精品解析：广东深圳市南山外国语学校(集团)华侨城中学等校2025—2026学年第二学期五月质量监测 九年级 数学试卷

2025—2026学年第二学期五月质量监测 九年级数学试卷 （试卷总分：100分 考试时间：90分钟） 请将答案写在答题卷上 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 数学中有许多精美的曲线．下面这四个曲线中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. 星形线 B. 三叶玫瑰线 C. 阿基米德螺线 D. 笛卡笛卡尔叶形线 2. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春节，深圳成为“反向春运”的热门目的地，深圳铁路累计发送旅客万人次．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 某同学参加学校举行的“最强数学大脑”评选活动，位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差 6. 下列命题正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似 C. 方程没有实数根 D. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 7. 由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知的顶点A在函数（x＞0）的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交BC于点E．若，，则k的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 14 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：_________． 10. 中国古代的“五经”是指《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，若从这5部著作中随机抽取一本，则恰好选到《礼记》的概率是______． 11. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为______．（结果保留根号） 12. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点，，，，都在格点（小正方形的顶点）上，和所在圆的圆心均为点，则阴影部分的面积为______． 13. 如图是的中位线，E是的中点，，则的值为______． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 分式化简求值：，其中x为满足的整数 16. 按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，绘制成如下不完整的统计表和统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类别 A B C D 视力 视力 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 人数 160 m n 56 根据以上信息，回答下列问题： （1） ； ； （2）已知该校共有2000名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数；为更好保护好视力，结合上述统计数据分析，给出一条合理化的建议． （3）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是一名男生和1名女生的概率． 17. 如图，在中，，是三角形的角平分线． （1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留尺规作图痕迹）： ①作线段的垂直平分线，且与相交于点； ②以点为圆心，以长为半径作． （2）在（1）的条件下，求证：是的切线． （3）在（1）的条件下，若，，求的半径． 18. 根据以下素材，完成问题一和问题二． 背景 深圳读书月是由深圳市于2000年创办的大型综合性群众读书文化活动，每年11月举办，以“阅读·进步·和谐”为总主题，旨在提升市民文化素质、建设学习型城市． 素材一 某书店同时购进A，B两类图书，已知购进1本A类图书和2本B类图书共需70元；购进2本A类图书和1本B类图书共需65元． 素材二 已知A类图书每本的售价为40元，B类图书每本的售价为60元． （1）问题一：A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）问题二：若该书店购进这两类图书恰好用了4000元，设购进A类图书a本， ①请用含a的式子表示此时购进B类图书 本； ②进货时，A类图书的数量不少于100本．如何进货才能使全部售出后所获利润最大？最大利润为多少元？ 19. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”．如，，等都是“三倍点”． （1）请你判断下列说法是否正确（在相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①函数的图象上存在“三倍点”．_______ ②函数的图象上有且只有一个“三倍点”．_______ （2）一次函数与反比例函数的图象交于、两点，点是线段的中点，求证：点是“三倍点”． （3）在的范围内，若二次函数的图象上有且只有一个“三倍点”，直接写出的取值范围． 20. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． （1）【问题解决】如图①，若点与线段的中点重合，则的度数为 ，线段与线段的位置关系是 ； （2）【问题探究】如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期五月质量监测 九年级数学试卷 （试卷总分：100分 考试时间：90分钟） 请将答案写在答题卷上 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 数学中有许多精美的曲线．下面这四个曲线中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. 星形线 B. 三叶玫瑰线 C. 阿基米德螺线 D. 笛卡笛卡尔叶形线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春节，深圳成为“反向春运”的热门目的地，深圳铁路累计发送旅客万人次．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可. 【详解】解：. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，，A错误； 选项B：由完全平方公式可得，，B错误； 选项C：由积的乘方法则可得，，C错误； 选项D：由同底数幂的除法法则可得，D正确． 4. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据与是邻补角从而求得的度数，然后根据平行线的性质求得的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 5. 某同学参加学校举行的“最强数学大脑”评选活动，位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数和极差，根据平均数、中位数、众数和极差的定义判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设个评分排序后为， ∵中位数为，去掉和后剩余，其中位数为， ∴中位数不变， 平均数因总和改变可能变化，众数因数据减小可能变化，极差因最大值和最小值改变可能变化， 故选：． 6. 下列命题正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似 C. 方程没有实数根 D. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理、相似三角形的判定、一元二次方程的根的判别式、平行线的性质及判定进行判断即可. 【详解】解：对于选项A， ∵当被平分的弦是直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，∴A错误； 对于选项B， ∵必须是两边成比例且夹角对应相等才能判定两个三角形相似，不能判定三角形相似，∴B错误； 对于选项C， 对于一元二次方程，计算得判别式，∴方程没有实数根，C正确； 对于选项D， ∵一个角的两边分别平行于另一个角的两边时，这两个角相等或互补，不是一定相等，∴D错误. 7. 由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据月平均增长率分别表示出2月、3月的用电量，再结合第一季度总电量为三个月用电量之和列方程，进而得到正确选项． 【详解】解：∵设月平均增长率为，已知1月用电量为 亿千瓦时， ∴2月用电量为 亿千瓦时， ∴3月用电量为亿千瓦时， ∵第一季度总用电量为 亿千瓦时，是三个月用电量的和， ∴可得方程． 8. 如图，已知的顶点A在函数（x＞0）的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交BC于点E．若，，则k的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质， 结合三角形及平行四边形面积公式可得， 则设， 得到方程， 解得， 再根据反比例函数的几何意义得到， 即可求解． 【详解】解: ， ，， ， 设， ， ， ， ， ． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： 10. 中国古代的“五经”是指《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，若从这5部著作中随机抽取一本，则恰好选到《礼记》的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：从5部著作中随机抽取一本，共有5种等可能的结果，其中恰好选到《礼记》的结果有1种， 所以恰好选到《礼记》的概率为． 11. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义求出的长，进而可知BC的长． 进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点（），， ∴， ∴． 12. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点，，，，都在格点（小正方形的顶点）上，和所在圆的圆心均为点，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由图形可知，借助网格求出扇形的半径，根据扇形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：由图可知， ，，， 在和中，， ∴， ， ． 13. 如图是的中位线，E是的中点，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先结合中位线的性质得，，，再根据中点的性质以及线段和差关系得，再证明，整理，得出，然后过点E作于点K，运用，证明为等腰直角三角形，再运用勾股定理列式计算得，，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：设， ∵是的中位线， ∴，，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 如图，过点E作于点K， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 15. 分式化简求值：，其中x为满足的整数 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件求出x的值，代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵x为满足的整数， ∴x只能取0， ∴把代入得：原式． 16. 按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，绘制成如下不完整的统计表和统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类别 A B C D 视力 视力 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 人数 160 m n 56 根据以上信息，回答下列问题： （1） ； ； （2）已知该校共有2000名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数；为更好保护好视力，结合上述统计数据分析，给出一条合理化的建议． （3）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是一名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）64，120 （2）“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为880人；建议是大力宣传保护视力的重要性，并增强学生的自我意识，在用眼过度时要注意休息和做做眼保健操 （3） 【解析】 【分析】（1）先由A的人数除以占比求出总人数，再由总人数乘以B的占比即可求解，再由总人数减去组的人数即可求解； （2）用样本估计总体的方法求解即可，建议合理即可； （3）根据画树状图法即可求解． 【小问1详解】 解：． ， ． 【小问2详解】 解：（人）， 建议：大力宣传保护视力的重要性，并增强学生的自我意识，在用眼过度时要注意休息和做眼保健操． 备注：言之有理皆给分 【小问3详解】 解：画树状图 则共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是1名男生和1名女生共有6种情况， ∴P（抽取的2人恰好是1名男生和1名女生）． 17. 如图，在中，，是三角形的角平分线． （1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留尺规作图痕迹）： ①作线段的垂直平分线，且与相交于点； ②以点为圆心，以长为半径作． （2）在（1）的条件下，求证：是的切线． （3）在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】（1） 解：如图所示，，圆为所求． （2） 证明：如图，连接， ， ． 是的平分线， ， ， 又， ， ． 又是圆的半径， 是的切线． （3）的半径为6 【解析】 【分析】（1）分别以、为圆心，大于长为半径画弧交于点、，则即为线段的垂直平分线，则与相交于点，以点为圆心，以长为半径作； （2）连接，由和角平分线得到，进而得到，则，最后根据是圆的半径，得到是的切线． （3）根据，得到，则，据此求出圆的半径为6． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，可知， ∴， ， ． 又， ， 故的半径为6． 18. 根据以下素材，完成问题一和问题二． 背景 深圳读书月是由深圳市于2000年创办的大型综合性群众读书文化活动，每年11月举办，以“阅读·进步·和谐”为总主题，旨在提升市民文化素质、建设学习型城市． 素材一 某书店同时购进A，B两类图书，已知购进1本A类图书和2本B类图书共需70元；购进2本A类图书和1本B类图书共需65元． 素材二 已知A类图书每本的售价为40元，B类图书每本的售价为60元． （1）问题一：A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）问题二：若该书店购进这两类图书恰好用了4000元，设购进A类图书a本， ①请用含a的式子表示此时购进B类图书 本； ②进货时，A类图书的数量不少于100本．如何进货才能使全部售出后所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）A类图书每本的进价是20元，B类图书每本的进价是25元 （2）①或；②购买A类图书100本，B类图书80本，则卖出所有图书的总利润最大为4800元 【解析】 【分析】（1）设A类图书每本的进价是x元，B类图书每本的进价是y元．根据题意，得，求解即可； （2）①设购进B类图书本，根据题意，得求解即可； ②设总利润为W元，根据题意，得，根据一次函数的性质解答即可； 【小问1详解】 解：设A类图书每本的进价是x元，B类图书每本的进价是y元． 根据题意，得，解得， 答：A类图书每本的进价是20元，B类图书每本的进价是25元． 【小问2详解】 解：①设购进B类图书本，根据题意，得， 变形，得本或本． ②解：设总利润为W元，根据题意，得 ， ∵， ∴W随着a的增大而减小，根据题意可得：， ∴当时，总利润最大，最大利润是（元）， 此时（本） 答：购买A类图书100本，B类图书80本，则卖出所有图书的总利润最大为4800元． 19. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”．如，，等都是“三倍点”． （1）请你判断下列说法是否正确（在相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①函数的图象上存在“三倍点”．_______ ②函数的图象上有且只有一个“三倍点”．_______ （2）一次函数与反比例函数的图象交于、两点，点是线段的中点，求证：点是“三倍点”． （3）在的范围内，若二次函数的图象上有且只有一个“三倍点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①√；②√ （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“三倍点”的定义可得“三倍点”所在的直线为， ①联立和，解方程组得出，即可得出函数的图象上存在“三倍点”； ②联立和，得出，根据判别式，得出方程有两个相等的实数根，即可得出函数的图象上有且只有一个“三倍点”； （2）联立和反比例函数解析式得出 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出点的横坐标为，进而求出纵坐标为，即可得出结论； （3）联立和得，根据判别式得出符合题意，当判别式时求出，，根据在的范围内，若二次函数的图象上有且只有一个“三倍点”得出或，解不等式求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”， ∴“三倍点”所在的直线为， ①联立和得，， 解得：， ∵， ∴是“三倍点”， 故函数的图象上存在“三倍点”，√； ②联立和得，， ∴， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴函数的图象上有且只有一个“三倍点”，√． 【小问2详解】 证明：联立和反比例函数解析式得：， ∴ ， 整理得， ， 设方程的两根为，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴点的横坐标为 ， 当时， ， ∴， ∴点是“三倍点”． 【小问3详解】 解：或． 由题意得，“三倍点”所在的直线为， ∵在的范围内，二次函数的图象上有且只有一个“三倍点”， ∴在的范围内，二次函数和直线有且只有一个交点， 联立和得，， ∴， 整理得，， ∴ 解得：， 当时， 解得：，此时，方程有两个相等的实数根，，符合题意； 当时，解方程得，，， ∴或， 由可得，无解，不符合题意， 由可得， ∴， 综上，的取值范围为或． 20. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． （1）【问题解决】如图①，若点与线段的中点重合，则的度数为 ，线段与线段的位置关系是 ； （2）【问题探究】如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，求的长． 【答案】（1），（或垂直） （2）（或），见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）利用菱形性质 + 等边三角形判定，结合等腰三角形三线合一求解角度与位置关系； （2）先将绕顺时针旋转得到，再结合等边三角形性质以及已知角进行判定证明； （3）分在线段上、在线段上时两种情况，利用旋转性质、相似三角形、菱形等边三角形边长求解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，， ，为等边三角形． 是中点， ，平分， ，． 【小问2详解】 解： 如图，把绕顺时针旋转得到， ， 为等边三角形， ， 点在线段 上，且， ， , ， ， ， ． 【小问3详解】 解：①如图，当在线段上，记与交于点， ， ， ，， ， ， 设，则， , , ， , ， ， ， 为等边三角形 ， , ； ②如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ， 设，而，则， ， ， 同理：，，， 综上：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $