精品解析：北京市对外经济贸易大学附属中学2025-2026学年第二学期期中质量监测试高二数学

对外经济贸易大学附属中学2025—2026学年第二学期期中质量监测试卷 高二年级数学 （满分150分，考试时间120分钟） 班级______姓名______ 一、单选题：共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再计算在全集下的补集，最后求该补集与集合的交集即可. 【详解】，所以， 则或， 又因为，所以. 2. 甲、乙等5人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（ ） A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】应用特殊位置优先处理结合排列数计算求解. 【详解】甲、乙等5人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则第一个位置有3种选择， 则不同的排法种数共有. 故选：D. 3. 某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为，知道正确答案时，答对的概率为，而不知道正确答案时猜对的概率为，那么他答对题目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】记事件为：该考生答对题目；事件为：该考生知道正确答案；事件为：该考生不知道正确答案； 则. 故选：A. 4. 已知．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】当时，则，当且仅当时取等，所以充分性成立， 取，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，当时利用判别式可求得结果. 【详解】当，即时，不等式为对一切恒成立． 当时，需满足， 即，解得. 综上可知，实数a的取值范围是． 故选：C 6. 设的展开式的各项系数之和为256，则展开式中的系数为（ ） A. B. 150 C. 300 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过赋值法求出参数再利用二项展开式的通项公式计算项的系数. 【详解】令，得，解得， 的第项为， 令，解得， 则的系数为. 7. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】是R的偶函数，． ， 又在(0，+∞)单调递减， ∴， ，故选C． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 8. 已知函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，由题意可得在上有变号零点，即可分离参数，利用换元法，结合二次方程的判别式以及二次函数的性质，即可求得a的物质范围. 【详解】函数的定义域为，且， 由于函数存在极值点，即在上有变号零点， 由，得， 令，则，则a的取值范围为在上的值域， 且需满足的，即； 对于，当时，， 故，即实数的取值范围是， 故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查了导数的应用，根据函数存在极值点求参数的范围，解答的关键是求导后，将原问题转化为在上有变号零点的问题，继而参变分离，结合二次方程以及二次函数的性质即可求解. 9. 某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（ ）（参考数据：） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求得，结合及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得结果. 【详解】由题设，可得， 所以，则，故， 所以教师用户超过20000名至少经过12天. 故选：D 10. 《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果和被除得的余数相同，那么称和对模同余，记为.若，则的值可以是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理求出被5整除得的余数，再逐项验证即得. 【详解】 则能被整除， 故除以余数为， 所以除以余数为， 由，所以，， ，， 故选：D. 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分． 11. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数定义域及被开方数为非负解不等式即可得结果. 【详解】由的解析式可得， 解得； 所以其定义域为. 故答案为： 12. 某射手射击所得环数的分布列如下： 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知的期望E=8.9，则y的值为 . 【答案】0.4 【解析】 【详解】由已知得 解得 13. 已知，则的最小值为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】 ,当且仅当时，等号成立 故答案为：3 14. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有________.（用数字作答） 【答案】34 【解析】 【分析】先计算出从所有人中选择4人的所有情况.在排除4人全是男生或女生的情况,即为既有男生又有女生的情况. 【详解】①从7人中,任取4人参加某个座谈会,共种情况； ②选出的4人都为男生时,有1种情况,因女生只有3人,故不会都是女生 可得符合题意的选法共种； 故答案为:34 【点睛】本题考查了组合问题的简单应用,属于基础题. 15. 设函数，当时，函数的最小值为______；若无最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作出函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】当时，， 作出函数的图像： 由图可知：， 要使无最小值，只需无最小值， 即的对称轴在直线处或右边，即，且， 解得，所以. 16. 已知函数，给出以下四个结论，其中结论正确的有______： ①有且仅有一个零点；②在区间上单调递减；③既有最小值，又有最大值；④存在实数，使方程有3个实数根. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】将函数分段表示为，利用导数得到函数的单调性，画出函数图像，再依次分析求解即可. 【详解】函数可分段表示为： 对于①，令，即，解得， 所以有且仅有一个零点，故①正确； 对于②，当时，， 求导得（仅时取等号）， 所以在区间上单调递减，故②正确； 对于③，当 时，，求导得， 则在上单调递减，当，，当，； 当 时，，求导得， 当时，，上在单调递增，且； 当时，，在上单调递减，且，当，； 因此的值域为，故有最小值，没有最大值，故③错误； 对于④，画出函数的图象如图所示， 要使方程有3个实数根，即函数与有三个交点，即时，满足条件，故④正确. 三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示． 假设每名队员每次射击相互独立． （1）求图中的值． （2）队员甲进行三次射击，求击中目标靶的环数不低于8环的次数的分布列及数学期望（频率当作概率使用）； （3）由图判断，在甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论不需证明） 【答案】（1） （2）分布列为 （3）甲队员 【解析】 【分析】（1）借助频率和为1求解未知参数. （2）由独立重复试验判定二项分布，计算随机变量的分布列与数学期望. （3）通过频率分布的离散程度判断成绩稳定性. 【小问1详解】 由频率分布性质，甲队员各击中环数对应的频率总和为， 可得 ， 因此， . 【小问2详解】 甲单次射击击中环数不低于环的概率， 结合射击相互独立的条件， 三次射击中击中环数不低于环的次数服从二项分布， 的可取值为. ， ， ， . 则的分布列为： . 【小问3详解】 甲队员的射击成绩更稳定．理由如下：由图可知， 甲队员的射击成绩主要集中在8环和9环，分布比较集中； 而乙队员的射击成绩分布较为分散（从5环到10环均有分布）， 故甲队员的方差较小，成绩更稳定． 18. 已知，函数， （1）当时，求的最小值； （2）若函数在上是单调函数，求的范围. 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）用求导数的方法，利用函数的单调性求函数最值； （2）根据题意，分函数为增函数和减函数两类情况讨论求解. 【详解】解：（1）时，， 时时， ∴在单调递减，在单调递增， 时，有最小值1. （2）， 当在为减函数时，则， 即，当恒成立，∴ 令，则， ∴ 当在为增函数时，则， 即，恒成立，∴， 令，，则， ∴ 所以当函数在上是单调函数，的范围是 19. 为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示． 年份 产量万台 销量万台 记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”． （1）从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率； （2）从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望； （3）从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明 【答案】（1） （2）分布列见解析； （3）2018年和年 【解析】 【分析】（1）按古典概型的概率计算求解. （2）先根据中位数的概念确定，的值，在确定，的所有可能值，进一步得的所有可能的取值，再求的分布列. （3）计算产销率，可直接得到结论. 【小问1详解】 记事件为“工业机器人的产销率大于”． 由表中数据，工业机器人的产销率大于的年份为年，年，年，年，共年． 所以． 【小问2详解】 因为，， 所以的所有可能的取值为；的所有可能的取值为． 所以的所有可能的取值为． ，，． 所以的分布列为： 故的数学期望． 【小问3详解】 2018年和年． 20. 已知椭圆:的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点（点在第一象限）． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于两点．判断直线是否关于直线对称，并说明理由． 【答案】(1)；(2)对称. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）由已知条件推导出c=1，，由此能求出椭圆的方程． （Ⅱ）由已知条件得A(－2,0)，M(1，)，设直线l: ，n≠1．设B（x1，y1），C（x2，y2），由，得x2+nx+n2﹣3=0．再由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出直线MB，MC关于直线m对称． 试题解析： (Ⅰ)由题意得c＝1, 由＝可得a＝2， 所以b2＝a2－c2＝3, 所以椭圆的方程为＋＝1. (Ⅱ)由题意可得点A(－2,0)，M(1，)， 所以由题意可设直线l：y＝x＋n，n≠1. 设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 由得x2＋nx＋n2－3＝0. 由题意可得Δ＝n2－4(n2－3)＝12－3n2>0，即n∈(－2,2)且n≠1. x1＋x2＝－n，x1x2＝n2－3 因为kMB＋kMC＝＋ ＝＋ ＝1＋＋ ＝1＋ ＝1－＝0， 所以直线MB，MC关于直线m对称. 21. 已知关于的函数 （1）当时，求函数的极值； （2）若函数没有零点，求实数取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2） 【解析】 【分析】（1）由，求导可得，再根据导数的应用即可得解； （2）根据零点存在性定理分和两种情况讨论即可得解. 【小问1详解】 ，. 当时，，的情况如下表： 2 0 ↘ 极小值 ↗ 所以，当时，函数的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 . ①当时，的情况如下表： 2 0 ↘ 极小值 ↗ 因为， 若使函数没有零点，需且仅需， 解得，所以此时； ②当时，的情况如下表： 2 0 ↗ 极大值 ↘ 因为，且， 所以此时函数总存在零点. 综上所述，所求实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 对外经济贸易大学附属中学2025—2026学年第二学期期中质量监测试卷 高二年级数学 （满分150分，考试时间120分钟） 班级______姓名______ 一、单选题：共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙等5人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（ ） A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 3. 某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为，知道正确答案时，答对的概率为，而不知道正确答案时猜对的概率为，那么他答对题目的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设的展开式的各项系数之和为256，则展开式中的系数为（ ） A. B. 150 C. 300 D. 7. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A. B. C. D. 8. 已知函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（ ）（参考数据：） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10. 《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果和被除得的余数相同，那么称和对模同余，记为.若，则的值可以是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分． 11. 函数的定义域是__________. 12. 某射手射击所得环数的分布列如下： 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知的期望E=8.9，则y的值为 . 13. 已知，则的最小值为____________． 14. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有________.（用数字作答） 15. 设函数，当时，函数的最小值为______；若无最小值，则实数的取值范围是______． 16. 已知函数，给出以下四个结论，其中结论正确的有______： ①有且仅有一个零点；②在区间上单调递减；③既有最小值，又有最大值；④存在实数，使方程有3个实数根. 三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示． 假设每名队员每次射击相互独立． （1）求图中的值． （2）队员甲进行三次射击，求击中目标靶的环数不低于8环的次数的分布列及数学期望（频率当作概率使用）； （3）由图判断，在甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论不需证明） 18. 已知，函数， （1）当时，求的最小值； （2）若函数在上是单调函数，求的范围. 19. 为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示． 年份 产量万台 销量万台 记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”． （1）从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率； （2）从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望； （3）从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明 20. 已知椭圆:的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点（点在第一象限）． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于两点．判断直线是否关于直线对称，并说明理由． 21. 已知关于的函数 （1）当时，求函数的极值； （2）若函数没有零点，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $