. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切的二倍角公式化简整理原式，再结合正切函数的性质和函数定义域判断周期. 【详解】在定义域内，有，且且. 若：取（在定义域内），不在定义域内，因此不是周期； 若：对任意定义域内的，满足定义域要求， 且， 所以最小正周期为. 6. 已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设、，利用双曲线的渐近线方程与线段的中点坐标计算可得、两点坐标，再利用斜率公式计算即可得. 【详解】由已知得的渐近线方程为， 设在上，在上， 则，由线段的中点坐标为， 则，，即， 则，， 则，， 故直线的斜率为. 7. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得曲线关于某点对称 B. 存在，使得曲线关于某直线对称 C. 存在，使得曲线关于某点对称 D. 存在，使得曲线关于某直线对称 【答案】D 【解析】 【详解】由，得或， 则函数的定义域为 若曲线存在对称轴或对称中心，则对称轴或对称中心必在直线上. 因为， 当时，，所以此时关于直线对称. 又因为不可能恒等于某个常数， 所以不可能关于某个点对称. 8. 若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以． 令， 记，，则， 设，因为，所以，， 当时，，此时，将其代回验算，，当时，，与上面一致． 因为恒成立，故实数的取值范围为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 在复平面内，所对应的点位于第二象限 B. 若，则， C. 若，则为纯虚数 D. 若，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故A错误； ，若，则，，故B正确； 当时，满足，但，是实数而非纯虚数，故C错误； ， 所以在复平面内对应的点在圆心为、半径为1的圆上， 又，所以的取值范围为，故D正确. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 若的面积为1，则是直角三角形 D. 点到直线的距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【详解】如图： 由已知可得，，. 因为，即，所以不可能成立，故A错误； 当点与的上（或下）顶点重合时，最大， 此时，所以， 所以，又，故B正确； 设，因为，所以，，故C正确； 设，，则点到直线的距离， 又因为，其中且，所以. 所以，故D正确. 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，点，，分别为边，，的中点，且，，交于点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的面积为 C. 面积的最大值为120 D. 当的面积取得最大值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用重心性质及平面向量线性运算可得A；利用重心性质与面积公式计算可得，即可得，即可得B；由三角形面积公式及三角函数有界性可得C；结合C中所得，利用勾股定理与重心性质计算可得D. 【详解】对A：由题意知为的重心， 则，故A正确； 对B：由重心性质可得，， 则， 故，故B正确； 对C：， 当时等号成立，故C错误； 对D：当的面积取得最大值时，， 则，故，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙、丙等6名同学参加校园歌手大赛，他们通过抽签决定出场顺序，记事件“甲、乙两人的出场顺序相邻”，“丙在第2位出场”，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】找出所有可能情况及符合要求的情况后计算即可得. 【详解】在事件中，丙在第2位出场， 则甲、乙两人占据的相邻位置有3种情况：第3位和第4位、第4位和第5位、第5位和第6位， 有3种可能，故. 13. 已知函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【详解】 令，不等式转化为，， 当时，， 解得， 当时，显然不成立， 所以， 即. 14. 已知正四面体的体积为，若，，，四点分别在四个互相平行的平面内，且这四个平面每相邻两平面之间的距离都相等，则每相邻两平面之间的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱锥体积公式计算得出解得，再应用两平行平面之间的距离，结合几何特征计算求值即可. 【详解】 依题意正四面体的体积为，得，解得. 如图所示，在正方体中作出正四面体，该正方体边长为， 根据对称性，分别作过点，，的互相平行的平面，由于每相邻两平面之间的距离都相等， 不妨求平面与平面之间的距离，其中，，，为正方体相应棱的中点， 过点作于点，则即为两平行平面之间的距离， 因为，所以， 所以，即每相邻两平行平面之间的距离为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某药物研发公司开展新药研究，给5只小白鼠分别注射不同剂量的药物，并检测小白鼠体内的激素水平，实验数据如下： 药物剂量 4 11 14 19 22 激素水平 24 20 16 16 14 （1）从这5只小白鼠中随机抽取2只，其中激素水平小于20的小白鼠有只，求的分布列与数学期望； （2）求小白鼠体内的激素水平关于药物剂量的经验回归方程.（系数用分数表示） 附：在经验回归方程中，，. 参考数据：，. 【答案】（1） 0 1 2 ， （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可知符合超几何分布，按公式写出分布列并计算期望即可； （2）算出和后再利用公式算出和即可得到回归方程. 【小问1详解】 由表格可知小白鼠中激素水平小于20的有3只，所以的所有可能取值为0，1，2， ，，， 的分布列为 0 1 2 . 【小问2详解】 由表格数据可得，， ， ， ∴所求经验回归方程为. 16. 已知数列的前项之积为，，，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）比较与的大小关系，并说明理由； （3）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1） （2），理由如下： 由（1）得， 故. （3） 【解析】 【分析】（1）先判断出数列的类型，再利用等比数列的通项公式求解即可. （2）利用等比数列的求和公式求和，再比较大小即可. （3）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 因为，，成等比数列， 所以，则，即， 因为，，所以，满足上式， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故. 【小问2详解】 ，理由略 【小问3详解】 依题意得， 故. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是，的中点，点在棱上. （1）若，，，四点共面，求的值； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求. 【答案】（1）2 （2）6 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量共线和四点共面建立关于参数的方程并求解判断线段比例； （2）求解两个面的向量法进而求空间角的余弦值，进而建立关于的方程求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，，两两互相垂直. 在平面内作，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，，则，，，，， ，，. 又，分别为，的中点，，. 设平面的法向量为， 则,可取. 又，，共面，，即，解得. . 【小问2详解】 ，. 设平面的法向量为， 则,可取. 设平面与平面的夹角为， 则， 整理得，解得， . 18. 已知抛物线的焦点为，以为圆心，以1为半径作圆，过点的直线与交于，两点，与圆交于，两点，其中，在第二象限. （1）若，求的斜率； （2）证明：为定值； （3）为坐标原点，若点，分别在直线，上，求的最小值. 【答案】（1） （2） 由抛物线的定义可知，， ， 即为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程求出韦达定理，代入焦点弦长公式即可求解； （2）利用焦半径公式来表示和计算即可求证； （3）由直线AO和BO的直线方程求出，再结合（1）中韦达定理求出，接着令进行换元得到关于k的表达式，利用一元二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 设，. 显然直线不与轴垂直，故设直线， 由得，，则，. ， 解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意知点、在直线上. 由上面的过程可知. ，的方程为，由得. 同理的方程为，由得. ， 设，，则， ， ∴当，即，也即时，取得最小值为. 19. 已知函数，. （1）若实数满足，证明：曲线在处的切线与曲线也相切； （2）若函数，且，比较与的大小关系，并说明理由； （3）若恒成立，求实数的取值构成的集合. 【答案】（1） 依题意，得， 曲线在点处的切线方程为， 即，将代入即有. 由，得，令，得， 可得曲线在点处的切线方程为， 将代入化简，可得， 故曲线在处的切线与曲线也相切. （2）， ，. 令，得 ，为关于的方程的两个根. ，即，，， . 令，则，. 令，则， 在上单调递减，， 即. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义结合即可证明； （2）对进行求导，利用，得到，为关于的方程的两个根，再令，得到，最后令，求导即可； （3）设，对其进行二阶求导，分类讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，， 则. 令，则. ①若，当时，，，有， 当时，，，有， 又， 即在上单调递增. 当时，，为在上的唯一极小值点， 则，时，恒成立. 当时，注意到， 又，存在，使得， 当时，，单调递减， 故，不符合题意. 当时， 当时，，则， 又，存在，使得， 当时，，在上单调递增， ，不符合题意. ②若，当时，，，有， 当时，，，有， 又，，在上单调递增， 又，当时，，不符合题意. 综上所述，实数的取值集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $