第八章立体几何初步章末综合检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 《立体几何初步》章末综合检测，120分钟150分，覆盖选择、填空、解答题，知识全面且梯度合理，适配单元复习，强化空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|棱柱棱台概念（1）、空间直线位置关系（2）、斜二测画法（3）|基础巩固，聚焦概念辨析与空间想象| |多项选择|3/18|线面垂直平行（9）、正三棱柱动态问题（10）|能力提升，考查多维度空间关系推理| |填空|3/15|三棱锥体积比（13）、圆锥体积最值（14）|创新应用，结合翻折与动态几何| |解答题|5/77|圆锥体积与面面垂直（16）、四棱柱线面角（17）、二面角最值（19）、外接球半径（20）|综合探究，融合体积计算、空间角证明，对接高考命题趋势，发展数学思维与模型观念|

第八章《立体几何初步》章末综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A D A C D C A BCD ABC ACD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧面可以是三角形 B．棱台的所有侧棱延长后交于一点 C．正棱锥的各条棱长都相等 D．直四棱柱是长方体 【解析】B 对A：棱柱的侧面是平行四边形，故A错误； 对B：由棱台定义可知，棱台的所有侧棱延长后交于一点，故B正确； 对C：正棱锥的各条侧棱长都相等，但不一定与底面边长相等，故C错误； 对D：直四棱柱侧棱垂直底面，但底面不一定是矩形，故D错误. 2. 已知是空间中两条直线，则“”是“无公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】A 则无公共点，故充分性成立， 无公共点可推得或是异面直线，故必要性不成立； 所以“”是“无公共点”的充分不必要条件. 3. 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形的面积为，则BC的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【解析】D 画出原平面图形，如下： 其中，故，， 设，则，， 平面图形的面积为， 故，解得， 故. 4. 已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【解析】A如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 5. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（   ）    A． B． C． D． 【解析】C 取为弧的中点，连接，如下图所示：    由圆柱性质可得平面， 又平面，所以， 又因为，且，且平面， 可得平面，又平面， 所以，即， 易知，所以； 显然，所以与所成的角的即为与所成的角； 易知，所以. 6. 已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的体积为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 设在底面的射影为，则为该正棱锥的高， 因为正四棱锥的体积为，底面边长为， 所以有， 因为在该正四棱锥中，底面是正方形， 所以， 因此由勾股定理可得， 所以为半径的球的体积为， 7. 在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（ ） A. B. C. D. 【解析】C 设平面DAM与交于点P，连接DP交于点Q，连接QN，如图： 因为平面DAM，平面DAM， 所以平面DAM，又平面，平面平面，所以， 因为M是三等分点，所以，因为平面平面，所以平面， 又平面PDM，平面平面，所以， 所以，因此． 8. 如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【解析】A 如图所示，在正四面体中，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形 的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体的体积为，得 ，解得 ， 正四面体的高，内切球半径满足，代入： ，则. 正四面体顶点到大球球心的距离为， 顶点到小球球心（小球和三个面切，满足顶点到小球球心距离为），两球外切，球心距为， 因此：，整理得，得. 由总表面积为大球表面积加4个小球表面积可得： . 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解析】BCD 对于A，线与平面平行，直线并不与平面内的每一条直线平行，A错误： 对于B，若直线与平面垂直，则直线与平面内的每一条直线都垂直，B正确； 对于C，由线面平行性质定理可知，C选项正确； 对于D，结合正方形模型及线面垂直定义可知D选项正确. 10. 如图，正三棱柱 的各棱长均为1，的中点为D，上有两个动点，且 则下列结论中正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 的面积与的面积相等 【解析】ABC对于A：，点为的中点，所以，由正三棱柱 有：平面平面， 又平面平面，平面，又平面，所以，故A正确； 对于B：由平面，所以为点到平面的距离，又， 所以，，所以，故B正确； 对于C：由正三棱柱 ，平面平面，又平面， 所以平面，故C正确； 对于D：取的中点为，连接，由，，所以， ，，所以，故D错误. 11. 在正三棱柱中，，E，F，G，H分别为的中点，动点N在四边形内及其边界上运动，则下列说法正确的是（ ） A. E，F，G，H四点共面 B. FH与BC所成角的余弦值为 C. 正三棱柱的外接球表面积为 D. 若平面，则动点N的轨迹长度为 【解析】ACD 连接，因为分别为的中点， 所以，从而，故四点共面，A正确； 连接，因为，则为与所成角， 在中， 由余弦定理可得，B错误； 在等边中，由正弦定理可得，的外接圆半径， 设正三棱柱的外接球半径为，且球心到平面的距离为1， 由勾股定理可知， 所以球的表面积为，C正确； 在正三棱柱中，取的中点，连接， 可知， 又平面平面平面平面， 所以平面平面， 又因为是平面内两条相交直线，因此平面平面， 当点N在四边形内及其边界上运动时，若平面， 则在平面内，从而动点N的轨迹为， 又因为，所以动点N的轨迹长度为，D正确． 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______． 【解析】因为分别为的中点，则,所以，则. 13. 已知一个圆锥的表面积为，则它的体积最大值为_______. 【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则， 因为圆锥的表面积为，所以 从而，且， 所以圆锥的体积为， 因此当时，体积取到最大值． 14. 如图，在四边形中，，现沿进行翻折，使得点到达的位置，连接，得到三棱锥，记平面与平面所成的角为，平面与平面所成的角为，则的最大值为___________． 【解析】如图，过点作，垂足为，连接，易知平面， 所以平面平面，则点在平面内的射影在直线上． 过点分别向引垂线，垂足分别为，连接，则四边形是矩形． 由于，且两直线在平面内， 所以平面，从而，因此，同理． 因此，从而， 则，由题易知， 故，当且仅当时等号成立，故的最大值为． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 【解析】(1)连接，由题可得， 又，所以是等边三角形，因为，所以， 在中，， 所以圆锥的体积为    （2）因为Q，O分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为， 所以由得：， 又，所以为等边三角形， 又所以， 所以,，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，，平面， 所以平面平面,即平面平面. 16. 如图，在四棱柱中，平面平面，，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【解析】(1)平面平面，平面平面，， 平面， 平面， . （2）连接，如下图所示， ，， ， ， 是等边三角形，可得，， ， ， 根据余弦定理可得，解得， ， ，即， ， 平面， 就是直线与平面所成角， ,， ， . 17. 已知三棱柱棱长均为1. (1)若平面，求三棱柱的表面积； (2)若，求证：平面平面 【解析】(1)平面，三棱柱为正三棱柱，且侧面均为正方形， 则 （2）如图所示，取中点，连接， 因为 所以， 因为 所以，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. 18. 在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点. （1）若，求证： （2）若，求直线与平面 所成角的正弦值 （3）若，求二面角的正弦值的最大值. 【解析】(1)在三棱柱中，连接，由分别为中点， 得，则四边形为平行四边形，， 由，得，由，得， 则，于是，由， 得，而，平面，则平面， 所以平面. （2）由（1）知，平面,所以平面， 而平面，则平面平面， 在平面内过作于点，平面平面， 因此平面，连接，是直线与平面 所成角， 由，得， 在中，，在中，， 所以直线与平面 所成角的正弦值为. （3）由（1）得，又， 则，由（2）得， 过作平面于，连接，由平面，得， 而平面，则平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 显然，当且仅当重合时取等号，， 所以二面角的正弦值的最大值为. 19. 如图，为边长为2的正三角形，，和都垂直于平面，且，，.是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）若动点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置. 【解析】(1) 延长，交于点，延长，交于点，连接， 平面，平面，，， ，即是线段上靠近的三等分点， 平面，平面，，， ，即是线段上靠近的三等分点， 为中点，是线段上靠近的三等分点， ，，， 平面，平面，平面； （2） 直角梯形中，，，，， ，同理可得，即为等腰三角形， 为中点，，即， 在平面中，，，， ，，， 是平面与平面的交线， 是平面与平面的夹角的平面角， ，，， 即平面与平面的夹角为； （3） ，，，平面， 平面， ，平面， 平面，平面平面， 在三棱锥中，设的外心为，的外心为， 过点作直线平面，过点作直线平面，交于点， 此时，，即三棱锥的外接球球心为， 在中，，，， 设外接圆半径为，则，解得，， 在平面中，四边形为矩形，即， 在中，，设外接圆半径为， 由正弦定理得，，即， 又， 要让三棱锥的外接球半径最小，即只要让最小， 在上动，， ，即三棱锥的外接球半径的最小值为， ，，四边形是平行四边形， ，此时为线段上靠近的三等分点. ( 第 1 页 共 18 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章《立体几何初步》章末综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧面可以是三角形 B．棱台的所有侧棱延长后交于一点 C．正棱锥的各条棱长都相等 D．直四棱柱是长方体 2. 已知是空间中两条直线，则“”是“无公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形的面积为，则BC的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 5. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（   ）    A． B． C． D． 6. 已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10. 如图，正三棱柱 的各棱长均为1，的中点为D，上有两个动点，且 则下列结论中正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 的面积与的面积相等 11. 在正三棱柱中，，E，F，G，H分别为的中点，动点N在四边形内及其边界上运动，则下列说法正确的是（ ） A. E，F，G，H四点共面 B. FH与BC所成角的余弦值为 C. 正三棱柱的外接球表面积为 D. 若平面，则动点N的轨迹长度为 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______． 13. 已知一个圆锥的表面积为，则它的体积最大值为_______. 14. 如图，在四边形中，，现沿进行翻折，使得点到达的位置，连接，得到三棱锥，记平面与平面所成的角为，平面与平面所成的角为，则的最大值为___________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 16. 如图，在四棱柱中，平面平面，，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知三棱柱棱长均为1. (1)若平面，求三棱柱的表面积； (2)若，求证：平面平面 18. 在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点. （1）若，求证： （2）若，求直线与平面 所成角的正弦值 （3）若，求二面角的正弦值的最大值. 19. 如图，为边长为2的正三角形，，和都垂直于平面，且，，.是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）若动点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置. ( 第 1 页 共 18 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $