第六章 导数及其应用单元复习（高效培优讲义）数学人教B版选择性必修第三册

该高中数学单元复习讲义以表格梳理和分层讲解构建导数及其应用的知识体系，将平均变化率、导数几何意义、求导法则、单调性及极值最值等核心内容系统整合，通过对比表格呈现基本初等函数导数公式与运算法则，清晰标注重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型分类+变式训练”的设计，如“导数的几何意义与应用”题型通过切线方程求解、切线倾斜角最值等例题，培养数学思维中的推理能力与运算能力。每个知识点配备即学即练，基础题巩固概念，综合题提升应用，助力不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准复习指导。

第六章 导数及其应用单元复习 教学目标 1．理解平均变化率、瞬时速度与导数的概念，掌握导数的几何意义，能求曲线在某点处的切线斜率与切线方程。 2．熟记基本初等函数的导数公式与四则运算法则，熟练进行函数求导，正确处理复合函数的导数运算。 3．掌握用导数判断函数单调性的方法，能准确求出函数的单调区间，依据导数符号分析函数变化趋势。 4．理解函数极值与最值的概念，会用导数求极值与最值，分清极值与最值的区别，解决简单综合问题。 教学重难点 重点：导数的概念与几何意义；基本初等函数求导公式及运算法则；用导数研究函数单调性、极值与最值。 难点：复合函数求导的运算；导数与函数单调性的严谨判定；极值与最值的区分及综合求解。 知识点01 函数的平均变化率及导数的几何意义 一、平均速度与瞬时速度 （1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度________ （2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的________,即________ 二、割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限________于点时,割线无限趋n近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的________. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即________. 三、导数 （1）平均变化率：把比值,即________叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作________或,即________. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的________,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在________上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在________处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个________,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 【即学即练】 1．定义在上的函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 2．物体位移（单位：米）和时间（单位：秒）满足函数关系，则当（秒）时，物体的瞬时速度为__________米/秒. 知识点02 基本初等函数的导数及求导法则 一、基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 （为常数） ________ ________ ________ ________ 二、导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 ________ 乘法运算 除法运算 ，则________ 三、复合函数的导数 一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数和函数，的导数间关系为________，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 【即学即练】 3．下列导数式子正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则 （    ） A．1 B． C．2 D． 知识点03 导数与函数的单调性 一、函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 二、求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 三、函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 【即学即练】 5．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 知识点04 导数与函数的极值、最值 一、极值点与极值 1.极值点与极值 （1）极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点________其他点的函数值都小，且________,而且在点附近的左侧________,右侧________,就把叫做函数的________,叫做函数的________. （2）极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点________其他点的函数值都大，且________,而且在点附近的左侧________,右侧________，就把叫做函数的________,叫做函数的________. （3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值. 注意：函数可以有多个极大值和极小值，例如：函数在上有无数多个极大值和极小值. 2.函数极值的求法 解方程,当时: （1）如果在附近的左侧;右侧,那么是________; （2）如果在附近的左侧,右侧,那么是________ 极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的________,而不是点:极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的________. ②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点. 3.导数与极值的关系 一般来说,""是“函数在点处取得极值”的________条件.若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,那么;后之若,则不一定是函数的极值点.函数在点处取得极值的充要条件是.且在左、右两侧的符号________. 二、函数的最大(小)值 1.最值的存在性：一般地,如果在区间上函数的图象是一条________的曲线,那么它必有最大值与最小值. 最值与极值的区别：①函数的极值是函数在________区间上函数值的比较；函数的最值是函数在________区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者. ②函数的极值可以有________个，但最大(小)值只能有________个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得. 最值与极值的联系：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是________,这里区间可以是无穷区间 2.求函数在区间上的最值的步骤： ①在区间上的极值;②将函数的各极值与________处的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 【即学即练】 7．函数的极小值为（   ） A． B． C．1 D．2 8．已知函数，且在处的瞬时变化率为0． (1)求的值； (2)求在上的值域． 题型01 导数定义的理解与应用 例1．已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C．1 D． 变式1-1．函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B．b C． D．a 变式1-2．一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为（   ） A．1m/s B．3m/s C．5m/s D．7m/s 变式1-3．已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 题型02 导数的基本运算 例2．设函数，则______． 变式2-1．（多选）以下求导运算正确的是（） A． B． C． D． 变式2-2．已知函数，则（   ） A．0 B． C．1 D． 变式2-3．是定义在上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 导数的几何意义与应用 例3．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知曲线． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程． 变式3-3．已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 题型04 用导数求函数的单调性 例4．函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C．和 D．和 变式4-1．已知是定义在R上可导的增函数，且，则函数的单调情况一定是（    ） A．在上递增 B．在上递减 C．在R上递增 D．在R上递减 变式4-2．函数的单调递减区间是___________． 变式4-3．函数的单调递减区间是（   ） A． B．， C． D． 题型05 由函数的单调性求参数 例5．已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．若函数的单调递减区间为，则________． 变式5-2．（多选）若函数在上存在单调递减区间，则的取值可以是（    ） A．1 B．0 C． D．－1 变式5-3．若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06 用导数求函数的极值 例6．函数，曲线过，且在点处的切线斜率为2. (1)求，的值； (2)求的单调区间和极值. 变式6-1．（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．是的极值点 B．是 的极大值点 C． 的单调递减区间是 D． 变式6-2．函数的极小值是____． 变式6-3．已知函数. (1)求值； (2)求在上的极值. 题型07 由函数的极值求参数 例7．已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 变式7-1．已知函数的定义域为，的极小值大于，则的取值范围为________． 变式7-2．已知函数在处取得极大值0，则________. 变式7-3．已知函数 ． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求实数a的取值范围． 题型08 用导数求函数的最值 例8．已知曲线，，，，当轴时，________． 变式8-1．已知点是曲线上的动点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 变式8-2．函数，的最小值是______． 变式8-3．已知函数 (1)求的单调区间和极值； (2)求在上的最大值和最小值. 题型09 由函数的最值求参数 例9．已知函数． (1)当时，判断经过点的曲线的切线有多少条； (2)若在区间上的最小值为，求实数a的值． 变式9-1．若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 变式9-2．已知函数的最小值为0，则___________． 变式9-3．已知函数 (1)求函数的导函数； (2)若，求函数单调区间； (3)若函数在上的最小值是，求的值． 题型10 构造法解函数不等式 例10．已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式10-1．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为___________． 变式10-2．已知函数定义域为，为其导函数，且满足对，都有．若，则当时，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式10-3．已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是___________. 题型11 导数与函数零点的综合 例11．已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数. 变式11-1．设函数 ①若，则的零点个数为__________； ②若有且仅有两个零点，则实数的范围是__________. 变式11-2．若函数有且仅有2个零点，则______. 变式11-3．已知曲线. (1)求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 题型12 导数与不等式的综合 例12．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)证明：无零点. (3)若函数，证明：. 变式12-1．已知函数在处有极大值． (1)求实数的值； (2)证明：． 变式12-2．已知函数. (1)求在上的最大值； (2)证明：. 变式12-3．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最小值； (3)求证：. 一、单选题 1．函数的导函数（   ） A． B． C． D． 2．函数在上的单调情况是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 3．已知函数，其导函数的图像如图所示，则对于的描述正确的是（   ）    A．在区间上单调递减 B．当时取得最大值 C．在区间上单调递增 D．当时取得极小值 4．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 6．设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（    ） A．[0,1] B．[－1,1] C． D． 7．现需建造一个容积为的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍.要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径与高的比值为（    ） A． B． C．2 D．4 8．不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，是其导函数，则（    ） A． B．的单调递减区间为 C．是的极小值点 D．的图象的对称中心为 10．若函数有两个极值点，设这两个极值点为，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．已知，则______． 12．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______. 13．已知函数若，则不等式的解集为_______ 若恰有两个零点，则的取值范围为_______ 四、解答题 14．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 15．已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 16．已知：函数在处取得极值， 其中为常数. (1)试确定a、b的值； (2)讨论函数的单调区间； (3)若对任意， 不等式 恒成立，求c取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 导数及其应用单元复习 教学目标 1．理解平均变化率、瞬时速度与导数的概念，掌握导数的几何意义，能求曲线在某点处的切线斜率与切线方程。 2．熟记基本初等函数的导数公式与四则运算法则，熟练进行函数求导，正确处理复合函数的导数运算。 3．掌握用导数判断函数单调性的方法，能准确求出函数的单调区间，依据导数符号分析函数变化趋势。 4．理解函数极值与最值的概念，会用导数求极值与最值，分清极值与最值的区别，解决简单综合问题。 教学重难点 重点：导数的概念与几何意义；基本初等函数求导公式及运算法则；用导数研究函数单调性、极值与最值。 难点：复合函数求导的运算；导数与函数单调性的严谨判定；极值与最值的区分及综合求解。 知识点01 函数的平均变化率及导数的几何意义 一、平均速度与瞬时速度 （1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度 （2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的极限,即 二、割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋n近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即. 三、导数 （1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 【即学即练】 1．定义在上的函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】 2．物体位移（单位：米）和时间（单位：秒）满足函数关系，则当（秒）时，物体的瞬时速度为__________米/秒. 【答案】80 【详解】由导数的物理意义可知，位移函数对时间的导函数即为瞬时速度函数， 所以，故， 即物体的瞬时速度为80米/秒. 知识点02 基本初等函数的导数及求导法则 一、基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 二、导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则 三、复合函数的导数 一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数和函数，的导数间关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 【即学即练】 3．下列导数式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，． 4．已知函数，则 （    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】函数，则，再令，得，化简得， 知识点03 导数与函数的单调性 一、函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 二、求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 三、函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 【即学即练】 5．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，， 由得，故函数的增区间为. 6．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】结合图象可知，在从最大值逐渐减小到最小值，所以切线斜率从趋近于0逐渐到最小，斜率绝对值逐渐增大，因此下降越来越快， 在从最小值逐渐增加到0，所以切线斜率从最小值（负值）逐渐趋近于0，斜率绝对值逐渐减小，因此下降越来越平缓，D符合这个性质. 知识点04 导数与函数的极值、最值 一、极值点与极值 1.极值点与极值 （1）极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，且,而且在点附近的左侧,右侧,就把叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值. （2）极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，且,而且在点附近的左侧,右侧，就把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值. （3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值. 注意：函数可以有多个极大值和极小值，例如：函数在上有无数多个极大值和极小值. 2.函数极值的求法 解方程,当时: （1）如果在附近的左侧;右侧,那么是极大值; （2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值 极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标,而不是点:极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的纵坐标. ②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点. 3.导数与极值的关系 一般来说,""是“函数在点处取得极值”的必要不充分条件.若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,那么;后之若,则不一定是函数的极值点.函数在点处取得极值的充要条件是.且在左、右两侧的符号不同. 二、函数的最大(小)值 1.最值的存在性：一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值. 最值与极值的区别：①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者. ②函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得. 最值与极值的联系：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是最值点,这里区间可以是无穷区间 2.求函数在区间上的最值的步骤： ①在区间上的极值;②将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 【即学即练】 7．函数的极小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】，当或时，，当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为． 8．已知函数，且在处的瞬时变化率为0． (1)求的值； (2)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，得． 因为在处的瞬时变化率为0，所以， 解得． （2）由（1）得． 当时，，则在上单调递增， 所以当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， 所以在上的值域为． 题型01 导数定义的理解与应用 例1．已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】函数在处可导，且，则 变式1-1．函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B．b C． D．a 【答案】C 【详解】根据平均变化率公式可得：． 变式1-2．一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为（   ） A．1m/s B．3m/s C．5m/s D．7m/s 【答案】D 【详解】因为，所以， 则在时的瞬时速度为. 变式1-3．已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 【答案】3 【详解】由导数的定义，可得函数在处的导数满足： ， 则 解得. 题型02 导数的基本运算 例2．设函数，则______． 【答案】 【详解】先对函数求导可得  ， 令，则 ， 所以，， 故. 变式2-1．（多选）以下求导运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A：是常数，可知，故A错误. 选项B：根据幂函数求导公式，可得，故B正确. 选项C：根据指数函数求导公式，可得，故C正确. 选项D：根据对数函数求导公式，可得，故D正确. 变式2-2．已知函数，则（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 变式2-3．是定义在上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，所以，即， 又当时，，所以， 所以， 题型03 导数的几何意义与应用 例3．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 对求导： ， 将切点横坐标代入，得切线斜率. 直线整理为，斜率为， 由于两直线平行，则斜率相等，因此. 变式3-1．若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知曲线，求导得， 设曲线在点处的切线倾斜角为，其中， 根据直线斜率与倾斜角的关系，有斜率， 因此，由于，得，解得， 因此的最小值为，故B正确. 变式3-2．已知曲线． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程． 【答案】(1) (2)和． 【分析】 【详解】（1）已知曲线，先求导：, 验证点在曲线上：，点在曲线上． 求该点的切线斜率：, 由点斜式得：, 整理得切线方程：. （2）设切点为，即， 切点处的斜率：, 所以切线方程为， 切线过原点，即， 整理得，解得或． 当时，切点为，斜率，切线方程为： 当时，切点为，斜率， 切线方程为： 因此，过原点的切线方程为和． 变式3-3．已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 【答案】D 【详解】设两函数，的图象公共点的坐标为，则有①. 分别对两函数求导可得及， 由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在处的斜率相等， 即，即，解得或. 将代入①可得；将代入①可得，解得， 所以的值为0或1. 题型04 用导数求函数的单调性 例4．函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】 ，求导得： ， 由 ，解不等式 ， 因式分解得： ， 解得 或 ， 因此函数的单调增区间为 和 变式4-1．已知是定义在R上可导的增函数，且，则函数的单调情况一定是（    ） A．在上递增 B．在上递减 C．在R上递增 D．在R上递减 【答案】A 【详解】对求导得： 根据题意：是R上的增函数，故恒成立，且对所有成立， 当时，，，因此； ，，因此； 综上得，故在上单调递增，因此A正确，B错误， 当时，， ，的符号无法确定， 因此在整个上单调性不确定，排除C、D. 变式4-2．函数的单调递减区间是___________． 【答案】、 【详解】函数的定义域为，， 由可得或，故函数的单调递减区间为、. 变式4-3．函数的单调递减区间是（   ） A． B．， C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得且， 故该函数定义域为， ， 令，又，解得或， 故函数的单调递减区间是、. 题型05 由函数的单调性求参数 例5．已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 由题意可得在上恒成立， 即，在上恒成立， 令， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 变式5-1．若函数的单调递减区间为，则________． 【答案】 【详解】由，得， 因为函数的单调递减区间为， 所以不等式的解集为， 因此一元二次方程的两个实数根为， 根据韦达定理，可得方程组：，解得， 则. 变式5-2．（多选）若函数在上存在单调递减区间，则的取值可以是（    ） A．1 B．0 C． D．－1 【答案】AC 【详解】函数在上存在单调递减区间. 等价于在上有解.求导得. 由在上有解，得在上有解. 令，则. 该函数在上单调递减，最大值为，最小值为. 要使在上有解，只需，即且. 选项中和均满足且，故A、C正确. 变式5-3．若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 而时，函数单调递减，所以在恒成立， 即恒成立，因为，所以， 即在恒成立， 因为在上单调递增， 则，所以. 故选：A． 题型06 用导数求函数的极值 例6．函数，曲线过，且在点处的切线斜率为2. (1)求，的值； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1)， (2)的单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，无极小值. 【分析】 【详解】（1），， 由条件可知，且， 解得：，， （2） ，， 由，得（舍）或， ，得，，得， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是， 所以函数的极大值为，无极小值. 变式6-1．（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．是的极值点 B．是 的极大值点 C． 的单调递减区间是 D． 【答案】BC 【详解】观察导函数的图象，当或时，，当且仅当时取等号， 当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点， 但在两侧符号不变，所以不是的极值点，所以A错误，B正确； 的单调减区间是，所以 C正确； 函数在上单调递增，所以，所以D错误. 变式6-2．函数的极小值是____． 【答案】 【详解】的定义域为. ，令，解得或. 极大值 极小值 的极小值为 变式6-3．已知函数. (1)求值； (2)求在上的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【详解】（1）， 则. （2）当时，令，得， 令，得，则在上单调递减， 令，得，则在上单调递增， 所以在上的极小值为，在上无极大值. 题型07 由函数的极值求参数 例7．已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 令，得临界点，. ①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去. ②当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，即，符合. ③当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去. 变式7-1．已知函数的定义域为，的极小值大于，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】，. 因为的极小值大于0， 所以存在两个不同的根，，设， 当或时，，则在，上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 则为极大值，为极小值， 又极小值大于0，所以极大值，所以只有一个零点， 又， 显然是的零点，所以方程无实数根， 即，即， 因为，若，因为在上单调递增， 结合，可得，与条件矛盾， 所以，又，，所以， 即的极大值点与极小值点均大于0， 且方程的2个实数根均大于0， 所以，解得， 综上可得：，故b的取值范围为. 变式7-2．已知函数在处取得极大值0，则________. 【答案】/ 【详解】，由题意得，即，故， 且，解得或， 当时，，则， 令得，令得，故为极大值点，满足要求， 所以， 当时，，则， 令得，令得，故为极小值点，不满足要求， 综上，. 变式7-3．已知函数 ． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时， ，求导可得 ， 当时， ， ， 所以在点处的切线方程为. （2）由（1）可知，， 设函数，要有两个极值点，即方程要有两个不相等的正实数根， 设为的两个极值点，即方程的两个正实数根， 所以，解得，即实数的取值范围为. 题型08 用导数求函数的最值 例8．已知曲线，，，，当轴时，________． 【答案】 【详解】当轴时，设，则，则 记，则， 故当时，，则在区间上单调递减； 当时，，则在区间上单调递增； 故有，故 变式8-1．已知点是曲线上的动点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】点在曲线上，且点到直线，即的距离， 因此可先求点到距离的最小值. 当函数在处的切线与平行，即斜率为1时，点到的距离最小． 由，得， 令，解得，. 点到直线的距离，所以点到距离的最小值为. 所以的最小值为． 方法二：点是曲线上的动点，得，所以. 设，则， 设，则恒成立， 故在区间单调递增. 又，所以当时，，所以； 当时，，所以. 在区间单调递减，在区间单调递增． 又，所以，即，则的最小值为1． 变式8-2．函数，的最小值是______． 【答案】 【详解】因为，，则， 令，则，解得；令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且，，即， 所以函数在上的最小值为. 变式8-3．已知函数 (1)求的单调区间和极值； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1) 单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为2，极小值为； (2) 最大值为2，最小值为. 【分析】 【详解】（1）函数定义域为，对求导：，令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在处取极大值；在处取极小值. 因此的单调递增区间为和；单调递减区间为；极大值为，极小值为. （2）闭区间连续函数的最值只需要比较极值点和端点的函数值. 由于，，， ， 因此在上的最大值为，最小值为. 题型09 由函数的最值求参数 例9．已知函数． (1)当时，判断经过点的曲线的切线有多少条； (2)若在区间上的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1)1条 (2) 【分析】 【详解】（1）由题可知的定义域为， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为： ． 将代入上式，得， 化简得． 令，则，设，则， 令，得，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，在上有唯一的零点， 所以经过点的曲线的切线仅有1条． （2）， 令，得，令，得． ①当时，在上恒成立，故在上单调递增， 所以，不符合题意； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，由，解得； ③当时，在上恒成立，在上单调递减， 所以，不符合题意，舍去． 综上，． 变式9-1．若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知函数的定义域为，对其求导得： ，令， 若在上存在最小值，根据本题的函数结构可知，函数在区间内先递减后递增， 即在内由负变正，等价于. . 解得，即实数的取值范围是. 变式9-2．已知函数的最小值为0，则___________． 【答案】/ 【详解】易知函数的定义域为，且, 当时，恒成立，此时在上单调递减，不存在最小值，不合题意； 当时，令可得, 又时，，时，， 所以此时在上单调递减，在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值，即， 即，解得，符合题意； 综上可知. 变式9-3．已知函数 (1)求函数的导函数； (2)若，求函数单调区间； (3)若函数在上的最小值是，求的值． 【答案】(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 【分析】 【详解】（1）依题意，. （2）当时，，的定义域为， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. （3）的定义域为，. 当时：在区间上，，， 所以在上单调递增． 则在上的最小值为，由，与矛盾，舍去． 当时：当时，单调递减； 当时：单调递增． 所以在上的最小值为， 由，即，解得，满足． 当时：在区间上，， 所以在上单调递减． 则在上的最小值为， 由，解得，与矛盾，舍去. 综上，的值为． 题型10 构造法解函数不等式 例10．已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，即 令，； 则，在上单调递减； ，； ，，，得，即； 在上单调递减，且，，解得； 不等式的解集为. 变式10-1．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为___________． 【答案】 【详解】设，，则其导数， 而当时，所以，即在上为减函数， 又由，为定义在上的奇函数，则， 则， 所以在区间上，，在区间上，， 则在区间上，，在区间上，， 又由是定义在上的奇函数，则， 且在区间上，，在区间上，， 综合可得：不等式的解集为． 变式10-2．已知函数定义域为，为其导函数，且满足对，都有．若，则当时，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对，都有，即， 构造函数，其中，， 所以函数在上为减函数， 由可得， 又因为，则， 由可得，所以，解得， 故原不等式的解集为. 变式10-3．已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是___________. 【答案】 【详解】令，则，所以在上单调递增， 由，得，即， 又在上单调递增，所以得. 所以不等式的解集是. 题型11 导数与函数零点的综合 例11．已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数. 【答案】(1) (2)当时，无零点；当时，一个零点；当时，两个零点. 【分析】 【详解】（1），所以在处的切点坐标为， ，则， 故在处的切线方程为. （2）讨论函数 的零点个数，即方程的解. 当时，等价于：，令， 问题转化为直线与的交点个数. ，得，当时，，单调递减； 当 时，，单调递增；是极小值点，. 时，时， . 结合的取值讨论零点个数： 当时，与无交点，无零点； 当时，与有一个交点，一个零点； 当 时，与有两个交点，两个零点. 综上：当时，无零点；当时，一个零点；当时，两个零点. 变式11-1．设函数 ①若，则的零点个数为__________； ②若有且仅有两个零点，则实数的范围是__________. 【答案】 1 【详解】① 当时，， 当时，，解得， 所以在上有1个零点， 当时，，， 令，即，因为恒成立， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则在处取得极小值，也是最小值， 得到， 所以在上恒成立，所以总零点个数为， ② 当时，令，解得， 要使在上有零点，则， 当时，令，即， 设，求导得， 令，因为恒成立， 所以，解得：， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则在处取得极小值，也是最小值， 则，当时，， 当时，， 要使在上有一个零点，则， 结合，的范围是. 变式11-2．若函数有且仅有2个零点，则______. 【答案】3 【详解】因为，则，可知0不为的零点， 令，且，可得， 令，，可知与有且仅有2个交点， 因为， 当时，，可知在内单调递增， 且当趋近于时，趋近于，当趋近于0时，趋近于； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 当趋近于0或时，趋近于； 综上所述：可得的图象，如图所示： 若与有且仅有2个交点，则. 变式11-3．已知曲线. (1)求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）因为， 所以，，即切点为，又， 所以切线方程为， 当时，，当时，， 切线与坐标轴围成的三角形面积为. （2）因为，函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点， 又， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， 又时，， 且当时，，当时，， 所以的图象如下所示： 由图可得实数的取值范围为． 题型12 导数与不等式的综合 例12．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)证明：无零点. (3)若函数，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以所求的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，设，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，即，则恒成立， 所以函数无零点. （3）依题意，函数的定义域为， 不等式 ，由（2）得，则， 令，则，令函数，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此， 则，所以. 变式12-1．已知函数在处有极大值． (1)求实数的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】 【详解】（1）求导得， 又在处有极大值，，解得或， 当时，， 时，；时，，故为极大值点，符合题意， 当时，， 时，；时，，故为极小值点，不符合题意， 综上，实数的值为. （2）由（1）得， 要证，即证对成立， 令则， 令，解得或， 令，解得或， 所以函数在和上单调递增，在和上单调递减， 所以函数的极大值为和, 且，, 即对所有成立，成立. 变式12-2．已知函数. (1)求在上的最大值； (2)证明：. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由已知，， 因为，， 所以恒成立， 所以在单调递增，所以， 所以在最大值为0. （2）由（1）知，即. 令，其中，则， 所以 . 变式12-3．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最小值； (3)求证：. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间. (2)0 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意得函数的定义域为， 当时，，则在单调递增， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）当时，， 令，则， 所以即在单调递增， 又，所以当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，故. （3）由（2）知当时，， 即，当且仅当时取等号， 令，则， 所以, 即. 一、单选题 1．函数的导函数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以函数的导函数. 2．函数在上的单调情况是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 【答案】A 【详解】恒成立， 故函数在上单调递增. 3．已知函数，其导函数的图像如图所示，则对于的描述正确的是（   ）    A．在区间上单调递减 B．当时取得最大值 C．在区间上单调递增 D．当时取得极小值 【答案】D 【详解】当时，，所以在和上单调递增，故A错误； 当时，，所以在和上单调递减，故C错误； 所以当和3时，取得极大值，又与的大小未知，故无法判断最大值， 当时，取得极小值，故B错误，D正确． 4．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 在上单调递增，则在上恒成立， 所以在上恒成立， ，时，的最大值是， 所以． 5．设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，则，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 而，，， 又因为，且在上单调递减，所以， 即. 6．设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（    ） A．[0,1] B．[－1,1] C． D． 【答案】B 【详解】，， 在R上满足， 或， 则是上的单调递增函数，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， ， 则转化为， 则转化为在上恒成立， 则需要满足，解得，即， 则实数a的取值范围为，故选项B正确. 7．现需建造一个容积为的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍.要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径与高的比值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】设单位面积铁的价格为，则造价， ，取，得到， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故时，造价最小，此时，所以. 8．不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，. 令，则在上单调递增， 又，， 所以，所以，即在上恒成立. 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以. 二、多选题 9．已知函数，是其导函数，则（    ） A． B．的单调递减区间为 C．是的极小值点 D．的图象的对称中心为 【答案】ABD 【详解】，故A正确； 当或时，；当时，， 故的单调递减区间为，故B正确； 由符号变化可得是的极大值点，故C错误； 又 ， 故的图象的对称中心为，故D正确. 10．若函数有两个极值点，设这两个极值点为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，， 因为有两个极值点， 所以在上有两个不同的根， 所以方程有两个不同的正根， 根据韦达定理得，，A正确，B错误； 因为且，所以， 当或时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以，，C正确，D正确． 三、填空题 11．已知，则______． 【答案】 【详解】解析：． 12．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______. 【答案】 【详解】设切点为，对曲线求导得：. 因为切线斜率为，因此：且， 所以，即，得. 再将代入得：，即， 两边取对数整理得： . 所以， 令，求导： ， 令，得，即， 因为在上单调递减， 所以当时，；当时，. 因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以是函数的极大值点也是最大值点， 因此. 故的最大值为. 13．已知函数若，则不等式的解集为_______ 若恰有两个零点，则的取值范围为_______ 【答案】 【分析】 【详解】空1：代入，可得：， 当时，，结合得； 当时，，结合得. 所以解集为：. 空2：①当时： 若：时，则恒成立，无零点； 若：时，由得，不在范围，无零点； 时，由可得方程，，两根之积为， 故只有1个负根，即有一个零点. ②当时：，时，只需讨论： 变形得，令，求导得： 当时，，在递减， 当时，，在递增，故最小值为； 当和时，， 因此：时，无零点； 时，有1个零点； 时，有2个零点； 时，恒成立，无零点. 综上所述，在区间上：当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点. 四、解答题 14．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，且， ，且， 所以所求切线方程为，即. （2）令，有，. 当变化时，，变化如下 1 3 + 0 - 0 + ↗ 3 ↘ ↗ 19 所以函数在单调递减，在，上单调递增， 而，， 所以，. 15．已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，设为与的一个公共点，， 所以， 则，即切点， 所以与在公共点处的切线方程为. （2）设为与的一个公共点， ， 由②得 ，所以 ，即， 将代入①，， 所以，所以. 令，所以， 当时，在区间单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 所以，所以 且， 所以当且仅当时取“”，所以 . （3）由（2）知，. 要证时，，即证， 即证对恒成立. 令，得， 当时，在上单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 故函数在时取最小值， ， 所以， 所以对恒成立. 故当时，成立. 16．已知：函数在处取得极值， 其中为常数. (1)试确定a、b的值； (2)讨论函数的单调区间； (3)若对任意， 不等式 恒成立，求c取值范围. 【答案】(1)，； (2)递减区间为，递增区间为； (3) 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 依题意，由，得，解得，由，得，解得， 此时，当时，；当时，，即在处取极小值， 所以，. （2）由（1）知，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的递减区间为，递增区间为. （3）由（2）知，在处取得最小值， 由，恒成立，得，解得或， 所以的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $