专题08 导数与函数的单调性五大题型（高效培优专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题08 导数与函数的单调性五大题型 题型一：不含参函数的单调性 题型二：函数与导数图像的关系 题型三：已知单调性求参数 题型四：利用导数解不等式 题型五：含参函数的单调性 题型一：不含参函数的单调性 1．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知函数的定义域为，， 又，令，解得. 所以函数的单调递增区间为. 2．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则函数的定义域为， 所以， 由，得或， 由，得且， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，， 又时，，分析图象可知，C选项正确. 3．下列函数中，在区间内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，在内有增有减，不单调递增，故A错误； 对于B，，当时，，函数单调递减，因此在内不单调递增，故B错误； 对于C，，当时，故，即，函数在内单调递增，故C正确； 对于D，，当时，，即，函数单调递减，故D错误． 4．函数的单调递增区间为___________，单调递减区间为___________． 【答案】 ； 和. 【详解】因为分母不为零，得函数定义域为. 根据分式求导法则得，其中，（）， 当时，，即，故单调递增区间为； 当时，，结合定义域得或 ； 即单调递增区间为；单调递减区间为和. 5．函数的严格增区间为__________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，， 由可得，故函数的严格增区间为. 6．已知在处的切线与垂直， (1)求实数的值； (2)求在区间上的单调区间. 【答案】(1)2 (2)单调递减区间，单调递增区间. 【分析】 【详解】（1）由求导得， 则在处的切线的斜率为，因切线与垂直， 故，解得. （2）由（1）可得 ， 因，则当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 题型二：函数与导数图像的关系 7．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据图像可知时，，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减。 综上，只有D选项符合. 8．已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象可知，在整个定义域内，始终单调递减，， 在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递增且为负数； 在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递减且为负数. 故只有C选项，导函数图象满足题意. 9．函数是定义在上的偶函数．其图象如图所示，．设是的导函数，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，且为偶函数，故， 由导数性质结合图象可得当时，， 当时，，当时，即， 则由，有，解得， 亦可得，或，或，或， 由可得或，解得， 由可得，即， 由，可得，即或（舍去，不在内）， 由，可得， 综上所述，关于x的不等式的解集为. 10．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由导数与单调性的关系判断即可． 【分析】 【详解】不等式，由图象可知，所以 单调递增，，所以； 单调递增，，所以； 因为，，所以； 单调递减，，所以； 单调递减，，所以； 所以的解集为. 12．函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为__________. 【答案】 【详解】由函数的图象可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 即当时，，当时，. 因为可化为或， 结合函数图象解得， 所以不等式的解集为. 题型三：已知单调性求参数 13．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为函数在上单调递增，所以，因此. 所以实数的取值范围是 14．已知函数在单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数在 (2, +∞) 上单调递减，故函数在该区间上必须有意义，则， ， 因为函数在单调递减，所以在恒成立， 所以，解得，但时，为常函数，不满足题设单调递减的要求，故 应舍去， 因此，实数的取值范围. 15．（多选）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】， 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在内有解，所以有解， 由于，所以，故， 则实数的取值范围是，结合选项可知，符合题意. 16．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，因为函数在上单调递增， 所以恒成立，即在区间上恒成立. 令，，则，当时，，所以， 因此在上单调递增，则，所以. 17．已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得：，令， 所以，所以在单调递增，且，， 又因为在上不单调，所以，解得. 18．已知函数是增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 对函数求导可得：， 因为是增函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 由基本不等式可知，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围为. 题型四：利用导数解不等式 19．若函数是定义在上的奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，解得，所以， 令，则， 因为，所以，所以恒成立， 即在上单调递增，又是增函数，所以在上单调递增. 因为，所以． 又是增函数，所以，解得． 故选：A． 20．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得函数的定义域为，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在上单调递增， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为. 21．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：，， 则关于对称，， 所以在上单调递增，等价于， 所以，即，所以． 22．已知定义在上的奇函数（），则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 得：，， 因为 （）是定义在 上的奇函数， 所以，即， 当时，， 此时有 ， 即， 又 ，解得 . 所以， 所以 在 上严格递增. 不等式 中，代入， 得： 因为 在 上严格递增. 所以， 整理得：， 即， 解得 故选： A. 23．已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】的定义域为，且在内单调递增，则 令，则， 因为在上恒成立， 所以在内单调递增， 又，所以， 所以解集为. 故答案为：. 24．已知函数，则关于t的不等式的解集为______. 【答案】 【详解】，得， 故为定义在上的奇函数. 所以可写为， 即，根据奇函数易得. 函数的导数为， 而，所以， 故函数在上单调递增，故不等式的解集等价于的解集，解得. 题型五：含参函数的单调性 25．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）由函数，所以函数的定义域为，又， 所以，， 所以函数在点处的切线方程为：，即. （2）因为函数的定义域为，且， 令，得，即. 若，，为常数函数； 若，由，得，由，得； 若，由，得，由，得； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，为常数函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 26．已知函数（）. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为. 求导得，则曲线在点处的切线斜率为. 直线可化为，斜率为2. 由切线与直线平行，得，解得. （2）由（1）知，（）. ①当时，恒成立，所以在上恒成立， 故在上单调递增. ②当时，令，得，即. 当，，所以，单调递增； 当时，，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 27．已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，在递增;当时，在单调递减，在单调递增. 【分析】 【详解】（1），定义域为 所以， 因为直线的斜率为， 所以，所以. （2），定义域为， 若，则在恒成立，故在递增; 若，令得，令得， 故在单调递减，在单调递增; 综上所述：当时，在递增， 当时，在单调递减，在单调递增. 28．已知函数，其中. (1)当时，求的值； (2)当时，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增. 【分析】 【详解】（1）当时，，， ∴. （2）当时，， 令， 当时，恒成立，∴，∴在上单调递减． 当时，有两个根分别为，， 当时，， 当，， ∴递减区间为，， 递增区间为. 综上所述：当时，在上单调递减． 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 29．已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 【答案】(1)2 (2)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为，， 由题意得：，解得：，所以. （2）由（1）得：， ①当时，即，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递增； ②当时，若，，函数在区间上单调递增； 若，，函数在区间上单调递减. 30．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减 【分析】 【详解】（1）由，得， 则切线斜率为，又，即切点为， 所以切线方程为. （2）由， 得， 当时，， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，， 当，即时，，则函数在上单调递增； 当，即时，令得，或， 令得，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，令得，或， 令得，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 导数与函数的单调性五大题型 题型一：不含参函数的单调性 题型二：函数与导数图像的关系 题型三：已知单调性求参数 题型四：利用导数解不等式 题型五：含参函数的单调性 题型一：不含参函数的单调性 1．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 2．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在区间内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间为___________，单调递减区间为___________． 5．函数的严格增区间为__________. 6．已知在处的切线与垂直， (1)求实数的值； (2)求在区间上的单调区间. 题型二：函数与导数图像的关系 7．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（   ） A． B． C． D． 9．函数是定义在上的偶函数．其图象如图所示，．设是的导函数，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 12．函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为__________. 题型三：已知单调性求参数 13．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数在单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（多选）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 16．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．已知函数是增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：利用导数解不等式 19．若函数是定义在上的奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 20．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 21．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 22．已知定义在上的奇函数（），则的解集为（   ） A． B． C． D． 23．已知函数，则不等式的解集为__________. 24．已知函数，则关于t的不等式的解集为______. 题型五：含参函数的单调性 25．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试讨论函数的单调性. 26．已知函数（）. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性. 27．已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值； (2)讨论函数的单调区间． 28．已知函数，其中. (1)当时，求的值； (2)当时，讨论函数的单调性. 29．已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 30．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $