北京市顺义区第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 该试卷覆盖概率统计、函数导数、数列与排列组合等核心模块，通过垃圾分类宣传选法、抽奖券概率、阅读量统计等情境设计，考查数学思维（推理、运算）与数学语言（数据描述、模型构建），适配高二期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|随机变量分布列、数列前n项和、排列组合|第3题以社区宣传为背景，考查组合应用，体现应用意识| |填空题|5/25|数列求和、导数单调性、等比数列|第14题调整等比数列为等差数列，培养创新意识| |解答题|6/85|概率分布列、数列综合、函数最值、创新数列|17题结合抽奖券情境求期望（数据意识），21题探究数列性质（逻辑推理），契合高考命题趋势|

顺义一中2025-2026学年第二学期 高二年级5月期中考试 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 2026年5月 一、单选题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知随机变量的分布列如表：其中为常数 则等于(    ) A. B. C. D. 2.已知数列的前项和，则(    ) A. B. C. D. 3.从名高一学生和名高二学生中，选人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为(    ) A. B. C. D. 4.若曲线在某点处的切线的斜率为，则该曲线不可能是(    ) A. B. C. D. 5.袋中有红黑个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为(    ) A. B. C. D. 6.在“五一”假期，小铭买了本计算机书，本文艺书，本体育书，本不同的数学书，打算把它们放在同一层书架上，两本数学书放在一起，不同的摆放种数为(    ) A. B. C. D. 7.已知二项式的所有二项式系数之和等于，那么其展开式中含项的系数是(    ) A. B. C. D. 8.已知函数的导函数图象如下图所示，则下列说法正确的是(    ) A. B. 是极大值点 C. 的图象在处的切线的斜率等于 D. 在区间内一定有个极值点 9.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用局胜制先胜局者胜，比赛结束已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以比获胜的概率为(    ) A. B. C. D. 10.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，共25分。 11.数列的前项和为，若，则______． 12.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是          ． 13.已知多项式，则                    ． 14.已知，，是公比不为的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为          ． 15.已知函数给出下列四个结论： 存在实数，使得函数的最小值为； 存在实数，使得函数的最小值为； 存在实数，使得函数恰有个零点； 存在实数，使得函数恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是          ． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题3分 已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为． 求的值； 求展开式中含的项及展开式中二项式系数最大的项． 17.本小题分 某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返还顾客现金元．某顾客现购买价格为元的台式电脑一台，得到抽奖券四张．每次抽奖互不影响． 设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为，求随机变量的分布列； 设该顾客购买台式电脑的实际支出为元，用表示，并求随机变量的均值． 18.本小题分 在等差数列中， 求的通项公式； 若是公比为的等比数列，，求数列的通项及前项和． 19.本小题分 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据单位：本： 男生：，，，，，，，，； 女生：，，，，，，，． 假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立． 根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过本的概率； 现从该校的男生和女生中分别随机选出人，记为选出的名学生中阅读量超过本的人数，求的分布列和数学期望； 现增加一名女生得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为若女生的阅读量为本，写出方差与的大小关系．结论不要求证明 20.本小题分 已知函数． 当时，求曲线在处的切线方程； 当时，求函数的单调区间； 若对于任意的，有，求的取值范围． 21.本小题分 已知各项均为正整数的有穷数列满足，有，若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质． 判断下列数列是否具有性质，并说明理由： 已知数列具有性质，求出的所有可能取值； 若一个数列具有性质，则是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：根据题意，由随机变量的分布列，可得， 解可得：， ． 故选：． 根据题意，由分布列概率和为求得，再根据互斥事件的概率和公式计算即可． 本题考查随机变量的分布列，涉及概率的性质，属于基础题． 2.【答案】  【解析】解：因为数列的前项和， 则． 故选：． 由已知结合数列和与项的递推关系即可求解． 本题主要考查了数列的和与项的递推关系的应用，属于基础题． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题． 根据题意，用间接法分析：先计算全部的选法，再排除其中“没有高二的学生”的选法，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，有名高一学生和名高二学生，共人， 从中选人参加社区垃圾分类宣传活动，有种选法， 其中没有高二的学生，即全部为高一学生的选法有种， 则有种选法； 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 对函数求导，然后判断该导数等于是否有根即可． 本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，属于基础题． 【解答】 解：对于，令得，故A不符合题意； 对于，令得，，故B不符合题意； 对于，令，易知，是该方程的一个根，故C不符合题意； 对于，令，显然该方程没有实数根，故D满足题意． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：设“依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球”，“依次摸出两个小球，则在两次都摸得红球”， 由已知得，． 故所求概率为． 故选：． 先算出先后两次摸秋，第一次红球的取法数，然后再算出两次先后都摸出红球的取法数．代入条件概率公式计算即可． 本题考查条件概率的计算公式，要注意将两个事件的个数算对．属于基础题． 6.【答案】  【解析】将本不同的数学书捆绑在一起，与其余本书全排列，故有种不同的摆放方法故选A． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二项式系数和与二项展开式特定项系数，属于基础题． 由二项式系数的性质求出，再利用通项公式求解． 【解答】 解：因为二项式的所有二项式系数之和等于，所以，． 通项公式为，令，得， 所以展开式中含项的系数是， 故选A． 8.【答案】  【解析】对于中，由函数的图象，可得当时，， 所以函数在区间上单调递增，所以，所以A错误 对于中，由知，函数在区间上单调递增， 因为，所以不是函数的极值点，所以B错误 对于中，由函数的图象，可得， 所以函数的图象在处的切线的斜率大于，所以不正确 对于中，由函数的图象，当时，当时，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以D正确． 9.【答案】  【解析】解：根据题意，甲运动员前场内需要赢场，第场甲胜， 则甲以比获胜的概率为． 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】可导函数在开区间内存在最小值，则其必在区间内存在极小值点，即导数存在从负到正的变号零点，对于本题，导函数的分子为二次函数，其对应的函数至多只有一个极小值点，故若在内存在最小值，则导数在区间内存在唯一的从负到正的变号零点． 【详解】已知函数的定义域为，对其求导得： ，令， 若在上存在最小值，根据本题的函数结构可知，函数在区间内先递减后递增， 即在内由负变正，等价于． ． 解得，即实数的取值范围是． 11.【答案】  【解析】解： ． 故答案为． ，然后利用裂项求和法进行运算． 本题考查数列的求和，解题时要注意裂项求和法的合理应用． 12.【答案】  【解析】【分析】 求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，从而求出的取值范围． 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是基础题． 【解答】 解：若函数在区间上单调递增， 则在上恒成立， 则在上恒成立， 而在上的最大值是， 故的取值范围是， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查利用二项式定理求特定项的系数，赋值法解决系数问题，属于中档题． 利用二项式定理分别求得，的通项，即可求得的系数利用赋值法，令，即可求得的值． 【解答】 解：展开式的通项为， 展开式的通项为， 又， 故的系数， 令，得 ， 所以． 故答案为：；． 14.【答案】答案不唯一,只需) 【解析】【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式表示各项，调整顺序后借助等差中项的概念建立等量关系求得的值，令可得结果． 【详解】设等比数列，，的公比为，则等比数列为， 不妨设调整顺序后的等差数列为，则， ，，解得或舍， 令，则，， 满足条件的一组，，的值依次为． 故答案为：答案不唯一． 15.【答案】  【解析】【分析】取特殊值判断，当时，分别分析分段函数两部分的最值判断，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断． 【详解】当时，，显然函数的最小值为，故正确； 当时，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有最小值，由可得， 此时，时，，在上单调递减，所以， 与最小值为矛盾， 若时，的对称轴方程为，当时， 即时，，若，则与矛盾， 当时，在上单调递减，无最小值， 综上，当时，函数的最小值不为，故错误； 由知，时，时，单调递减且，当时，且，所以函数恰有个零点，故正确； 当时，且仅有，即有且只有个零点， 当时，且仅有，即有且只有个零点， 综上时，有且只有个零点，而在上至多有个零点， 所以时，函数没有个零点，当时，函数有无数个零点，故错误． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对分类讨论，利用导数研究上的函数性质，结合二次函数性质研究另一段函数. 16.【答案】解：由题意知，第二项的二项式系数为，第三项的二项式系数为， ， ，或舍去． 的通项公式为： ， 令，求得， 故展开式中含的项为． 又由可知，第项的二项式系数最大，此时．  【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题． 根据题意利用二项式系数的性质求得的值． 在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求得的值，可得展开式中含的项；再根据二项式系数的性质求得二项式系数最大的项． 17.【答案】解：每张奖券是否中奖是相互独立的，因此    ，，，，        离散型随机变量的分布列为 ，    又由题意可知，     即所求随机变量的均值为元．  【解析】本题考查离散型随机变量的分布列即期望，以及独立重复试验的概率，属于中档题． 根据条件可知，求概率可得分布列； 根据可得到的期望，再根据与的关系计算出的期望． 18.【答案】解： 设等差数列的公差为， 由题设，得 解得，， 所以． 因为是公比为的等比数列，且，， 所以， 所以， 所以 ．  【解析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比数列的求和公式，考查数列的求和方法，属于中档题． 设公差为，运用等差数列的通项公式，解方程可得，进而得到所求通项公式； 求得，利用分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和． 19.【答案】解：共选出了名学生，其中有人的阅读量超过本，           所以此次活动中学生阅读量超过本的概率为  ． 由题意，从男生中随机选出人其阅读量超过本的概率为  ；           从女生中随机选出人，其阅读量超过本的概率为             由题设，  的可能取值为，，           且  ；  ；             所以  的分布列为：  的数学期望  ．   ． 理由：设原女生的个阅读量分别为  ， 原女生阅读量的平均数为  ，新增一名女生后，平均数依然为， 则  所以   【解析】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，相互独立的概率乘法公式，方差等，属于中档题． 根据样本数据统计超过本的个数即可求解， 根据乘法公式求解概率，进而得分布列，由期望公式即可求解， 根据方差的计算公式即可求解． 20.【答案】解：由，知． 所以当时，有，． 故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即． 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减； 当时，对有，故在上递增； 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减． 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减． 我们有． 当时，由于，，故根据的结果知在上递增． 故对任意的，都有，满足条件； 当时，由于，故． 所以原结论对不成立，不满足条件． 综上，的取值范围是．   【解析】直接计算导数，并利用导数的定义即可； 对分情况判断的正负，即可得到的单调区间； 对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围． 关键点点睛：本题的关键在于对进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果． 21.【答案】解：任意两项和的结果有，，，，共个， 而，所以具有性质； ，任意两项和的结果有共个， 而，所以不具有性质． 因为数列中任意两项和的结果有共个，且全部为偶数， 所以数列，任意两项和不同的取值最多有个， 所以， 若为奇数，都是奇数，与前项中任意两项和的值均不相同， 则中所有的不同值共有个，所以． 若为偶数，都是偶数，所以，所以， 因为，有，所以，则， 则任意两项和比任意两项和多了，共个，不符合题意； 综上，． 存在最小值，且最小值为． 将的项从小到大排列构成新数列：， 所以 所以的值至少有个． 即的值至少有个，即． 数列符合条件，即． 此时为等差数列，由等差数列性质， 当时，；当时，， 因此每个等于中的一个，或者等于中的一个． 即所有和的不同值为个不同值，且． 综上，的最小值为   【解析】根据新定义判断即可； 根据新定义，确定数列，任意两项和不同的取值最多有个，中任意两项和的结果有个，分为奇数、偶数讨论求解； 将的项从小到大排列构成新数列：，可得，据此取数列，结合等差数列性质证明满足条件即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $