精品解析：重庆市南开中学校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

重庆南开中学高2027届高一（下）期中考试数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第I卷和第II卷都答在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A 1 B. C. D. 2. 已知的内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. 4 B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积比为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的部分图象如图所示，则的值为（ ） A 1 B. C. D. 2 6. 已知复数满足，则最大值为（ ） A. B. C. D. 4 7. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即中，角所对的边分别为，则的面积．已知面积为，且，则为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10 已知函数，则（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 的值域为 11. 重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为解放碑的基座（在的正下方，即），在纪念碑所在广场内（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、，若已知，则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）． 12. 已知，，且，则_____． 13. 如图，已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则_____． 14. 在中，内角所对的边分别为，，的角平分线交边于点，且长为定值．若面积的最小值为，则的长为_____． 四、解答题：本大题5个小题，共77分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）． 15. 已知是方程一个根． （1）求的值； （2）设，若为纯虚数，且，求复数． 16. 已知向量，，，，且向量与共线． （1）求； （2）若，求实数的值． 17. 如图，在三棱台中，底面为等边三角形，为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点． （1）求证：平面平面； （2）求平面分割三棱台所得的几何体和的体积之比． 18. 如图，在四边形中有，，，对角线、相交于点． （1）若，求； （2）若， ①求的取值范围； ②若为的外心，且，当①中的取最大值时，求实数的值． 19. 在中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，且，，求； （3）若，外接圆半径为，内切圆半径为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学高2027届高一（下）期中考试数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第I卷和第II卷都答在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数运算和虚部的概念可得结果. 【详解】，故的虚部为. 故选：C. 2. 已知的内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内角和求，由正弦定理即可求. 【详解】因为，， 所以， 由得. 故选：B 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两边平方，结合数量积的运算和向量的模即可求解. 【详解】因为， 所以， 即， 化简得， 即. 故选：B 4. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设球的半径为r，分别求出圆柱及球的表面积，即可求出表面积之比． 【详解】设球的半径为r， 则，， 所以球的表面积与圆柱的表面积之比为， 故选：C. 5. 已知的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期得出，再利用特殊点计算，从而得出的解析式，再计算即可. 【详解】由图象可得，解得：.所以， 所以， 由图象可知，函数的图象过点， 所以，即， 又因为点在函数的递减区间， 所以，解得：， 因为，所以. 所以， 所以， 故选：B. 6. 已知复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】确定表示复数的几何意义，再结合的几何意义求解作答. 【详解】由，得复数对应的点在以为圆心，半径的圆上， 表示复数对应的点到的距离， 点到点的距离， 所以的最大值为. 故选：C. 7. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即中，角所对的边分别为，则的面积．已知面积为，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得，求得的值，再结合余弦定理即可求得角C. 【详解】根据题意得， 将代入得：，化简可得：， 由余弦定理可得：, 因为，所以. 故选：A. 8. 在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，表达出，进而求出最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 过点作⊥于点，设，， 则，所以， 显然∽，故，即， 故，则， ， ， ， 故当时，取得最小值，最小值为 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间中各要素的位置关系，结合线面平行的判定定理和面面平行的性质定理分别判断即可. 【详解】对于A，由线面平行的判定定理，若平面外一条直线与平面内某条直线平行，则该直线与此平面平行，故A正确； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，设正方体上底面为，下底面内任意取两条直线，有，但不一定有成立，故C错误； 对于D，由面面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的所有直线均与另一个平面平行，故D正确； 故选：AD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用偶函数的定义判断A，利用正弦函数的最小正周期判断B，利用“同增异减”判断C，利用换元法结合二次函数的性质判断D. 【详解】对于选项A，对于任意的，， 所以是偶函数，图象关于轴对称，故A正确； 对于选项B， 因为，的最小正周期均为， 故的最小正周期是，故B正确； 对于选项C， 当时，，令，，， 因为在上单调递减， 而在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，时，单调递增，故C错误； 对于选项D， 时， ， ，即； 时， ， ，即， 故D正确. 故选：ABD. 11. 重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为解放碑的基座（在的正下方，即），在纪念碑所在广场内（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、，若已知，则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理和直角三角形性质判断所给条件是否构成解三角形条件即可. 【详解】由题意，因为, 且平面,平面, 所以平面, 对于A，在中，借助直角三角形用表示出，然后在中由余弦定理解三角形求得，故A正确； 对于B，在中，根据,可利用正弦定理求得，再根据求得，故B正确； 对于C，由，借助直角三角形和余弦定理，用和表示出，然后结合在中利用余弦定理列方程，解方程求得，故C正确； 对于D，根据四个条件，无法通过解三角形求得，故D错误； 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）． 12. 已知，，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直求解的值. 详解】由， 则，故. 故答案为：. 13. 如图，已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为三点共线， 所以， 所以 故答案为： 14. 在中，内角所对的边分别为，，的角平分线交边于点，且长为定值．若面积的最小值为，则的长为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】由可得，借助基本不等式可求，由题意列式即可求. 详解】由题意，， 即， 因为，为的角平分线， 所以，即， 因为， 解得，当且仅当时，等号成立，此时， 因为面积的最小值为， 所以，，解得. 故答案为：1 四、解答题：本大题5个小题，共77分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）． 15. 已知是方程的一个根． （1）求的值； （2）设，若为纯虚数，且，求复数． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由韦达定理得到之间的关系式，即可求得的值； （2）设，根据为纯虚数及，解方程即可. 【小问1详解】 因为是方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 所以由韦达定理得， 解得. 【小问2详解】 由（1）可知， 即， 设， 因为为纯虚数， 所以， 由， 解得或，经检验都成立， 所以或. 16. 已知向量，，，，且向量与共线． （1）求； （2）若，求实数值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量与共线列式计算即可求出，进而求解； （2）由（1）可求，根据模长公式列式计算即可. 【小问1详解】 因，，向量与共线， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，， 所以 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 解得或. 17. 如图，在三棱台中，底面为等边三角形，为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点． （1）求证：平面平面； （2）求平面分割三棱台所得的几何体和的体积之比． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明平面,平面,再根据面面平行的判定定理证明即可； （2）设三棱台的高为，先计算三棱台的体积，再计算三棱锥的体积，从而得几何体的体积，最后求比值即可. 【小问1详解】 由题意，,为等边三角形， 故为等边三角形，,, 在三棱台中， 故,且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 因为平面，平面， 所以平面， 又因为,, 且, 所以相似于, 所以, 因为平面，平面， 所以平面， 因为,平面,平面, 所以平面平面. 【小问2详解】 设三棱台的高为， 则， ， 所以， ， 所以， 所以. 18. 如图，在四边形中有，，，对角线、相交于点． （1）若，求； （2）若， ①求的取值范围； ②若为的外心，且，当①中的取最大值时，求实数的值． 【答案】（1） （2）① ；②. 【解析】 【分析】（1）将用作为基底表示，由垂直关系利用数量积计算即可； （2）①由得，结合余弦定理及数量积定义可得，由即可求； ②先求出，进而得到，将两边同乘，结合正弦定理及数量积定义，和角公式可得，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，， 因为， 所以， 由题意，，， 所以， 解得. 【小问2详解】 ①由知， 所以， 所以， 故， 所以 ， 因为， 所以当时，，当时，， 的取值范围为：； ②由①知，取最大值时，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 设外接圆半径为，则， 所以由正弦定理可得， 因为， 所以， 因为为的外心， 所以， 所以， 所以， 所以 . 19. 在中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，且，，求； （3）若，外接圆半径为，内切圆半径为，求的取值范围． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可化简得证； （2）由可得，分别在中用正弦定理，进而可得，再利用及（1）的结论，解方程即可； （3）将表示成关于的解析式，求出的范围，结合函数单调性即可求解范围. 【小问1详解】 由题可得：，又由余弦定理可知：， 代入上式可得：，即得. 【小问2详解】 由可得，即， 则有．记， 在中，由正弦定理可得： 在中，由正弦定理可得： 两式相除可得：，即得， 又由 整理得：， 将代入可得： 解得，所以再由（1）可知：，解得． 【小问3详解】 由，由余弦定理，，即 又由（1）知，代入上式化简得：，则， 由等面积可得：，即， 化简得：，又由正弦定理可知：， 所以 由上分析可知为方程两正根， 则，解得， 又由为三边且， 故有，解得，故得． 易知在上单调递减，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $