精品解析：江苏宿迁市2025～2026学年下学期九年级第二次学业水平检测数学试卷

2026年初中学业水平第二次模拟测试 数学 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在有理数，，2，3中，最小的是（） A. B. C. 2 D. 3 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 年月，我国紧凑型聚变能实验装置（）建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段．该项目总投资约元，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　） A. B. C. D. 5. “在某平台上购买一张《飞驰人生3》的电影票，票上的座位号恰好是偶数”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定性事件 6. 如图，点在直线上，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 当压力F（N）一定时，物体所受的压强p（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P＝（S≠0），这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的内接三角形，，设的半径为2，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是_____． 12. 点在轴上，则_________． 13. 已知一组数据：6，8，10，12，14，20，则这组数据的中位数是______． 14. 因式分解：_________． 15. 在​中，​，​，则​_____． 16. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 17. 定义为一次函数的特征数，若点在特征数是的一次函数上，则的值是_________． 18. 如图，已知中，，，在射线上取一点，使得，则的最小值_________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，，，，，求的度数． 22. 如图，直线：与过点的直线交于点． （1）求的值； （2）求直线的解析式． 23. 2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等级 频数 频率 A m B C n D 6 根据图表中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中______，______； （2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度； （3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 24. 如图，是的直径，是的弦，点在的延长线上，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 25. 某水果店出售一种水果，每只定价20元时，每周可卖出300只．试销发现： ①每只水果每降价1元，每周可多卖出25只； ②每只水果每涨价1元，每周将少卖出10只； 问题： （1）若定价16元每只，则每周可卖出_________只； （2）若定价元每只，则每周可卖出_________只（用含的代数式表示）； （3）你认为应当如何定价才能使一周销售收入最多？ 26. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，网格中有线段、、，点、、、、均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成下列画图，不写作法，保留作图痕迹． （1）_________； （2）在点右侧作线段，使且，连接； （3）在的上方作，且点N在格点上，并直接写出、间的距离． 27. 泗阳桃源大桥为京杭大运河上标志性斜拉桥，被誉为“千里运河第一跨”．大桥采用双主塔设计，每个主塔由28根斜拉索对称分布固定，线条舒展、气势恢宏，既展现力学结构之美，又极大便利运河两岸交通，是泗阳重要的城市地标． 甲、乙两个数学兴趣小组来到桃源大桥开展实地测量实践活动，分别选取一主塔左右两侧进行数学建模研究．如图，经老师给出材料得知，主塔垂直平分桥面（，），、、、为主塔左右两侧的斜拉索（点在线段上），且． （1）甲兴趣小组测量发现，，，，则： ①求出的度数；②求主塔的高度和斜拉索的长度； （2）乙兴趣小组测量发现，，请你结合甲兴趣小组测得的相关数据，解决下列问题： ①_________；②求斜拉索的最大跨度（的长度）． 28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，顶点坐标，与轴交点坐标，． （1）当时，_________，_________； （2）求的最小值，并直接写出当取最小值时的值； （3）当时； ①抛物线的对称轴为_________； ②若点、为该抛物线上不同的两点，且满足，设，是否存在常数，使为定值．若存在，请求出和的值；若不存在，请简要说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平第二次模拟测试 数学 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在有理数，，2，3中，最小的是（） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．依此即可求解． 【详解】解∶， 在有理数，，2，3中，最小的数是． 故选∶B． 【点睛】本题考查了有理数大小比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘、除，幂的乘方． 根据合并同类项法则，同底数幂的乘、除法则，幂的乘方法则逐一计算后判断即可． 【详解】解：选项A：，错误； 选项B：，错误； 选项C：，错误； 选项D：，正确； 故选：D． 3. 年月，我国紧凑型聚变能实验装置（）建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段．该项目总投资约元，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体．由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状即可． 【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形，可判断出这个几何体应该是三棱柱． 故选：A． 5. “在某平台上购买一张《飞驰人生3》的电影票，票上的座位号恰好是偶数”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定性事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断事件类型即可． 【详解】解：∵购买电影票时，座位号可能是偶数，也可能是奇数，该事件可能发生也可能不发生， ∴该事件属于随机事件． 6. 如图，点在直线上，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据补角计算出的度数，再根据余角即可计算出的度数． 【详解】解：由题意得， ， ∵， ∴ ． 7. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查象限内点的坐标符号，牢记符号特征是解题关键． 根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴符号特征为， ∴点A位于第四象限． 故选：D． 8. 当压力F（N）一定时，物体所受的压强p（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P＝（S≠0），这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 9. 如图，是的内接三角形，，设的半径为2，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理求出，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ， ， ∵的半径为2， 的长． 10. 如图1，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，再由，可得，结合勾股定理可得，即可求解． 【详解】解∶根据题意得：， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是_____． 【答案】x≠3 【解析】 【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义． 【详解】当分母x﹣3≠0，即x≠3时，分式有意义． 故答案是：x≠3． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 12. 点在轴上，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据y轴上点的坐标特征，y轴上所有点的横坐标为0，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴ 解得． 13. 已知一组数据：6，8，10，12，14，20，则这组数据的中位数是______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据中位数的定义，先将数据按从小到大顺序排列，数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数，据此计算即可． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为， 这组数据共有个数据，个数为偶数，因此中位数为排列后中间两个数的平均数 中间两个数为和， 因此中位数为． 14. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先找出多项式各项的公因式，再将公因式提取出来，将多项式转化为两个因式乘积的形式即可． 【详解】解：． 15. 在​中，​，​，则​_____． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：在​中，​， 由勾股定理，得：， ∴； 故答案为：50 16. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 定义为一次函数的特征数，若点在特征数是的一次函数上，则的值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据特征数的定义得到对应一次函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，代入点的坐标计算得到的值． 【详解】解：由题意得，特征数对应的一次函数为， ∵点在该一次函数图象上， ∴将代入函数解析式得， 解得． 18. 如图，已知中，，，在射线上取一点，使得，则的最小值_________． 【答案】 【解析】 【分析】证明在以的中点为圆心，为半径的圆上，过作的垂线，过作的垂线，两垂线的交点为，则在以的中点为圆心，为半径的半圆上运动（或在的下方的半圆上运动，两个半圆为等圆的一部分）连接，当共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，， ∴在以的中点为圆心，为半径的圆上，过作的垂线，过作的垂线，两垂线的交点为，则在以的中点为圆心，为半径的半圆上运动，（或在的下方的半圆上运动，两个半圆为等圆的一部分）连接， 当共线时，最小， 如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据去绝对值运算、零指数幂运算及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式加减运算，涉及去绝对值运算、零指数幂运算及特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先把分式通分相加，然后约分化为最简分式，再代入x的值解答即可．熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 当时， 原式． 21. 如图，，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由，，得出，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出，得出，由得出，利用“内错角相等，两直线平行”可证出，进而可得出． 【详解】解：，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 22. 如图，直线：与过点的直线交于点． （1）求的值； （2）求直线的解析式． 【答案】（1）4；（2）． 【解析】 【分析】（1）把点C（1，m）代入y=x+3即可求得； （2）根据待定系数法即可求得． 【详解】解：（1）∵点C（1，m）在一次函数y=x+3的图象上， ∴m=1+3=4； （2）设一次函数图象2相应的函数表达式为y=kx+b， 把点A（3，0），C（1，4）代入得 ， 解得 ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，函数图象交点坐标等知识，难度适中． 23. 2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等级 频数 频率 A m B C n D 6 根据图表中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中______，______； （2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度； （3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 【答案】（1） （2） （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图信息关联问题，以及概率问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据频数分布表求出总人数即可求解； （2）根据A等级所占比例即可求解； （3）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【小问1详解】 解：由频数分布表可得，总人数为：（人）； ∴，， 故答案为： 【小问2详解】 解：“A等”所对应的扇形的圆心角为：， 故答案为： 【小问3详解】 解：记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学生为丙和丁，画出树状图： 一共有种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果． ． 24. 如图，是的直径，是的弦，点在的延长线上，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）直线与相切，理由见解析 （2）​ 【解析】 【分析】（1）连接，可得，结合已知角度可计算，则可根据切线判定定理判断与的位置关系． （2）先根据长度确定圆的半径，再利用含30度的直角三角形的性质计算的边长，进而求出的面积，然后根据圆心角的度数计算扇形的面积，用的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分面积． 【小问1详解】 解：直线与相切，理由如下： 连接，  ∵， ， ，  ， ∵在中，，  ， 即， 又是的半径， ∴直线与相切． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵在中，， ， 由勾股定理得：，  ， 又圆心角， ∴扇形的面积： ​，  ​． 25. 某水果店出售一种水果，每只定价20元时，每周可卖出300只．试销发现： ①每只水果每降价1元，每周可多卖出25只； ②每只水果每涨价1元，每周将少卖出10只； 问题： （1）若定价16元每只，则每周可卖出_________只； （2）若定价元每只，则每周可卖出_________只（用含的代数式表示）； （3）你认为应当如何定价才能使一周销售收入最多？ 【答案】（1） 400 （2） （3） 定价为16元时，一周销售收入最多 【解析】 【分析】本题为销售最值问题，根据单价变化对销售量的影响规律，先完成前两问的计算与列代数式，第三问分降价销售和涨价销售两种情况，分别列出销售收入关于单价的二次函数，利用二次函数的性质求出两种情况的最大销售收入，比较后得到最优定价，用到初中列代数式、二次函数求最值的知识点. 【小问1详解】 原定价20元，现定价16元，降价了（元），根据题意，每降价1元每周多卖25只， 因此多卖出（只），原每周卖出300只，因此每周卖（只）． 【小问2详解】 定价为元，，涨了元，根据题意，每涨价1元每周少卖10只， 因此少卖出只，每周卖出量为（只） 【小问3详解】 设定价为元，一周销售收入为元，分两种情况算： 当时，为降价销售， 销售量为（只）， 销售收入， ， 存在最大值，对称轴为，满足， 此时最大销售收入 （元）； 当时，为涨价销售，销售量为只， 销售收入   ， 存在最大值， 对称轴为，满足，此时最大销售收入（元）． ， 定价为16元时，一周销售收入最多． 26. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，网格中有线段、、，点、、、、均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成下列画图，不写作法，保留作图痕迹． （1）_________； （2）在点右侧作线段，使且，连接； （3）在的上方作，且点N在格点上，并直接写出、间的距离． 【答案】（1）90 （2）图见解析 （3）图见解析，、间的距离为 【解析】 【分析】（1）借助网格，由勾股定理求得，，．根据勾股定理逆定理，，可判定为直角三角形，故； （2）依据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，在网格中平移线段，确定格点，使且，再连接，完成作图； （3）根据全等三角形的性质以及点N在的上方，在网格中确定格点，使与三边对应相等，作出全等三角形．再利用勾股定理求出，即为N、Q之间的距离． 【小问1详解】 解：连接，如下图： 由图可得，， ∴， ∴是直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵且， ∴四边形为平行四边形， 如下图，即为所作， 【小问3详解】 解：如下图，连接，即为所作， 由图可得，． 27. 泗阳桃源大桥为京杭大运河上标志性斜拉桥，被誉为“千里运河第一跨”．大桥采用双主塔设计，每个主塔由28根斜拉索对称分布固定，线条舒展、气势恢宏，既展现力学结构之美，又极大便利运河两岸交通，是泗阳重要的城市地标． 甲、乙两个数学兴趣小组来到桃源大桥开展实地测量实践活动，分别选取一主塔左右两侧进行数学建模研究．如图，经老师给出材料得知，主塔垂直平分桥面（，），、、、为主塔左右两侧的斜拉索（点在线段上），且． （1）甲兴趣小组测量发现，，，，则： ①求出的度数；②求主塔的高度和斜拉索的长度； （2）乙兴趣小组测量发现，，请你结合甲兴趣小组测得的相关数据，解决下列问题： ①_________；②求斜拉索的最大跨度（的长度）． 【答案】（1）①；②， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①由三角形外角性质，，代入得；②在中，由得，故；由得； （2）①由得为等腰直角三角形，，再由外角性质得；②在上取，利用三角函数求得，故最大跨度； 【小问1详解】 解：①由图可得，， ∵，， ∴； ②， ， 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴主塔高度， 在中，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①， ， ∵，， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 垂直平分， 是等腰三角形， ∴． ∴， ∴； ②如下图，在上取一点F，使， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题以斜拉桥测量为背景，核心是利用三角形外角性质和直角三角形三角函数求解，通过构造等腰三角形转化边角关系，体现了数学在实际工程中的应用． 28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，顶点坐标，与轴交点坐标，． （1）当时，_________，_________； （2）求的最小值，并直接写出当取最小值时的值； （3）当时； ①抛物线的对称轴为_________； ②若点、为该抛物线上不同的两点，且满足，设，是否存在常数，使为定值．若存在，请求出和的值；若不存在，请简要说明理由． 【答案】（1），； （2）的最小值为，此时； （3）①；②存在常数，使为定值． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用二次函数顶点公式、对称轴公式、三角函数定义、代数式化简与定值分析等知识解题是解题的关键． （1）将代入抛物线解析式，先求出抛物线解析式，再利用顶点纵坐标公式计算；令，直接求出抛物线与轴交点纵坐标即可得解； （2）利用二次函数顶点纵坐标公式，将表示为关于的二次函数，结合二次函数性质求的最小值；求出取最小值时顶点和轴交点的坐标，过点作轴的垂线，利用直角三角形正切函数定义计算的值； （3）①将代入抛物线解析式，利用二次函数对称轴公式直接求解； ②将抛物线上两点的坐标代入解析式，结合化简，再代入的表达式，通过令含变量项的系数为0，分析是否存在常数使为定值． 【小问1详解】 解：当时，抛物线解析式为：， 对于二次函数，顶点纵坐标公式为， 代入：， 令，得抛物线与轴交点纵坐标： ， 故，； 【小问2详解】 解：对于原抛物线，， 代入顶点纵坐标公式：， 是开口向上的二次函数， 当时，取得最小值：； 当时，顶点横坐标，即； 与轴交点，，即； 过点作轴于，则，，， 在中，，则：； 故的最小值为，此时； 【小问3详解】 ① 当时，抛物线解析式为：， 对于二次函数，对称轴公式为， 代入：， 故抛物线的对称轴为； ② 存在常数，使为定值，理由如下： 当时，， 点、为该抛物线上不同的两点， ， ， 已知，代入得：， 又，代入的表达式： ， 为定值， ， 解得，代入常数项：， 此时为定值， 故存在常数，使为定值． 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