大湾区2025-2026学年高二上学期期末模拟训练数学试卷四

《大湾区2025-2026高二上学期期末模拟训练数学试卷四》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A D A C D BD ABD 题号 11 答案 ACD 1．C 【详解】设个数据为， 因为，所以； 又因为， 且， 所以， 故选：C. 2．C 【详解】由可知，抛物线开口朝右，则过点的直线斜率不存在时，抛物线有两个交点，不符合题意； 当斜率为时，直线与抛物线有一个交点，符合题意； 当斜率存在且不为时，设直线方程为，即， 联立方程组得，消去得， 当直线与抛物线只有一个交点时，可知， 即，化简得，解得或， 综上，过点且与抛物线只有一个公共点的直线有3条. 故选：C. 3．B 【详解】当线段最短时，直线与直线垂直， 此时点为直线与直线的交点. 因为直线与直线垂直， 所以，直线方程为， 由得，所以. 故选：B. 4．A 【详解】联立，可得（*）， 当直线与双曲线只有一个公共点时： 若时，即当时，方程（*）即为，解得，合乎题意； 若时，由于双曲线的渐近线为，故直线与双曲线的渐近线不平行，则当直线与双曲线相切时， ， 解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 因此，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 5．D 【详解】设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 方式①：有放回依次抽取两球，那么每次抽球都有6种可能，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、红3），（红3、绿3），（绿3、红3），（绿3、绿3），共12个. 所以； 方式②：不放回依次抽取两球，那么第一次有 6 种，第二次有 5 种，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、绿3），（绿3、红3），共10个. 所以； 方式③：按颜色等比例分层抽取两球，那么第一次从红球中抽一个（3 种），第二次从绿球中抽一个（3 种），顺序可能固定为红→绿，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、绿3），（红3、绿2），（红3、绿3），共3个，所以； 所以. 故选：D. 6．A 【详解】点关于轴的对称点的坐标为， 由题意反射光线所在的直线即为直线， ， 所以直线的方程为，即， 即反射光线所在的直线方程为. 故选：A. 7．C 【详解】因为过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，， 所以，因为， 所以，那么. 所以是以为圆心，4为半径的圆. 因为直线上存在点满足条件，所以直线与点的轨迹圆有公共点， 所以圆心到直线的距离为. 解得. 故选：C. 8．D 【详解】点是的重心，以为起点，则 ， ，， 故选：D． 9．BD 【详解】由的单位向量是，故A错误； 由，，可得，故B正确； 由为钝角，则， 又当，则且，故C错误； 由在上的投影向量为，故D正确； 故选：BD. 10．ABD 【详解】对于选项A：因为甲3题都答错的概率为， 所以甲至少答对1题的概率为，故A正确； 对于选项B：甲只答对1题的概率为，故B正确； 对于选项CD：当第二个问题为A时， 甲恰好连续2题答对的概率为； 当第二个问题为B时，甲恰好连续2题答对的概率为； 当第二个问题为C时，甲恰好连续2题答对的概率为； 可得，故C错误，D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【详解】由题意可知：蒙日圆必过点，蒙日圆方程为， 对于A，蒙日圆为，则，则， 则，所以椭圆E的离心率为，A正确； 对于B，根据题意得，又椭圆E过点，故， 所以，，则椭圆E的方程为，B错误； 对于C，，则是圆的直径，经过原点，则A，B两点关于原点对称， 设，，， 则，C正确； 对于D，直径，点M到的距离小于等于， 则的面积的最大值为，D正确， 故选：ACD． 12． 【详解】由题意可设双曲线的方程为（），即， 所以，则，所以右焦点坐标为. 因为双曲线的右焦点在直线上，所以，解得. 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 13． 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以. 由，得. 因为， 所以 ， 所以. 故答案为：. 14． 【详解】设圆到直线的距离为， 因为圆的半径为， 圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个， 所以， 则有， 由， 由，或，解得，或， 所以，或， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 15． 【详解】（1）直线整理得， 由解得，所以直线恒过. （2）（i）因为，所以点在圆内，所以直线与圆相交； （ii）由题意可知圆心当直线时，弦长最短，此时， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 16． 【详解】（1）甲组10名学生阅读量的平均值为， 乙组10名学生阅读量的平均值为 ， 由，解得，又，，可得，, 故图中的取值为1或2. （2）因为 , 若的阅读量为，则“新甲组”阅读量的平均数为， 则 ， 若的阅读量为，则“新甲组”阅读量的平均数为， 则 所以. （3）由茎叶图知，甲、乙两组中的“阅读达人”的人数分别为2人，3人， 所以甲、乙两组学生中各随机抽取一人，则至少有一名学生是阅读达人的概率是. 17． 【详解】（1）证明：在三棱柱中，分别延长，，交于点，连接，如图所示，则即为平面与平面的交线. 因为为棱的中点，，所以是的中点， 又在正中，，所以，所以. 取中点，连接， 因为侧面是菱形，且，所以为正三角形，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，，平面， 所以平面，即平面. （2）取的中点，则易知，由（1）知平面，所以，，两两垂直， 分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，因为侧面为菱形，且， 所以，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则令，则，， 所以. 设平面的法向量为， 则令，则，， 所以. 所以， 所以二面角的正弦值为. 18． 【详解】（1）由题意可知， 解得，则， ∴椭圆的标准方程：. （2）①设， 联立方程组得，消元化简为， 即 设交点，则，， 由题意可知，即， ∵，∴ 则，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ 即，， ∴. 故直线过定点.      19． 【详解】（1）设， 则， 所以， 因为在双曲线上，所以，所以， 所以， 又因为，所以当时，取得最小值为，所以， 因为，所以，又因为焦距为所以，即， 由，可得，所以双曲线的方程为. （2）（i）设， 由，得：， 由直线与双曲线的右支交于两点，可得． 解得，所以的取值范围是； （ii）双曲线的左右顶点，斜率， 故，代入， 得 由（i）可知，可得 代入，可得 即是定值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大湾区2025-2026高二上学期期末模拟训练数学试卷四 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题5分）已知一个样本，样本容量为10，平均数为15，方差为3，现从样本中去掉一个数据，此时样本的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（本题5分）过点且与抛物线只有一个公共点的直线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（本题5分）已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ）. A． B． C． D． 4．（本题5分）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（本题5分）现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（本题6分）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．向量是的一个单位向量 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 10．（本题6分）某校开展劳动教育课程，为有效推动课程实施，开展劳动知识比赛.比赛中每位选手需回答A，B，C(分别为日常生活类，生产劳动类，服务性劳动类)3道试题，回答结果相互独立.已知甲答对A，B，C 3道试题的概率分别为，则（   ） A．甲至少答对1题的概率为 B．甲恰好答对1题的概率为 C．当第二个问题是B时，甲恰好连续2题答对的概率为 D．当第二个问题是C时，甲恰好连续2题答对的概率最小 11．（本题6分）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，已知椭圆E的蒙日圆半径为，过圆C上的动点M作椭圆E的两条切线，交圆C于P，Q两点，直线交椭圆E于A，B两点，则下列选项中正确的是（    ）． A．椭圆E的离心率为 B．若椭圆E过点，则椭圆E的方程为 C．若点D在椭圆E上，将直线，的斜率分别记为，，则 D．的面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（本题5分）若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为 ． 13．（本题5分）如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则 . 14．（本题5分）若圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则实数m的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）已知圆，直线． (1)求证：不论为何值时直线恒过定点，并求出定点坐标； (2)（i）求证：直线与圆相交； （ii）求出截得弦长最短时直线的方程． 16．（本题15分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”），其中乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.    (1)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求的所有可能取值； (2)记甲组阅读量的方差为；在甲组中增加一名学生得到“新甲组”，若的阅读量为，则记“新甲组”阅读量的方差为；若的阅读量为，则记“新甲组”阅读量的方差为；比较、、的大小 （写出结果即可）. (3)将甲、乙两组中阅读量超过本的学生称为“阅读达人”，从甲、乙两组学生中各随机抽取一人，则至少有一名学生是阅读达人的概率是多少？ 17．（本题15分）如图，三棱柱的底面是等边三角形，侧面是菱形，且.已知为棱的中点，平面平面ABC. (1)设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 18．（本题17分）已知椭圆的中心在原点，离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，为坐标原点，直线与椭圆交于两点（直线斜率存在且在轴两侧），且满足.求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 19．（本题17分）已知双曲线C：的焦距为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线C上任意一点，且的最小值是. (1)求双曲线C的方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为，，直线：与C的右支交于M，N两点. （i）求实数m的取值范围； （ii）若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $