重庆市第一中学校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 重庆一中高一下期中数学卷，聚焦立体几何、向量、解三角形及复数核心知识，通过公园设计情境题（17题）、复数三角形式探究（18题）等，考查空间观念、推理能力与应用意识，适配高一半期教学目标。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|斜二测画法（1）、向量投影（3）、复数充要条件（6）|基础概念与空间直观结合| |多选|3/18|直三棱柱拼接（9）、解三角形性质（10）|多角度辨析，考查推理意识| |填空|3/15|三棱台线面角（13）|空间想象与运算能力并重| |解答|6/77|解三角形（15）、直三棱柱二面角（16）、公园设计应用（17）、复数三角形式证明（18）、四棱锥轨迹（19）|实际情境与动态探究结合，发展创新意识|

重庆一中高 2028 届高一下半期考试 数学试题卷 注意事项: 1.本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 2.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效. 4.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题: 本题共 8 小题.每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项 中, 只有一项符合题目要求. 1. 一个矩形的长、宽分别为 2、3，其斜二测画法下的面积为( ) A 6 B C D 2. 已知空间中两条不同的直线 ，两个不同的平面 ，以下可以得到 的是( ) A B C 直线 上有两个不同的点到 的距离相等 D 3. 两个非零向量 满足 ，且 ，则 在 方向上投影向量的模为( ) A 1 B 2 C D 4 4. 已知四棱柱 是平行六面体，空间中一点 平面 ，实数 满足 ，则实数 () A B C D 5. 一个圆锥的母线长为 且轴截面为正三角形,一个平行于底面的平面将圆锥分为体积相等的两个部分，其中圆台的高为( ) A B C D 6. 已知复数 满足 ，则 “ 为实数” 是 “ 为纯虚数” 的( ) A 充要 B 充分不必要 C 必要不充分 D 既不充分也不必要 7. 已知锐角三角形 中角 的对边分别为 ,且 ,不等式 对于任意满足条件的此三角形恒成立，则实数 的最大值为( ) A 不存在 B C D 8. 已知棱长为 正方体 的上底面 内有两个动点 满足: , 与平面 所成角的正切分别为 与 ，则动点 轨迹围成图形的面积是( ) A B C D 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选 项中, 有多项符合题目要求全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分. 9. 两个直三棱柱的高均为 2,底面边长都是 1,1, ,将它们拼成一个新的棱柱,则这个新棱柱的表面积可以是( ) A 12 B C 10 D 10. 在三角形 中,角 的对边分别为 ,满足 则以下叙述正确的是( ) A 三角形 一定不是锐角三角形 B 一定为负值 C 若角 是锐角且 ,则 D 若三角形 是直角三角形且 ,则 11. 如图，空间中两个矩形 和 相互垂直，满足 ， 分别是线段 上的动点，以下正确的是 ( ) A 若 为 的中点，则 与 所成角的正弦值为 B 若 ，则 平面 ， C 若 时，则 为梯形 D 若 ，则三棱锥 体积的最大值为 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知复数 满足 ，则 _____. 13. 三棱台 上下底面为正三角形， ，侧面 是底角为 的等腰梯形,棱台的高为 ,则 与平面 所成角的正弦值为_____. 14. 已知直角三角形 的斜边 ，点 是边 上的两个三等分点，则 的取值范围是_____. 四、解答题:本题共 6 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本题满分 13 分) 在三角形 中,角 所对的边分别为 ,且 . (1)求角 的大小； (2)若 ，三角形 的面积为 ，求三角形 的周长. 16. (本题满分 15 分) 如图，在直三棱柱 中， . (1)求证: ； (2)求二面角 的正弦值. 17. (本题满分 15 分) 某市计划在中央公园的一块三角形空地上建休闲花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域 分别种植薰衣草、马鞭草花田,将区域 设计为下沉式水景庭院,并在水景庭院周围(即 的三边)设置木质护栏. 在 Rt 中， ， ，点 ， 在斜边 上,且 . (1)当 时，求木质护栏的长度； (2)设 ，请用 表示水景庭院的面积 ，并求 的最小值. 18.(本题满分 17 分) 任意一个复数 都可以表示为三角形式 ,其中 为复数 的模, 为复数 的辐角. 若复数 的三角形式分别为 , ,则乘积为: ,即两个复数相乘, 积的模等于各复数的模的积, 积的辐角等于各复数的辐角的和. 其几何意义为: 将复数 对应的向量 绕原点 按逆时针方向旋角 (当 时，就把 绕原点 按顺时针方向旋转角 ),再将其模变为原来的 倍,得到向量 表示的复数就是积 . (1)已知复数 ，请将 改写为三角形式，将 改写为代数形式; (2)对于复平面内任意两个复数 ，证明 ; (3)已知 的三个内角为 ，且满足 ，已知该三角形的顶点 在复平面内对应的复数分别为 ,其外心 为原点,外接圆半径为 . 若动点 在该外接圆上,对应复数为 ,求 的取值范围. (结果用 表示) 19. (本题满分 17 分) 已知四棱锥 的底面 为菱形,且 ,且 . 平面 与射线 分别交于点 ,且满足 (1)当 时，平面 与棱 交于点 . 证明: 为 中点； (2)当 时，求平面 截四棱锥 所得截面的面积； (3)记 为 中点，若直线 上始终存在动点 满足 平面 . 当 变化时,求动点 的轨迹长度. 学科网（北京）股份有限公司 $