广东中山市第一中学2025-2026学年高二上学期期末数学模拟试卷

2025-2026学年广东省中山市第一中学高二上期末数学模拟试卷 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.A2.A3.C4.D5.B6.D7.B8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.A,B,D10.C,D11.A,B,D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12213万14号 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1)a=1(2)x=3或20x-21y+150=0 【解答过程】(1)因为圆C:x2+y2-6y-16=0可化为x2+(y-3a)2=9a2+16, 所以圆心为C(0,3a,半径为V9a2+16, 因为圆C上存在两点关于直线m:2x-5y+15=0对称，则直线2x-5y+15=0经过圆心， 将C(0,3a代入2x-5y+15=0,即2×0-5×3a+15=0,解得a=1. (2)依题意，设圆心C(0,3)到直线距离为d,因为PQ=8,则 √25-42=3. 当直线1斜率不存在时，直线方程为x=3,符合题意； 当直线1斜率存在时，设直线1方程为y-10=k(x-3),即kx-y-3k+10=0, 所以图心C到直线1的距离d-3-3头+10-3，解得大=20 Vk2+1 21 直线1的方程为y-10 2x-3),即20x-21y+150=0, 2 综上所述，直线1的方程为x=3或20x-21y+150=0. 16.(1) 21 (2)87 50 500 【解答过程】(1)记“比赛三局结束”为事件A,则甲或乙均连胜3局， 11.133.17 则每局获胜的概率依次为2'2十05'51010 所以P(A=2×2X5×1050 13721 (2)记“乙3：1取胜，比赛结束”为事件B, 若4局胜者依次为甲，乙，乙，乙， ,111221111-3 则忆每局的概率依次为2210行亏+02'205 若4局胜者依次为乙，甲，乙，乙， 则乙每局的概率依次为 11,13311113 2’2105'5102’21059 若4局胜者依次为乙，乙，甲，乙， 11133.17713 则乙每同的概幸依次为22十0行5+1010'10105 所以 叫--引*对 17.(1)证明见解答 2)PM=2v2 3 3)6 6 【解答过程】 (1)作PE⊥AD,垂足为E,连接CE. 在△PMD,cos∠PDA=PDAD-P-点，n∠PDA-互 2PD·AD 2 2 :.PE-PD-Sin LPDA-2=2.4E-PA-PE=1. 2 所以AE=BC,四边形ABCE是正方形. 所以CE⊥AD. 因为CE∩PE=E,所以AD⊥平面PCE. 因为PCc平面PCE,所以AD⊥PC. (2)因为四边形ABCE是正方形，所以AB∥CE 因为ABC平面PAB,所以CE∥平面PAB. 若CM∥平面PAB,因为CE∩CM=C,所以平面CEM∥平面PAB. 因为平面PAD∩平面CEM=EM,平面PAD∩平面PAB=PA,所以EM∥PA, 所以PM=5=).因为PM+MD=2N5,所以PM=22 MD ED 2 3 (3)以E为坐标原点，EC,ED,EP所在直线分别为x,y,轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,-1,0),C(1,0,0,D(0,2,0),P(0,0,2),则PC=(1,0,-2,BC=(0,1,0,CD=-1,2,0) 设平面PBC的法向量为i=(x,y1,z), mPC=x-22=0取m=(2,0,1 则 m·BC=y1=0, 设平面PCD的法向量为万=（x2,y2,22), i.PC=x2-2z2=0, 则 取i=(2,11 i.CD=-x2+2y2=0, 2×2+1 cosm,n= =30 √22+1×V22+1+16 ∴.sinm,n 6 即二面角B-PC-D的正弦值为N 6 ZA 18.(1)m=2V2,n=-2√6 (2)2 (3)36π 【解答过程】(1)根据OA=OB=OC,可得36=m2+24+4=8+n2+4, 解得m=±2√2，n=±2V6,因为m>0,n>0,所以m=2V2,n=-2V6, (2)由(1)得B2V2,2V6,-2，C2V2,-26-2，AB=2V2,2W6,-8, AC=2W2,-2V6,-8, 设平面ABC的一个法向量为V。=（xo,yo,2o), 则孤=25+26，-8=0.令5=25，为=0，=1， ·AC=2W2x。-2V6y。-8=0 所以平面ABC的一个法向量为。=22,0,1， o 6 所以点O到平面ABC的距离为 =2 V8+1 (3)依题意0A=(0,0,6),0B=(2V2,2V6,-2,0C=(2W2,-2N6,-2 设平面OAB,平面OBC,平面OAC的法向量为 =(x,,z),2=(x2,2,22),=(x3y3,23), 则01=63=0 -0丽=22x+26y-2名=0令=5，则月=-1.名=0，则 y=(5,-1,0. 则-05=25+263-2，=0.令5=1，则%=0，=5，则-0，). 20C=2V2x2-2V6y2-2z2=0 0A=623=0 ,令x=3,则=1，=0，则=V5,1,0), 0C=2V2x-2V64-2z,=0 os-om同之 41 v2'V3 1 cos xC=cos,)- -2 结合O,A,B,C四点的位置，可知∠A,∠B,C均为钝角， 所以4A=4B=4C=2n 3 故球面△ABC的面积S△MBC= 小6-6x 19.(1)yx2 1 416 (2)-1 (3)点P在定直线上y=1 【解答过程】(1) 设双线的际准方程为片茶=1川a>06>0。 e=c=5 a 由题意可得{c2=a2+b2,解得a=2,b=4, c=25 所以双曲线的标准方程为上_之 =1 416 (2)双曲线的上下顶点为A(0,2)，A(0,-2),设直线MN的方程为y=kx+4, M (x,y),N(x2,y2), y=+4 联立y2x2,，消去y,可得(4k2-1x2+32kx+48=0, =1 (416 32k 48 则x+x2=- 44且4-1<0. 所以达+ A 0 A2 所以点=当2.52=+2名-出+2=25++2x。1 k2xy2+2x,+6kxx2+6x1 3 2x+x)+6x 所以6=3，所以+号=好-2话=k--1 当k=1时，+2k,的最小值为-1： (3)直线AM的方程为y=kx+2,直线A,N的方程为y=k,x-2, 是各测= 联立 即点P在定直线上y=1. 2025-2026学年广东省中山市第一中学高二上期末数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，且，则（ ） A． B． C．4 D．6 2．已知直线的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（ ） A．2 B． C．4 D． 3．圆：与圆：的位置关系为（ ）． A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 4．为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试，已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（ ） A．127 B．136 C．133 D．138 5．若表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，曲线C：的周长为（ ） A．12 B．14 C．16 D．20 7．已知点，分别是椭圆C的左、右焦点，是C上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆C的标准方程是（ ） A． B． C． D． 8．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上写出2，3，4，…，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线C：的焦点F到准线的距离是4，直线l过它的焦点F且与C交于，两点，M为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A．抛物线C的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以M为圆心的圆与C的准线相切，则是该圆的一条直径 10．下列命题中为真命题的是（ ） A．若，都是直线l的方向向量，则必有 B．O为空间任意一点，若，且A，B，C，P四点共面，则 C．若，为不共线的非零向量，，，则 D．若向量，，是三个不共面的向量，且满足等式，则 11．已知圆C：，点P为直线l：上一动点，过点P向圆C引两条切线，，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（ ） A．若Q为圆C上任意一点，则的最小值为 B．四边形的面积的最小值为4 C．当点P在原点处时，直线的方程为 D．直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．动点A在圆C：上运动，则点A到x轴的最近距离是_______． 13．若、是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为_______． 14．“曼哈顿距离（Manhat tan Dis tance）”是由19世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为．现已知在空间直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P满足，则动点P围成的几何体的体积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知圆C：，若圆C上存在两点关于直线m：对称． （1）求a的值； （2）过点的直线l与圆C交于P，Q两点，且，求直线l的方程． 16．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）．根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为． （1）求比赛三局结束的概率； （2）求乙取胜，比赛结束的概率． 17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面平面，，． （1）证明：． （2）点M在线段上，若平面，求． （3）求二面角的正弦值． 18．如图1，过球O上不在同一大圆上的A，B，C三个点中的任意两点作大圆．可以得到劣弧，与，则这三条劣弧围成的曲面（阴影部分）称为球面，这三条劣弧称为球面的边．A，B，C三点称为球面的顶点．设二面角为，二面角为，二面角为，则球面的面积，其中R为球的半径，，，均用弧度制表示．以球心O为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系．已知，，三点均在球O的球面上，其中，． （1）求m，n的值； （2）求点O到平面的距离； （3）求球面的面积． 19．已知双曲线C的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记C的上、下顶点分别为，，过点的直线与C的上支交于M，N两点． （1）求C的方程； （2）直线和的斜率分别记为和，求的最小值； （3）直线与交于点P，证明：点P在定直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $