精品解析：重庆市巴南职业教育中心等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

重庆市巴南职业教育中心2025—2026学年下学期期中考试 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5份，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 已知复数，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，所以．所以D正确． 2. 下列几何体是棱台的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台，只有D是棱台 3. 下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以共线，故A不符合题意； 因为，所以不共线，故B符合题意； 因为，所以共线，故C不符合题意； 因为，所以共线，故D不符合题意； 4. 如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（ ）． A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，还原直观图得原图后，可得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 如图所示，还原直观图得原图： 所以， 则原平面图形的面积为. 故选：A. 5. 已知的内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在中，由及正弦定理，得， 则，又，因此，又， 所以． 6. 圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的底面半径r，再利用圆锥的侧面积公式即可得出结果. 【详解】根据题意，设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面为等边三角形， 所以圆锥的母线长，，解得， 所以圆锥的侧面积为. 7. 已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】若，则存在非零实数，使得，利用向量的线性运算即可证明充分性，若，则存在实数，使得：，结合向量的运算即可证明必要性，从而判断选项. 【详解】若，则存在非零实数，使得， 此时：， 因为是非零向量，所以与是共线的，即：，所以充分性成立， 若，当时，； 当时，存在实数，使得： 整理得：， 所以，若，则，即； 若，则，与为非零向量矛盾， 因此，必要性成立; 综上“”是“”的充要条件. 8. 已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，则， 由，则. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，其中，是虚数单位，则（ ） A. 当时，为纯虚数 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【详解】对A：当时，，故A错误； 对B：当时，，故B正确； 对C：当时，，此时，故C正确； 对D：当时，， 所以 ，故D正确. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 平行向量也叫作共线向量 B. 单位向量都相等 C. 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 D. 两个单位向量之和仍可能是单位向量 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的定义判断. 【详解】长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量，单位向量的方向不确定，B错误. 平行向量也叫作共线向量，长度相等且方向相同的向量叫相等向量， 两个单位向量之和仍可能是单位向量，如图，菱形的边长为1，， 则，都是单位向量，且， 因此ACD正确. 11. 在中，内角所对的边分别为，，，且恰有一个解，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】CD 【解析】 【详解】在中，过点作于点，则为中边上的高，记为. . 根据三角形解的个数判断法则，当时或者时，恰有一个解，即或，故选项C和选项D符合题意. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设一个球的大圆面积为，则该球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用球体表面积公式可求得结果. 【详解】设该球的半径为，则该球的大圆面积为， 故该球的表面积为. 13. 已知向量，满足，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直得到，再通过，平方即可求解. 【详解】因为， 所以，展开得：， 代入得：， 对两边平方得：， 展开左边：， 代入、， ​计算：， 即， 因为模长为非负数，所以. 14. 在中，内角所对的边分别为．已知，的面积为，则的最小值为___________ 【答案】6 【解析】 【分析】结合题设利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，再结合的面积为可得，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以，由正弦定理边化角得， 因为， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为的面积为， 所以，解得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为6 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，. （1）求； （2）若，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 已知，. . 则. 【小问2详解】 已知，. ， ， 设与夹角为，则 16. 如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． （1）求的余弦值； （2）设，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，根据向量夹角公式，即可得答案. （2）由题意得、、坐标，根据三点共线的性质，计算求解，即可得答案， 【小问1详解】 以A为原点，AB、AD为x，y轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 则， 因为就是的夹角，所以的余弦值为. 【小问2详解】 由题意得，， 因为D、M、E三点共线，所以，且， 则，解得. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若，角B的角平分线交AC于点D，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由结合三角形的面积公式得出，结合余弦定理可求得的值，即可得出的周长. 【小问1详解】 因为及正弦定理，得， 而，则， 所以， 即， 因为、，则，所以，可得，故. 【小问2详解】 因为，即， 可得①， 由余弦定理可得②， 联立①②可得，即， 因为，解得，故的周长为. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)利用中位线的性质、线面平行的判定定理即可证明；(2)利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 如图，连接交于点，再连接, 在中，为中点，为的中，所以, 且平面，平面,所以平面. 【小问2详解】 因为该几何体为正方体，所以点到平面的距离等于， 所以点到平面的距离等于， 根据等体积法可知. 19. 已知，，函数，． （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换化简，再根据正弦函数的性质即可求解； （2）由已知得，再根据诱导公式及二倍角公式即可求解． 【小问1详解】 由题意可知： ， 所以函数的最小正周期为； 当且仅当，即时，函数的最大值为4． 【小问2详解】 因为，所以，即， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴南职业教育中心2025—2026学年下学期期中考试 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5份，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 已知复数，则（ ） A. 4 B. C. D. 2. 下列几何体是棱台的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（ ）． A. 4 B. C. D. 8 5. 已知的内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，其中，是虚数单位，则（ ） A. 当时，为纯虚数 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 下列结论正确的是（ ） A. 平行向量也叫作共线向量 B. 单位向量都相等 C. 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 D. 两个单位向量之和仍可能是单位向量 11. 在中，内角所对的边分别为，，，且恰有一个解，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设一个球的大圆面积为，则该球的表面积为______． 13. 已知向量，满足，，且，则______. 14. 在中，内角所对的边分别为．已知，的面积为，则的最小值为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，. （1）求； （2）若，求与夹角的余弦值. 16. 如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． （1）求的余弦值； （2）设，求的值． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若，角B的角平分线交AC于点D，，求的周长． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 19. 已知，，函数，． （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $