精品解析：广东潮州市2025-2026学年第一学期期末高二教学质量检测卷数学试题

潮州市2025—2026学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（本题共11道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至11小题为多项选择题） （一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 已知等差数列中，，，则数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】数列的公差. 2. 若向量，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量的模长公式求解. 【详解】由向量的模长公式可得. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线与轴垂直，故倾斜角为. 4. 已知四面体中，点满足，点满足，则（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线、平行线分线段成比例定理可以判断A、B；结合线面平行的判定定理可以判断C、D. 【详解】如图所示，点在上满足，得，即； 点在上满足，得，即. 在中，根据平行线分线段成比例定理，可得， 对于A：，不平行，错误； 对于B：，不平行，错误； 对于C：平面，，因此不可能垂直平面，错误； 对于D：，平面，且平面， 由线面平行判定定理得平面，正确. 5. 已知数列是等比数列，满足，则数列的公比为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】结合等比数列通项公式建立方程求解. 【详解】设等比数列的公比为，根据等比数列通项公式可得： ，，代入已知等式： 等比数列中，两边约去得：，整理得， 又公比，因此. 6. 如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用几何关系转化异面直线和所成的角为，再根据三角形性质求解角大小. 【详解】如图所示，取底面圆心（即中点），连接. 因为是中点，是中点，所以是的中位线，得. 因此异面直线和所成的角，等于与所成的角. 圆锥轴截面垂直于底面圆所在平面，交线为. 因为是弧的中点，所以， 由面面垂直的性质定理，得平面. 又平面，因此，是直角三角形，直角在点. 设底面圆半径为，则，直径. 因为轴截面是等边三角形，所以， 由中位线性质得， 在中，，因此 ，得 ， 即异面直线和所成角为. 7. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合“蒙日圆”定义，设为椭圆上两条互相垂直的切线的交点，分两切线斜率都存在与两条切线中有一条斜率不存在，另一条斜率为进行讨论即可得. 【详解】设为椭圆上两条互相垂直的切线的交点， 若两条切线斜率都存在，设为、，则， 过的切线方程可设为， 联立，则， ，化简得， 由切线过点，则，故， 即有，整理得， 则关于的方程有两根、，满足， 即有，即点的轨迹为； 若两条切线中有一条斜率不存在，则另一条斜率为， 则，，此时满足； 综上可得：椭圆的蒙日圆的方程为. 8. 设为椭圆：（）的左焦点，，是椭圆上的两个动点，若周长的取值范围为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助椭圆上的点到焦点的距离的最小值及椭圆定义可得周长的取值范围，即可得、间关系，即可得离心率. 【详解】设为椭圆：（）的右焦点， 周长， 由椭圆上的点到焦点的距离的最小值为， 故， 由，， 故， 当且仅当、、三点共线时取等号， 故有，，即， 则，故. （二）多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部份选对得部份分，有选错得0分） 9. 椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意可得，分类讨论焦点所在的位置，运算求解即可. 【详解】设长轴长为，短轴长为， 因为长轴长是短轴长的2倍，则，即， 又因为椭圆经过点，则有： 若椭圆的焦点在x轴上，可知，椭圆的标准方程为； 若椭圆的焦点在y轴上，可知，椭圆的标准方程为； 综上所述：椭圆的标准方程为或. 故选：AC. 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 向量与向量方向相反 B. 正方体的棱长为1，则 C. ，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D. 若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相反向量的定义可判断A；根据数量积公式，求得的值，即可判断B；根据四点共面的判定，即可判断C；根据投影向量的公式计算即可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以，所以向量与方向相反，故A正确； 对于B，因为在正方体中，两两夹角为， 所以， ， 所以，故B正确； 对于C，若，由于，所以，，，四点不共面，故C不正确； 对于D，因为，向量，的夹角为， 所以向量在向量方向上投影向量的模为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知双曲线：（，）的离心率为，点为双曲线上一动点，且双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. C. 若，则的面积为1 D. 若的面积为，则为钝角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用离心率与点到直线距离公式可求出双曲线的方程，即可得A、B；结合双曲线定义与三角形面积公式计算可得C；利用面积可得，从而可得点坐标，再求出、、后即可得D. 【详解】双曲线：的渐近线方程为，焦点坐标为， 则由双曲线的焦点到渐近线的距离为1，可得 ， 由，则，即有， 解得，则，故双曲线的方程为； 对A：由双曲线的方程为，则渐近线方程为，故A正确； 对B：由双曲线的方程为，故，故B错误； 对C：设，，则， 由有 ， 又 ，故， 则，故C正确； 对D：由，则， 故有，解得，由对称性，不妨取， 则有 ， ， 又 ，故中最大角为， 由，故为钝角， 即为钝角三角形，故D正确. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设所求双曲线的方程为，根据该双曲线的焦点坐标求出的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在轴上， 可设所求双曲线的方程为， 则，解得， 因此，所求等轴双曲线的方程为. 故答案为：. 13. 若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解； 题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值. 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 14. 已知正方体的棱长为4，，，直线与交于点，则点到平面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，分别以为轴作出空间直角坐标系，写出相应的坐标，求出的坐标，然后利用点到平面距离的向量求法求解即得.. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4，，， 则， 在平面内，直线方程为，直线方程为，联立解得， 所以，， 设平面的法向量， 则，令，得， 于是点M到平面的距离. 三、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，且，，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设数列的公差为，则有， 解得， 故； 【小问2详解】 ， 则. 16. 已知圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）求过点，且与圆相切的直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将、坐标代入圆的标准方程，得到关于和的方程并求解即可； （2）判断点与圆的位置关系，进而根据切线和半径几何关系和点斜式求解方程. 【小问1详解】 设圆心（圆心在上），圆的标准方程为：， 因为圆过和，代入两点得：， 展开化简得：，解得，即圆心， 则， 所以圆的方程为 【小问2详解】 点代入圆方程左边得， 因此在圆上，过的切线仅有1条. 半径所在直线的斜率为：，切线与半径垂直， 因此切线斜率，由点斜式得切线方程：， 整理得：. 17. 如图，、是互相垂直的异面直线，直线分别与、交于点，，且，，点、在上，点在上，． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，再利用线面垂直性质定理可得，由可得，即可得平面； （2）连接，可得即为平面与平面的夹角，求出即可得解. 【小问1详解】 由，故，即； 由，，且，、平面， 故平面，又平面，故， 又，、平面，故平面； 【小问2详解】 连接，由，，故， 由平面，、平面，故，， 故，则， 故即为平面与平面的夹角， 由，故， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上的一点到焦点的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）为坐标原点，若直线经过点，且与抛物线交于，两点，的面积为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）结合抛物线定义建立关于的方程并求解即可； （2）设直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式和面积建立关于的方程并求解. 【小问1详解】 对于抛物线，准线方程为，根据抛物线的定义： 点到焦点的距离为，则， 故抛物线的方程为：. 【小问2详解】 求直线的方程 设直线的方程为，设, 联立直线与抛物线方程：，整理得：， 由韦达定理得：， 的面积：，其中， 因此：， 由弦长公式：， 的面积为，因此：， 整理得直线的方程为：或. 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：． 【答案】（1）证明见解析； （2）①，②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据定义计算，结合等差数列定义判断即可； （2）①：结合等差数列定义求出的通项公式，再利用累加法结合等差数列求和公式求出的通项公式； ②：结合求解的表达式，再利用裂项相消法求出的表达式；分析的单调性，结合单调性确定其取值范围. 【小问1详解】 已知，根据定义得： 则， 因此是首项为、公差为的等差数列， 故是二阶等差数列. 【小问2详解】 （2）① 由题意，，， 因为是等差数列，所以公差， 得的通项为：， ，，， ，，， 由累加法得，当时：， 代入得：， 验证时，满足上式，故. ②证明：将， 代入得：， （裂项验证：，成立） 前项和用裂项相消： ， 所以. 因为，所以； 又，故是递增数列，最小值为，因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮州市2025—2026学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（本题共11道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至11小题为多项选择题） （一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 已知等差数列中，，，则数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若向量，则（ ） A. 4 B. C. D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知四面体中，点满足，点满足，则（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 5. 已知数列是等比数列，满足，则数列的公比为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 6. 如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设为椭圆：（）的左焦点，，是椭圆上的两个动点，若周长的取值范围为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. （二）多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部份选对得部份分，有选错得0分） 9. 椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程可能为（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 向量与向量方向相反 B. 正方体的棱长为1，则 C. ，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D. 若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 11. 已知双曲线：（，）的离心率为，点为双曲线上一动点，且双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. C. 若，则的面积为1 D. 若的面积为，则为钝角三角形 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为______． 13. 若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 14. 已知正方体的棱长为4，，，直线与交于点，则点到平面的距离为______． 三、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，且，，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）求过点，且与圆相切的直线的方程． 17. 如图，、是互相垂直的异面直线，直线分别与、交于点，，且，，点、在上，点在上，． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上的一点到焦点的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）为坐标原点，若直线经过点，且与抛物线交于，两点，的面积为，求直线的方程． 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $