精品解析：江苏省宿迁市钟吾初级中学2025年中考二模数学试卷

2024-2025学年度初三年级中考模拟 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 的绝对值为（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是关键．因此此题根据绝对值的意义进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2. 下列哪个是中心对称图形（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的概念，将图形绕对称中点旋转能重合即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，积的乘方运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，积的乘方运算法则，掌握运算法则是解题的关键． 4. 如图，直线，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质．根据平行线的性质得到，再根据三角形外角的性质得到即可． 【详解】解：如图， ∵直线，， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 5. 若将抛物线向左平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移3个单位求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：的顶点坐标为， ∵向左平移3个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴所得到的新抛物线的表达式是． 故选：C． 6. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 7. 如图，入射光线满足的一次函数关系式为，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称问题，一次函数与轴的交点问题，解题的关键是得出是关于原点对称的，求出点，即可求出点坐标． 【详解】解：延长交轴于，如下图： 由原理知：是关于原点对称的， 当，则，解得：， ，故， 故选：B． 8. 小米汽车已被列入国家发展计划，并获得了国家发改委的批准．其中某款车型在市场上表现亮眼，引发广泛关注．其采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率（电池含电率）随充电时间（分钟）变化的函数图．下列说法中正确的个数有（ ）个． ①本次充电持续时间是120分钟 ②本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 ③若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 ④本次充电60分钟，汽车电池含电率达到 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了自变量和因变量的定义，由函数图象读取信息是解题的关键．仔细观察函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答即可得出答案． 【详解】解：仔细观察汽车电池含电率（电池含电率随充电时间（分钟）变化的函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答如下： A．由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，符合题意； B．由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，符合题意； C．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时， 到的电量变化对应的耗电量千瓦时，即本次耗电56千瓦时，故该选项错误，不符合题意； D．由函数图象可知，本次充电60分钟，汽车电池含电率达到，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 10. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是215000000米．将数字215000000用科学记数法表示为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：215000000用科学记数法表示为． 故答案为：． 11. 分解因式：_______________； 【答案】 【解析】 分析】先提公因数4，再利用平方差公式分解因式即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解、平方差公式，熟练掌握因式分解的方法和步骤是解答的关键． 12. 某科技兴趣小组成员的年龄分别是：13、9、10、8、14、13、13，这组数的中位数是____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了中位数，解题的关键是掌握求中位数的方法，将数据有小到大排列好，如果是奇数个数据，中位数就位最中间的数． 【详解】解：小组成员的年龄有小到大：8、9、10、13、13、13、14， 故中位数为第四位对应的数：13， 故答案：13． 13. 已知关于的方程的一个根1，则方程的另一个根为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，解题的关键是先求出系数，再利用根与系数的关系进行求解． 【详解】解：的一个根1， 则将代入中，得， 解得：， ， 设另一个根为，根据根与系数之间的关系得：， 解得：； 故答案为：． 14. 用一个半径为4的半圆围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算．设圆锥的底面圆的半径为，根据半圆的弧长等于圆锥底面周长，列出方程求解即可． 【详解】解：半径为4的半圆的弧长为：， 围成的圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得， 故答案为：2． 15. 如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED=_______°． 【答案】45° 【解析】 【详解】∵正六边形ADHGFE的内角为120°， 正方形ABCD的内角为90°， ∴∠BAE=360°-90°-120°=150°， ∵AB=AE， ∴∠BEA=（180°-150°）÷2=15°， ∵∠DAE=120°，AD=AE， ∴∠AED=（180°-120°）÷2=30°， ∴∠BED=15°+30°=45°． 16. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点、、、在小正方形的顶点处，与相交于点，则的长等于____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，构造相似三角形是解题的关键． 连接，，取格点E，F，则，都是直角三角形，且 ，得到，因此，进而有，得出，从而，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：连接，，取格点E，F 则，都是直角三角形，且，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵，，， 设，则， ∴，解得， ∴． 故答案为： 17. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，平分，反比例函数的图象经过上的两点、，且，的面积为18，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点E作于点F，过点C作于点G，则，证明，推出，，再证明，得，进而即可求解． 【详解】解：连接，过点E作于点F，过点C作于点G，则， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵反比例函数的图象经过上的两点C、E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的斜边的中点与坐标原点重合， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，直角三角形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 18. 如图，在矩形纸片中，，，点是对称中心，点、分别在边、上，且经过点．将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、的位置，则面积的最大值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中心对称，三角形的面积，勾股定理，矩形的性质，平行线分线段成比例，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识，连接，交于点，连接，过点作于点．求出的值，可得结论． 【详解】解：如图，连接，交于点，过点作于点． 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ，， ， ， 当，，共线时，的面积最大，最大值为． 故答案为：． 二、 解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数次幂，绝对值化简，灵活运用相关运算法则是解题关键． 先运用特殊角的三角函数值、负整数次幂、零指数幂、绝对值化简，再计算即可求解． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 2025年是国务院印发的《全民健身计划》的收官之年．今年的宿迁马拉松比赛于3月30日7：30成功举行，参赛选手最小的5岁，最大的71岁，这与《全民健身计划》的主旨高度契合．赛后，小记者李同学随机采访了若干名参赛选手，绘制了如下图表： 2025年宿迁马拉松参赛人员年龄统计表 组别 年龄/岁 频数 A 31岁以下 25 B C 22 D 50岁以上 根据以上信息回答下列问题： （1）小记者共调查了____位参赛选手，表中____； （2）扇形统计图中“C”部分的圆心角度数为____度； （3）请估计30000名参赛选手中年龄在岁年龄段的人数有多少人？ 【答案】（1）100；15 （2） （3）18000人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，频数分布表，用样本估计总体等等，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）用A组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，进而可求出b的值； （2）用360度乘以样本中C组别的人数占比即可得到答案； （3）用30000乘以样本中参赛选手中年龄在岁年龄段的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：位， ∴小记者共调查了100位参赛选手， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中“C”部分的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：人， ∴估计30000名参赛选手中年龄在岁年龄段的人数有18000人． 22. 如图，在矩形中，点为对角线中点，点是上一点，连接并延长交于点，连接、． （1）求证：； （2）当，且平分时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定及性质，证明四边形是菱形，解题的关键是掌握相应的判定定理； （1）利用直接证明三角形全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再利用全等证明，通过对角互相平分且垂直即可判断． 【小问1详解】 证明：在矩形中，点为对角线的中点， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 又， 四边形为平行四边形， ，且平分时， ，， ， ， ， ， 四边形为菱形． 23. 2025年宿迁马拉松比赛于3月30日7：30在项王故里鸣枪开跑．张先生和王女士报名参加了此次比赛，在经过的某路口有三个车道（分别记为、、），假设每个人经过此路口时走每个车道是等可能的． （1）王女士经过此路口时走车道的概率为____； （2）请用列表或画树状图的方法求张先生和王女士经过此路口时走不同车道的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用概率公式求概率，利用树状图或列表法求概率，解题的关键是列出所有的情况，再利用公式求概率； （1）直接利用概率公式求概率； （2）利用列表法进行求解即可． 【小问1详解】 解：有三个车道（分别记为、、），每个人经过此路口时走每个车道是等可能的 王女士经过此路口时走车道的概率为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：利用列表列表如下： 张先生 王女士 共有种等可能的情况，张先生和王女士经过此路口时走不同车道的有种情况， 故张先生和王女士经过此路口时走不同车道的概率为：． 24. 2025年宿迁市中小学生人工智能与机器人大赛于4月29日成功举办，该赛事全方位展现智能时代我市中小学生的创新思维与实践能力．如图，小明也是个科技爱好者，为了测量自家楼栋的高度，小明操控一架无人机在距离地面15米的空中飞行，在点处测得楼底的俯角为，楼顶的仰角为．求楼的高度．（结果精确到米，参考数据：，， ） 【答案】米． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过点P作于点C，求出，在中，得到，根据即可得到答案． 【详解】解：过点P作于点C，则， 在中，米, ∴米， 在中， ∴米， ∴米， 答：楼的高度为米． 25. 为了更好的服务各云计算中心，某科技公司计划购进两类服务器升级后再销售．高性能服务器每台的进价是普通服务器每台进价的倍．花费480万元购进高性能服务器的台数比花费560万元购进普通服务器的台数少6台． （1）高性能服务器和普通服务器每台进价各是多少万元？ （2）若该科技公司采购这两种服务器共100台，且购买的总费用不超过5400万元．高性能服务器每台售价80万元，普通服务器按进价的2倍标价后再打7折销售，请你帮该科技公司设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1）高性能服务器每台的进价各是60万元，普通服务器每台的进价各是40万元 （2）购进高性能服务器70台，普通服务器30台时利润最大，最大利润是1880万元． 【解析】 【分析】此题考查不等式的实际应用、一次函数的应用和分式方程的应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设普通服务器每台进价为万元，则高性能服务器每台进价为万元，根据“花费480万元购进高性能服务器的台数比花费560万元购进普通服务器的台数少6台”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可求解； （2）设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台，根据“购买的总费用不超过5400万元”，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设总利润为万元，根据题意，可找出关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设普通服务器每台进价为万元，则高性能服务器每台进价为万元． 根据题意列方程得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，则高性能服务器每台进价为：万元； 答：高性能服务器每台的进价是60万元，普通服务器每台的进价是40万元； 【小问2详解】 解：设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台． 可列出不等式：， 解得：，且m的整数， 高性能服务器每台利润为：（万元）， 普通服务器每台利润为：（万元）， 设总利润为万元，则，化简得：， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴当时，有最大值，（万元），此时购进普通服务器：（台）． 答：购进高性能服务器70台，普通服务器30台时利润最大，最大利润是1880万元． 26. 如图，是的直径，交于点． （1）用无刻度的直尺和圆规作出弧的中点，保留作图痕迹； （2）作，垂足为，证明：是的切线； （3）连接，若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于E，则点E即为所求； （2）先证明，则可证明，得到，据此可证明结论； （3）过点E作于H，解得到，解得到，则，，，进而可得；再证明，得到，则，可得． 【小问1详解】 解：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，则点E即为所求； ∵， ∴由垂径定理可得； 【小问2详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； 【小问3详解】 解；如图所示，过点E作于H， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵是弧的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 27. 将一个矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连结． （1）如图1，当时，若，则的度数为____； （2）如图2，过点作交于点．判断与的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，射线分别交、于点、（如图3），当线段，时，求的长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的． （1）连接，根据条件得出，利用三角形外角的性质得出，，证明出为等腰直角三角形即可求解； （2）连接，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （3）连接，证明，由全等三角形的性质得出，得出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 解：连接，如下图： 时，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图2，连接， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图3，连接， ，，， ， ， ，， ， ， ， 在和中，，， ， ， ， ， 时， ． 28. 若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且），则把该函数称为“倍函数”，该点称为“倍点”，例如：“2倍函数”，其“2倍点”坐标为． （1）①判断：函数____“2倍函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的“2倍点”的坐标为____． （2）若抛物线上有两个“3倍点”，求的取值范围； （3）若函数的图像上存在唯一的一个“倍点”，且当时，的最小值为，求的值． 【答案】（1）①不是；②或 （2）的取值范围为：且 （3）的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口，增减性，最值的计算方法是关键． （1）根据题意，①设“倍点”坐标为，代入计算即可求解；②同上述计算方法一样； （2）设“3倍点”坐标为，代入，再根据一元二次方程判别式求解即可； （3）设“倍点”坐标为，则，即是关于的二次函数，图像开口向上，根据二次函数最值的计算方法求解即可． 【小问1详解】 解：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且）， ∴设“倍点”坐标为， ∴，无解， ∴函数不是“2倍函数”； ， 整理得，， 解得，或， ∴函数的图像上的“2倍点”的坐标为或； 故答案为：①不是；②或； 【小问2详解】 解：抛物线上有两个“3倍点”， ∴设“3倍点”坐标为， ∴， 整理得，， ∵抛物线有两个“3倍点”， ∴， 解得，， ∴的取值范围为：且； 【小问3详解】 解：设“倍点”坐标为， ∴，整理得，， ∵图像上存在唯一的一个“倍点”， ∴， ∴， ∴，即是关于的二次函数，图像开口向上， ∴对称轴直线， 当时，的最小值为，根据对称轴于取值范围的关系，分类讨论： ∴①，即， ∴， 解得，； ②当时，， ∴时取到最小值， ∴，整理得，， 解得，（舍去）； ③∴当时，， ∴时取到最小值， ∴，整理得，，无解； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度初三年级中考模拟 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 的绝对值为（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列哪个中心对称图形（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 若将抛物线向左平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，入射光线满足的一次函数关系式为，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 小米汽车已被列入国家发展计划，并获得了国家发改委的批准．其中某款车型在市场上表现亮眼，引发广泛关注．其采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率（电池含电率）随充电时间（分钟）变化的函数图．下列说法中正确的个数有（ ）个． ①本次充电持续时间是120分钟 ②本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 ③若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 ④本次充电60分钟，汽车电池含电率达到 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 10. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是215000000米．将数字215000000用科学记数法表示为 _____________． 11. 分解因式：_______________； 12. 某科技兴趣小组成员的年龄分别是：13、9、10、8、14、13、13，这组数的中位数是____． 13. 已知关于的方程的一个根1，则方程的另一个根为____． 14. 用一个半径为4的半圆围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为____． 15. 如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED=_______°． 16. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点、、、在小正方形的顶点处，与相交于点，则的长等于____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，平分，反比例函数的图象经过上的两点、，且，的面积为18，则的值为____． 18. 如图，在矩形纸片中，，，点是对称中心，点、分别在边、上，且经过点．将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、的位置，则面积的最大值为____． 二、 解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中满足． 21. 2025年是国务院印发的《全民健身计划》的收官之年．今年的宿迁马拉松比赛于3月30日7：30成功举行，参赛选手最小的5岁，最大的71岁，这与《全民健身计划》的主旨高度契合．赛后，小记者李同学随机采访了若干名参赛选手，绘制了如下图表： 2025年宿迁马拉松参赛人员年龄统计表 组别 年龄/岁 频数 A 31岁以下 25 B C 22 D 50岁以上 根据以上信息回答下列问题： （1）小记者共调查了____位参赛选手，表中____； （2）扇形统计图中“C”部分圆心角度数为____度； （3）请估计30000名参赛选手中年龄在岁年龄段人数有多少人？ 22. 如图，在矩形中，点为对角线的中点，点是上一点，连接并延长交于点，连接、． （1）求证：； （2）当，且平分时，试判断四边形的形状，并说明理由． 23. 2025年宿迁马拉松比赛于3月30日7：30在项王故里鸣枪开跑．张先生和王女士报名参加了此次比赛，在经过的某路口有三个车道（分别记为、、），假设每个人经过此路口时走每个车道是等可能的． （1）王女士经过此路口时走车道的概率为____； （2）请用列表或画树状图方法求张先生和王女士经过此路口时走不同车道的概率． 24. 2025年宿迁市中小学生人工智能与机器人大赛于4月29日成功举办，该赛事全方位展现智能时代我市中小学生的创新思维与实践能力．如图，小明也是个科技爱好者，为了测量自家楼栋的高度，小明操控一架无人机在距离地面15米的空中飞行，在点处测得楼底的俯角为，楼顶的仰角为．求楼的高度．（结果精确到米，参考数据：，， ） 25. 为了更好的服务各云计算中心，某科技公司计划购进两类服务器升级后再销售．高性能服务器每台的进价是普通服务器每台进价的倍．花费480万元购进高性能服务器的台数比花费560万元购进普通服务器的台数少6台． （1）高性能服务器和普通服务器每台的进价各是多少万元？ （2）若该科技公司采购这两种服务器共100台，且购买的总费用不超过5400万元．高性能服务器每台售价80万元，普通服务器按进价的2倍标价后再打7折销售，请你帮该科技公司设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 26. 如图，是的直径，交于点． （1）用无刻度的直尺和圆规作出弧的中点，保留作图痕迹； （2）作，垂足为，证明：是的切线； （3）连接，若，，求半径． 27. 将一个矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连结． （1）如图1，当时，若，则的度数为____； （2）如图2，过点作交于点．判断与的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，射线分别交、于点、（如图3），当线段，时，求的长． 28. 若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且），则把该函数称为“倍函数”，该点称为“倍点”，例如：“2倍函数”，其“2倍点”坐标为． （1）①判断：函数____“2倍函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的“2倍点”的坐标为____． （2）若抛物线上有两个“3倍点”，求的取值范围； （3）若函数的图像上存在唯一的一个“倍点”，且当时，的最小值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$